Σύγκλιση ακολουθίας

#1

Δίνεται η ακολουθία (x_n)

με

και

$\displaystyle{ x_{n+1} = \frac{1}{n+1}x_n + \left(1 - \frac{1}{n+1} \right)x_{n-1} }$

Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία (x_n)

συγκλίνει και να υπολογιστεί το όριό της.

Επεξεργασία:

Πηγή (Διορθώθηκε): Από διαγωνισμό του Illinois του 2016 για πρωτοετείς φοιτητές. Δείτε εδώ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Εχουμε ότι
$x_{n+1}-x_{n}=(-1)(1-\frac{1}{n+1})(x_{n}-x_{n-1})$
Αν την εφαρμόσουμε διαδοχικά παίρνουμε

$x_{n+1}-x_{n}=(-1)^{n}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{1}{n})....(1-\frac{1}{2})(x_{1}-x_{0})=(-1)^{n}\frac{1}{n+1}$
Προσθέτοντας παίρνουμε ότι

$x_{n}=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\frac{1}{k}$
Προφανώς συγκλίνει στο άθροισμα της σειράς $\sum_{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}\frac{1}{k}$

Αυτό είναι ln2

Ενας τρόπος να το δόυμε είναι ότι ο τύπος

$ln(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}\dfrac{x^{k}}{k}$

ισχύει για $x\epsilon (-1,1]$
βάζοντας όπου x=1

παίρνουμε αυτό που θέλουμε.

#3

Πολύ ωραία. Προστέθηκε και η πηγή.

Σύγκλιση ακολουθίας

Σύγκλιση ακολουθίας

Re: Σύγκλιση ακολουθίας

Re: Σύγκλιση ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση