IMC 2016/2/3

#1

Έστω

θετικός ακέραιος και έστω ότι υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_n$ (όπου $\mathbb{Z}_n$ ο δακτύλιος των ακεραίων $\bmod n$ ) η οποία ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες:

(α) $f(x) \neq x$
(β) f(f(x)) = x

(γ)

για κάθε $x \in \mathbb{Z}_n$ . Να δειχθεί ότι $n \equiv 2\bmod 4$ .

dement · #2

Από τα δύο πρώτα δεδομένα βλέπουμε ότι η

είναι μετάθεση, αποτελούμενη από ξένες μεταξύ τους εναλλαγές. Άρα ο

είναι άρτιος.

Έστω p(x) = x + 1

. Το τρίτο δεδομένο μας λέει ότι $f \circ p \circ f \circ p \circ f \circ p = 1$ , όπου

η ταυτοτική μετάθεση.

Αφού ο

είναι άρτιος, η

είναι περιττή μετάθεση. Οπότε, για να ικανοποιείται το τρίτο δεδομένο, πρέπει και η

να είναι περιττή, δηλαδή να αποτελείται από περιττό αριθμό εναλλαγών. Άρα $n \equiv 2 \mod 4$ .

IMC 2016/2/3

IMC 2016/2/3

Re: IMC 2016/2/3

Μέλη σε σύνδεση