Από την Σπάρτη με αγάπη...

Ορέστης Λιγνός · #1

Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει κορυφή

και βάση

.
Από ένα σημείο

της

, φέρουμε την κάθετο στην

, που τέμνει την

στο

, ώστε

.
Αν η

τέμνει την

στο

, να δείξετε ότι (ADF)=2(CFE)

.

: area.png (12.58 KiB) Προβλήθηκε 720 φορές

#2

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει κορυφή και βάση .
Από ένα σημείο της , φέρουμε την κάθετο στην , που τέμνει την στο , ώστε .
Αν η τέμνει την στο , να δείξετε ότι .

area.png

Ας δούμε τη γεωμετρική κατασκευή του σχήματος .

Το ύψος

χωρίζεται από το σημείο

σε λόγο : $\boxed{\frac{{HS}}{{SC}} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{a}{b}}$ , Η ευθεία

τέμνει την

στο σημείο

. ( Η σχέση προκύπτει από Θ. Μενέλαου στο $\vartriangle DBE$ με τέμνουσα την $\overline {AFC}$ )

Η κάθετη από το

στην

είναι η τέμνουσα που θέλουμε .

Αν τώρα

το μέσο του

τότε :

$\boxed{\frac{{MF}}{{FC}} = \frac{{DF}}{{2FC}} = \frac{a}{{2b}}\,}\,(1)$ . Αλλά $BH = u = \dfrac{{{a^2}}}{{2b}}$ ( Θεώρημα επέκτασης στο $\vartriangle ABC$ )

: Απο τη Σπάρτη με αγάπη.png (22.7 KiB) Προβλήθηκε 647 φορές

Αν δε

από : $\dfrac{{BH}}{{BD}} = \dfrac{{BC}}{{BE}} \Rightarrow \dfrac{u}{{b - x}} = \dfrac{a}{{a + x}} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{2{b^2} - {a^2}}}{{2b + a}}}$ .

Αλλά $\dfrac{{AF}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AH}} = \dfrac{x}{{a - u}} = \dfrac{{2b}}{{2b + a}} \Rightarrow \boxed{\frac{{FC}}{{FA}} = \dfrac{a}{{2b}}}\,\,\,\,(2)$ . Οι $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ μας εξασφαλίζουν ότι MC//AE

.

Άρα θα είναι : (ADF) = 2(AMF) = 2(ECF)

.

Παρατήρηση .

Ίσως το αποτέλεσμα προκύπτει πιο απλά αν φέρουμε την προβολή του στη .

Πάντως η κατασκευή του σχήματος είναι βασική για επαληθεύσεις και σιγουριά .

KARKAR · #3

: Ορεστική.png (16.49 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

Μενέλαος : $\dfrac{x}{a-x}\cdot\dfrac{b+x}{x}\cdot \dfrac{FC}{FA}=1$ , άρα $\dfrac{FC}{FA}=\dfrac{a-x}{b+x}=sin\theta$

Μενέλαος ξανά : $\dfrac{x}{b}\cdot\dfrac{a}{x}\cdot \dfrac{FD}{FE}=1$ , άρα $\dfrac{FE}{FD}=\dfrac{a}{b}$

Εξ'άλλου : $\dfrac{(FCE)}{(FAD)}=\dfrac{FE\cdot FC}{FD\cdot FA}=\dfrac{a}{b}\cdot sin\theta=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}$

STOPJOHN · #4

$(ADF)=2(FCE)\Leftrightarrow (DF)=2(SF),(*)$

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει κορυφή και βάση .
Από ένα σημείο της , φέρουμε την κάθετο στην , που τέμνει την στο , ώστε .
Αν η τέμνει την στο , να δείξετε ότι .

area.png

Εστω $AD=CE=x,AL\perp BC,FS\perp BC,$ Το τετράπλευρο DLEA

είναι εγγράψιμο άρα $(b-x)b=\dfrac{a}{2}(a+x)\Leftrightarrow x=\dfrac{2b^{2}-a^{2}}{a+2b},(1)$
Από το θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο
$ABC, \dfrac{AF}{FC}=\dfrac{x+a}{b-x},(2), (1),(2)\Rightarrow \dfrac{AF}{FC}=\dfrac{2b}{a},FC=\dfrac{ab}{a+2b},AF=\dfrac{2b^{2}}{a+2b},$
$(ADF)=2(FCE)\Leftrightarrow (DF)=2(SF),(*)$

$ADF,DF^{2}=\dfrac{4a^{2}b^{2}-a^{4}}{(a+2b)^{2}},(3),FS^{2}=\dfrac{a^{2}(4b^{2}-a^{2})}{4(a+2b)^{2}},(4), (3),(4)\Rightarrow DF^{2}=4SF^{2}\Leftrightarrow (*)$

Γιάννης

Από την Σπάρτη με αγάπη...

Από την Σπάρτη με αγάπη...

Re: Από την Σπάρτη με αγάπη...

Re: Από την Σπάρτη με αγάπη...

Re: Από την Σπάρτη με αγάπη...

Μέλη σε σύνδεση