SEEMOUS 2016/2

#1

(α) Να δειχθεί ότι για κάθε πίνακα $X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ υπάρχει πίνακας $Y \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ έτσι ώστε Y^3=X^2

.

(β) Να δειχθεί ότι υπάρχει πίνακας $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ έτσι ώστε $Z^3 \neq A^2$ για κάθε $Z \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ .

Γιάννης Ι. · #2

α) Ξεκινάμε τριγωνοποιώντας τον

, έτσι πολλαπλασιάζοντας με κατάλληλο αντιστρέψιμο πίνακα

από δεξιά και με τον αντίστροφό του από αριστερά παίρνουμε $(P^{ -1 }YP)^{ 3 }=(P^{ -1 }XP)^{ 2 }$ , όπου $P^{ -1 }XP$ είναι άνω τριγωνικός. Αυτή η διαδικασία δεν αλλάζει τον αριθμό λύσεων. Θέτουμε $Y\leftarrow (P^{ -1 }YP),X \leftarrow (P^{ -1 }XP)$ για λόγους ευκολίας. Έτσι, παίρνουμε ότι αν $X=\begin{pmatrix} l_{ 1 } & a \\ 0 & l_{ 2 } \end{pmatrix}$ τότε $Y^{ 3 }=\begin{pmatrix} l_{ 1 }^{ 2 } & a(l_{ 1 }+l_{ 2 }) \\ 0 & l_{ 2 }^{ 2 } \end{pmatrix}$ . Αν $l_{ 1 }=l_{ 2 }=0$ , τότε η λύση είναι προφανής. Αν όχι, μπορούμε σε αυτό το σημείο να αναζητήσουμε μια λύση σε άνω τριγωνική μορφή. Ξέρουμε εκ των προτέρων πως η λύση θα γράφεται $Y=\begin{pmatrix} l'_{ 1 } & A \\ 0 & l'_{ 2 } \end{pmatrix}$ όπου $l'_{ 1 },l'_{ 2 }$ είναι τρίτες ρίζες των $l_{ 1 }^2,l_{ 2 }^2$ αντίστοιχα (οι τιμές $l_{ 1 }^2,l_{ 2 }^2$ μπορεί να ταυτίζονται) που θα προσδιοριστούν εν συνεχεία. Έχουμε έτσι, $Y^{ 3 }=\begin{pmatrix} l_{ 1 }^2 & A(l'_{ 1 }^{ 2 }+l'_{ 1 }l'_{ 2 }+l'_{ 2 }^{ 2 }) \\ 0 & l_{ 2 }^2 \end{pmatrix}$ . Έχοντας διαλέξει τυχαία $l'_{ 1 }$ , μπορούμε να διαλέξουμε το $l'_{ 2 }$ έτσι ώστε $(l'_{ 1 }^{ 2 }+l'_{ 1 }l'_{ 2 }+l'_{ 2 }^{ 2 })\neq 0$ και έτσι προσδιορίζουμε το

. Οι τελικές λύσεις είναι πλέον εύκολα προσδιορίσιμες.

β)Θέτουμε $X=\left( \begin{matrix} 0 & a & c \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)$ , με $ab \neq 0$ . Mοναδική ιδιοτιμή του

είναι προφανώς το

. Έχουμε πως $X^{2}=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & ab \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)$ . Μια λύση της δοθείσας έχει μοναδική ιδιοτιμή το

και στην τρίτη δύναμη είναι ίση με τον μηδενικό πίνακα (αρκεί κανείς να τριγωνοποιήσει την λύση). Αδύνατο. Άρα η δοθείσα δεν έχει λύση.

SEEMOUS 2016/2

SEEMOUS 2016/2

Re: SEEMOUS 2016/2

Μέλη σε σύνδεση