Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2015-16 (3)

[dement]

problem.png (18.5 KiB) Προβλήθηκε 4018 φορές

Οι δύο ημιευθείες έχουν κοινό άκρο και σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία με . Δύο ευθύγραμμα τμήματα , συνολικού μήκους , είναι τοποθετημένα έτσι ώστε το να ανήκει στην ημιευθεία και το να ανήκει στην ημιευθεία . Έτσι σχηματίζεται κυρτό τετράπλευρο .

Για δεδομένα να υπολογιστεί η μέγιστη τιμή του .

[dement]

Επαναφορά!

[KARKAR]

Μεγιστοποίηση.png (5.56 KiB) Προβλήθηκε 3845 φορές

Η διαίσθηση προτείνει : Πάνω στη διχοτόμο της γωνίας , παίρνω το σημείο ,

ώστε . Αυτό είναι το μέγιστο !

[Al.Koutsouridis]

Καλησπέρα,

Νομίζω η διαίσθηση του κ.Θανάση είναι σωστή, με επιφύλαξη για την ορθότητα του παρακάτω συλλογισμού.

megisto_tetrapleuro.png (91.03 KiB) Προβλήθηκε 3804 φορές

Έστω μια τοποθέτηση των σημείων στις πλευρές της γωνιάς σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος. Τότε το θα κινείται σε έλλειψη με εστίες τα . Οπότε μπορούμε να διαλέξουμε το να είναι στον αλλο άξονα της ελλειψης και θα ισχύει

(1)

Από όλα τα τετράπλευρα με σταθερό το παρατηρούμε ότι το τρίγωνο μεγιστοποιεί το εμβαδόν του όταν γίνει ισοσκελές [. Αυτό μπορούμε να το δούμε καλύτερα αν "περιστρέψουμε" την σταθερή γωνία κατάλληλα. Από την στιγμή που η γωνία είναι σταθερή και το σταθερό μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η κορυφή της κινείται σε τόξο κύκλου. Εύκολα παρατηρούμε ότι

(2)

όπου το μέσο του αυτού του τόξου. Δείξαμε δηλαδή ότι το τετράπλευρο θα πρέπει να έχει σχήμα "χαρταετού" για να μεγιστοποιείται.

Όμως από όλους τους χαρταετούς με σταθερό το το εμβαδόν το μεγιστοποιεί, αυτός που έχει τα επί μέρους τρίγωνα και ισοσκελή (σύμφωνα με την παραπάνω λογική). Θα είναι δηλαδή



όπου σημεία τέτοια ώστε και

[dement]

[gbaloglou]

Μεγιστοποίηση.pngΗ διαίσθηση προτείνει : Πάνω στη διχοτόμο της γωνίας , παίρνω το σημείο ,

ώστε . Αυτό είναι το μέγιστο !

Η πρόταση της διαίσθησης αναλύεται σε τρεις υποπροτάσεις:

(1) Το οφείλει να κείται επί της διχοτόμου.

(2) Οφείλει να ισχύει η .

(3) Οφείλει να ισχύει η .

Το (1) και το (2) θα μπορούσαν να θεωρηθούν προφανή (ακόμη ίσως και από τους εξεταστές), το (3) όχι -- απόδειξη ότι η δική μου η διαίσθηση με έσπρωξε προς την & (εμβαδόν ) αντί της (εμβαδόν )!

Άπαξ όμως και δεχτούμε τα (1) και (2) ... το (3) αποδεικνύεται αρκετά εύκολα:

Από το σχήμα προκύπτει ότι το εμβαδόν μεγιστοποιείται ακριβώς όταν μεγιστοποιείται το . Από τον Νόμο των Συνημιτόνων έχουμε , άρα το μεγιστοποιείται όταν .

[gbaloglou]

(1) Το οφείλει να βρίσκεται επί της διχοτόμου.

Αυτό προκύπτει αβίαστα -- βλέπε συνημμένο -- από μία γνωστή ιδιότητα: ανάμεσα σε όλα τα ισεμβαδικά τρίγωνα με μία κοινή πλευρά ελάχιστη περίμετρο έχει αυτό που οι άλλες δύο πλευρές του είναι ίσες.

(ΑΝ το δεν κείται επί της διχοτόμου τότε ... αφού και ... σίγουρα μπορούμε να βρούμε επί της διχοτόμου, λίγο πιο πέρα από το , νέο σημείο τέτοιο ώστε και , άτοπο.)

[gbaloglou]

(2) Οφείλει να ισχύει η .

