Η εξίσωση AX=b

Σπύρος98 · #1

Στο μάθημα της Γραμμικής Άλγεβρας Ι, έχουμε πει ότι αν θεωρήσουμε τον αντιστρέψιμο πίνακα $A\in \mathbb{F}^{n\times n}$ , τότε η εξίσωση AX=b

, με $b\in \mathbb{F}^{n\times 1}$ , έχει μοναδική λύση $x=A^{-1}b$ .

Αναρωτιόμουν, αν δεν γνωρίζουμε ότι ο

είναι αντιστρέψιμος, τη συμπεράσματα μπορούμε να εξάγουμε για την εξίσωση AX=b

;

#2

Καλησπέρα
Ισχύει το θεώρημα Kronecker-Capelli και αναφέρεται, πιο γενικά, σε συστήματα $m\times n$ δηλαδή με

εξισώσεις και

αγνώστους
Η απάντηση στο ερώτημα εξαρτάται από την τάξη του επαυξημένου πίνακα

του συστήματος που προκύπτει αν στον

προσθέσουμε μία ακόμη στήλη γράφοντας δίπλα το διάνυσμα-στήλη

.
-Αν η τάξη του επαξημένου πίνακα είναι ίση με την τάξη του

το σύστημα έχει λύση. Στην περίπτωση αυτή η λύση είναι μοναδική αν η τάξη είναι

και υπάρχουν άπειρες λύσεις αν η τάξη είναι μικρότερη του

.
-Αν η τάξη του επαυξημένου πίνακα είναι μεγαλύτερη από την τάξη του

το σύστημα δεν έχει λύση.
Ως τάξη του πίνακα ορίζεται η διάσταση του χώρου που παράγουν οι στήλες τού ( ή το αυτό: οι γραμμές του). Είναι ίση δε με το μέγιστο "πλάτος" που μπορεί να έχει ένας τετραγωνικός υποπίνακας του με μή μηδενική ορίζουσα.
Μαυρογιάννης

Σπύρος98 · #3

nsmavrogiannis έγραψε:Καλησπέρα
Ισχύει το θεώρημα Kronecker-Capelli και αναφέρεται, πιο γενικά, σε συστήματα $m\times n$ δηλαδή με εξισώσεις και αγνώστους
Η απάντηση στο ερώτημα εξαρτάται από την τάξη του επαυξημένου πίνακα του συστήματος που προκύπτει αν στον προσθέσουμε μία ακόμη στήλη γράφοντας δίπλα το διάνυσμα-στήλη .
-Αν η τάξη του επαξημένου πίνακα είναι ίση με την τάξη του το σύστημα έχει λύση. Στην περίπτωση αυτή η λύση είναι μοναδική αν η τάξη είναι και υπάρχουν άπειρες λύσεις αν η τάξη είναι μικρότερη του .
-Αν η τάξη του επαυξημένου πίνακα είναι μεγαλύτερη από την τάξη του το σύστημα δεν έχει λύση.
Ως τάξη του πίνακα ορίζεται η διάσταση του χώρου που παράγουν οι στήλες τού ( ή το αυτό: οι γραμμές του). Είναι ίση δε με το μέγιστο "πλάτος" που μπορεί να έχει ένας τετραγωνικός υποπίνακας του με μή μηδενική ορίζουσα.
Μαυρογιάννης

Μμμμμ.... Μπερδεύτηκα. Μπορείτε να μου δώσετε ένα παράδειγμα;

#4

Σπύρος98 έγραψε:Μμμμμ.... Μπερδεύτηκα. Μπορείτε να μου δώσετε ένα παράδειγμα;

Λογικά παραδείγματα θα έχει το βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας που διαβάζεις (αλήθεια ποιό;).

#5

Όπως λέει και ο Νίκος, σίγουρα πρέπει να έχει παραδείγματα το βιβλίο σου.

Στα αγγλικά μπορείς να δεις και κάποια βίντεο που έφτιαξα εδώ. Πιο συγκεκριμένα σε ενδιαφέρει το 9.3 αλλά ίσως να πρέπει να δεις και τα προηγούμενα.

Σπύρος98 · #6

Δεν έχω βρει κάτι. Το βιβλίο που χρησιμοποιώ είναι του Βάρσου και κάποιων άλλων.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Σπύρος98 έγραψε:Δεν έχω βρει κάτι. Το βιβλίο που χρησιμοποιώ είναι του Βάρσου και κάποιων άλλων.

Το έχει σίγουρα.Κοίταξε το καλά.Θα το κάνετε αργότερα και στο μάθημα.

Η εξίσωση AX=b

Η εξίσωση AX=b

Re: Η εξίσωση AX=b

Re: Η εξίσωση AX=b

Re: Η εξίσωση AX=b

Re: Η εξίσωση AX=b

Re: Η εξίσωση AX=b

Re: Η εξίσωση AX=b

Μέλη σε σύνδεση