Θετικό άθροισμα ημιτόνων

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $n\geq 1$ φυσικός.

Να αποδειχθεί ότι για κάθε $x\in (0,\pi )$

έχουμε $\sin x+\dfrac{\sin 2x}{2}+....+\dfrac{\sin nx}{n}> 0$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά.
Υπόδειξη.
Επαγωγή.
Λογισμός(Γ Λυκείου)
$\cos x+\cos 2x+....+\cos nx=\dfrac{\sin (n+\frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}}-\dfrac{1}{2}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Να σημειώσω ότι η σχέση της υπόδειξης αποδεικνύετε πολλαπλασιάζοντας με $2\sin \frac{x}{2}$
και κάνοντας τα γινόμενα αθροίσματα.

Θετουμε $f_{n}(x)=\sin x+\frac{\sin 2x}{2}+...+\frac{\sin nx}{n}$

Για n=1

προφανώς ισχύει.

Εστω ότι ισχύει για n-1

Εχουμε ότι $f_{n}(0)=f_{n}(\pi )=0$

$f'_{n}(x)=\cos x+\cos 2x+....\cos nx=\frac{\sin (n+\frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}}-\frac{1}{2}$

Αν $f'_{n}(t)=0$ για $t\in (0,\pi )$

τότε $\sin (n+\frac{1}{2})t=\sin \frac{t}{2}$

δηλαδή $\sin nt\cos \frac{t}{2}+\cos nt\sin \frac{t}{2}=\sin \frac{t}{2}$

και λύνοντας $\sin nt=\dfrac{\sin \frac{t}{2}(1-\cos nt)}{\cos \frac{t}{2}}\geq 0$

Παίρνουμε ότι $f_{n}(t)=f_{n-1}(t)+\frac{\sin nt}{n}> 0$

λόγω επαγωγικής υπόθεσης.

Συμπεραίνουμε ότι στα ακρότατα της $f_{n}(x)$ στο $(0,\pi )$ αυτή είναι θετική.

Λόγω της $f_{n}(0)=f_{n}(\pi )=0$ παίρνουμε ότι

$f_{n}(x)> 0$ για $x\in (0,\pi )$

Θετικό άθροισμα ημιτόνων

Θετικό άθροισμα ημιτόνων

Re: Θετικό άθροισμα ημιτόνων

Re: Θετικό άθροισμα ημιτόνων

Μέλη σε σύνδεση