Αυτό φαίνεται να χρειάζεται περισσότερη προσοχή από το (1), προς το παρόν στέλνω ένα σχήμα!

Σχόλιο 16-10-16: νομίζω ότι ένα απλό επιχείρημα 'συνέχειας' αρκεί -- για πολύ κοντά στο σίγουρα ισχύει η , ενώ για αρκετά μακριά από το ισχύει η , άρα κάπου ενδιάμεσα υπάρχει τέτοιο ώστε , ενώ ισχύει πάντοτε και προφανώς η .

[iriniper]

Μου άρεσαν όσα γράψατε και είπα να "σχεδιάσω" το ενδιάμεσο βήμα από την "διαίσθηση" στην "απόδειξη" με gifakia:
1ο gifaki: Εδώ τα και είναι σταθερά σημεία στις πλευρές της γωνίας και μεγιστοποιείται το εμβαδόν του τριγώνου όταν . (γιατί μεγιστοποιείται το ύψος )

mathematica1.gif (277.8 KiB) Προβλήθηκε 3679 φορές

2o gifaki: Πάλι το είναι σταθερό, το έχει μέγιστο εμβαδόν εφόσον και μεγιστοποιείται τώρα το εμβαδόν του όταν . (γιατί μεγιστοποιείται το ύψος )

mathematica2.gif (207.91 KiB) Προβλήθηκε 3679 φορές

3ο gifaki: Εφόσον και , συμπεραίνουμε ότι το βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας . Για να έχουν μέγιστο εμβαδόν τα τρίγωνα και θα πρέει τα ύψη τους από το να είναι μέγιστα. Που συμβαίνει όταν αυτά είναι ισοσκελή, δηλαδή .

mathematica3.gif (238.13 KiB) Προβλήθηκε 3679 φορές

[nsmavrogiannis]

Μιας και η Ειρήνη Περυσινάκη δεν χρειάζεται συστάσεις απλώς την καλωσορίζω στο .

[iriniper]

Καλώς σας βρήκα, Νίκο!

Συνεχίζω με τα gifakia, ετοίμασα και ένα 4ο, μια παραλλαγή του 3ου, ώστε να φαίνεται καλύτερα πότε μεγιστοποιούνται τα κόκκινα ύψη. Έτσι είναι "προφανές" ότι πρέπει (είναι η ίδια λογική με το 2o gifaki, όπως αναφέρει και ο Κουτσουρίδης στην απόδειξή του).

mathematica4.gif (300.36 KiB) Προβλήθηκε 3614 φορές

[cretanman]

Καλωσορίζω κι εγώ με τη σειρά μου την εξαιρετική συνάδελφο και φίλη Ειρήνη Περυσινάκη!

Η Δρ.Ειρήνη Περυσινάκη δημιούργησε και συντηρεί τη σελίδα του Εργαστηρίου Μαθηματικών του Σχολείου μας, έκανε μέχρι πέρυσι τον όμιλο Αστρονομίας (φέτος θα κάνει ένα όμιλο για τον μηχανισμό των Αντικυθήρων), είναι πολύ ανήσυχη μαθηματικός, επιμορφώτρια Β επιπέδου στις ΤΠΕ και ασχολείται αρκετά με το geogebra κατασκευάζοντας πολλά καλούδια ( https://www.geogebra.org/iriniper ). Δεν μπορώ να μην αναφερθώ και στην χαρτοδιπλωτική στην οποία έχει ιδιαίτερη αγάπη κατασκευάζοντας πολύ όμορφα πράγματα τα οποία μας παρουσιάζει ενίοτε στο σχολείο. Μερικές από τις ιστοσελίδες που διατηρεί είναι οι εξής: "Μαθηματικές Πτήσεις", "Τετράδιο Γεωμετρίας" "Οι ΤΠΕ στην Εκπαίδευση", "Μαθήματα Αστρονομίας" και άλλες που φαίνονται στον σύνδεσμο εδώ.

Ειρήνη καλωσόρισες... Και μια και δεν μπορώ να σε κεράσω από εδώ θα το κάνω αύριο από κοντά στο σχολείο!

Αλέξανδρος

[iriniper]

Αλέξανδρε, καλώς σας βρήκα!
Σήμερα ταξίδεψα στο mathematica και πέρασα υπέροχα!!! Μείνανε πίσω βέβαια οι δουλειές του σχολείου και προβλέπεται ξενύχτι...
Εγώ λοιπόν θα πρέπει να σε κεράσω στο σχολείο, γιατί εξαιτίας σου "ταξίδεψα"...