Διάστημα σύγκλισης και υπολογισμός δυναμοσειράς

#1

Βρείτε το διάστημα σύγκλισης,έστω

, της δυναμοσειράς $\displaystyle{\sum_{n\geq1}\left(\ln\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots-\frac{(-1)^n}{n}\right)x^n}$ και υπολογίστε το άθροισμα για κάθε τιμή του $x\in A$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Βρείτε το διάστημα σύγκλισης,έστω , της δυναμοσειράς $\displaystyle{\sum_{n\geq1}\left(\ln\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots-\frac{(-1)^n}{n}\right)x^n}$ και υπολογίστε το άθροισμα για κάθε τιμή του $x\in A$

$\displaystyle{S\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\log \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - .. - \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}} \right){x^n}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - \log 2 + \sum\limits_{m = 1}^n {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m - 1}}}}{m}} } \right){x^n}} }$ $\displaystyle{ = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - \sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m - 1}}}}{m}} + \sum\limits_{m = 1}^n {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m - 1}}}}{m}} } \right){x^n}} = }$

$\displaystyle{ = - \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\sum\limits_{m = n + 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m - 1}}}}{m}} } \right){x^n}} }$ . Επειδή $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\left| {\sum\limits_{m = n + 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m - 1}}}}{m}} } \right| \cdot {{\left| x \right|}^n}}} = \left| x \right|}$ , προκύπτει ότι η σειρά συγκλίνει για $\displaystyle{\left| x \right| < 1}$ και αποκλίνει για $\displaystyle{\left| x \right| > 1}$ .
Για $\displaystyle{x = \pm 1}$ θα ελεγχθεί αργότερα.

Για $\displaystyle{\left| x \right| < 1}$ έχουμε $\displaystyle{S\left( x \right) = - \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\sum\limits_{m = n + 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m - 1}}}}{m}} } \right){x^n}} = - \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{n} + \sum\limits_{m = n}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m - 1}}}}{m}} } \right){x^n}} = }$

$\displaystyle{ = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}{x^n}}}{n}} - \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\sum\limits_{m = n}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m - 1}}}}{m}} } \right){x^n}} = \log \left( {1 + x} \right) - \sum\limits_{n = 1}^\infty {{x^n}\left( {\sum\limits_{m = n}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m - 1}}}}{m}} } \right)} }$

Όμως $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}\sum\limits_{m = n}^\infty {{b_m}} } = {a_1}\left( {{b_1} + {b_2} + {b_3} + ..} \right) + {a_2}\left( {{b_2} + {b_3} + {b_4} + ..} \right) + .. = \sum\limits_{m = 1}^\infty {{b_n}\sum\limits_{n = 1}^m {{a_n}} } }$ (με την προϋπόθεση σύγκλισης των αθροισμάτων)

Τότε $\displaystyle{S(x) = - \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\sum\limits_{m = n + 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m - 1}}}}{m}} } \right){x^n}} = \log \left( {1 + x} \right) - \sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m - 1}}}}{m}\sum\limits_{n = 1}^m {{x^n}} } }$ $\displaystyle{ = \log \left( {1 + x} \right) - \sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m - 1}}}}{m} \cdot \frac{{x \cdot \left( {1 - {x^m}} \right)}}{{1 - x}}} = }$

$\displaystyle{ = \log \left( {1 + x} \right) - \frac{x}{{1 - x}}\left( {\sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m - 1}}}}{m}} - \sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m - 1}}{x^m}}}{m}} } \right) = \log \left( {1 + x} \right) - }$ $\displaystyle{\frac{x}{{1 - x}}\left( {\log 2 - \log \left( {1 + x} \right)} \right) = \frac{{\log \left( {1 + x} \right) - x \cdot \log 2}}{{1 - x}}}$

Για $\displaystyle{x=1}$ έχουμε $\displaystyle{S\left( 1 \right) = - \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\sum\limits_{m = n + 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m - 1}}}}{m}} } \right)} = - \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\sum\limits_{m = n + 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^{m - 1}}\int\limits_0^1 {{x^{m - 1}}dx} } } \right)} = }$ $\displaystyle{ - \int\limits_0^1 {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\sum\limits_{m = n + 1}^\infty {{{\left( { - x} \right)}^{m - 1}}} } \right)} } = }$

$\displaystyle{ = - \int\limits_0^1 {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\sum\limits_{m = 1}^\infty {{{\left( { - x} \right)}^{m + n - 1}}} } \right)} } = - \int\limits_0^1 {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( { - x} \right)}^n}\left( {\sum\limits_{m = 1}^\infty {{{\left( { - x} \right)}^{m - 1}}} } \right)} } = }$ $\displaystyle{ - \int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 + x}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( { - x} \right)}^n}} dx} = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{1 + x}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( { - x} \right)}^{n - 1}}} dx} = }$

$\displaystyle{ = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 + x}}dx} - \int\limits_0^1 {\frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}dx} = - \frac{1}{2} + \log 2}$ που είναι και το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 - } \left( {\frac{{\log \left( {1 + x} \right) - x \cdot \log 2}}{{1 - x}}} \right)}$

Για $\displaystyle{x=-1}$ έχουμε $\displaystyle{S\left( { - 1} \right) = - \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\sum\limits_{m = n + 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m - 1}}}}{m}} } \right){{\left( { - 1} \right)}^n}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^m}}}{{m + n}}} } \right)} = \sum\limits_{m = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^m}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{m + n}}} } \right)} }$ που φανερά αποκλίνει.

Τελικά $\displaystyle{S\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\log \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - {\rm{ }},,{\rm{ }} - \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}} \right){x^n}} = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{\log \left( {1 + x} \right) - x \cdot \log 2}}{{1 - x}},\;\quad \left| x \right| < 1\\ \\ - \dfrac{1}{2} + \log 2,{\rm{ }}\quad \quad \quad \quad \;\quad \quad {\rm{ }}x = 1 \end{array} \right.}$ και αποκλίνει για $\displaystyle{\left| x \right| > 1}$ ή $\displaystyle{x=-1}$

#3

Όμορφα Σερφείμ!

Εϊναι το 3965 του Crux. Εδώ και σε pdf (λίγο αλλιώς).

Διάστημα σύγκλισης και υπολογισμός δυναμοσειράς

Διάστημα σύγκλισης και υπολογισμός δυναμοσειράς

Re: Διάστημα σύγκλισης και υπολογισμός δυναμοσειράς

Re: Διάστημα σύγκλισης και υπολογισμός δυναμοσειράς

Μέλη σε σύνδεση