Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

#101

g78di έγραψε:..................................

NikosTheodorakis έγραψε: Υπάρχει η εξής πρόταση η οποία ΔΕΝ αναφέρεται όμως στο σχολικό βιβλίο:
"Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν έχει ακρότατο σε εσωτερικό σημείο του Δ θα είναι γνησίως μονότονη στο Δ."
Αν όμως η συνάρτηση δεν έχει ακρότητα;Αν ειναι σταθερή έχει άπειρα όπως είπατε .
Ισχυρισμός 29 εδώ:http://www.mathher.gr/s/attachments/126 ... 010-11.pdf

Μμμ, όταν είσαι από τις 6 το πρωί στο ΒΚ και εξετάζεις μέχρι τις 5 ΦΑ, άλλα βλέπεις, άλλα διαβάζεις και άλλα καταλαβαίνεις !

Ζητώ συγνώμη από τον Νίκο και από εσάς. Η πρόταση είναι τελείως διαφορετική από αυτή που κατάλαβα-τίποτα δεν κατάλαβα δηλαδή- και πρέπει να την ξανασκεφτώ.

Αν και κάτι μου θυμίζει, δεν μπορώ να το βρω. Δείχνει όμως ενδιαφέρον !!!!

Μια σκέψη που μου έρχεται είναι η εξής :

Θα δείξουμε ότι η συνάρτηση είναι 1-1

.Αν δεν είναι, τότε υπάρχουν a,b

με

Αλλά τότε η συνάρτηση αυτή παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε εσωτερικό σημείο, άτοπο.Θέλει λίγες λεπτομέρειες βέβαια,όπως πχ το ότι σε κλειστό διάστημα η

παρουσιάζει ακράτατες τιμές. Δεν μπορεί τα ακρότατα να είναι και τα δύο στα άκρα, διότι τότε η συνάρτηση είναι σταθερή στο [a,b]

, άτοπο, αφού έτσι θα έχει τοπ.ακρότατα.Επομένως σίγουρα θα έχουμε ακρότατο σε εσωτερικό σημείο, πάλι άτοπο. Ας το δούνε όμως και οι πιο ξεκούραστοι, γιατί ενός κακού μύρια έπονται !

*** Δεν ανέτρεξα στο σύνδεσμο, θα τον ανοίξω τώρα να δω αν θα με οδηγήσει στο αρχείο.

Μπ

apotin · #102

matha έγραψε:
nnod έγραψε:Ένας μαθητής θεώρησε ότι στο Δ2 ζητείται να αποδειχθεί ότι η f δεν έχει ολικά ακρότατα και χρησιμοποίησε το σύνολο τιμών της!Ποια είναι η άποψη σας;
Το παρατήρησα από το πρωί αυτό! Στο διαδραστικό βιβλίο του ψηφιακού σχολείου γράφει:
Το συνημμένο extrema.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Αν κανείς λοιπόν επικαλεστεί αυτόν τον ορισμό, το ερώτημα είναι τετριμμένο, αφού $\displaystyle{f(\mathbb{R})=\mathbb{R}.}$

Στην έκδοση που έχω και κυκλοφορεί εδώ έχει αλλάξει (σελ.259)

: ta_k.png (28.65 KiB) Προβλήθηκε 8502 φορές

Παντελής Μιντεκίδης · #103

Αγαπητοί Συνάδελφοι,

Παρακάτω δίνω την διεύθυνση των απαντήσεων στα Μαθηματικά Πανελλαδικών 2016.
http://neaflorina.blogspot.gr/2016/05/b ... t_248.html

Θερμούς χαιρετισμούς,
Παντελής Μιντεκίδης

#104

MarKo έγραψε:Ξέρουμε την ενδεικτική λύση που δόθηκε από την επιτροπή για την εξέταση των ΦΑ , στο Δ3

ως προς την δικαιολόγηση για το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty }$ ;

Όπως το εξηγήσατε και εδώ .Τίποτα διαφορετικό. Είναι ένα πολύ λεπτό σημείο όμως.

Μπ

erxmer · #105

Η κατεύθυνση των θεμάτων σωστή. Με προφανείς αναφορές στο σχολικό παρήχθησαν όμορφες ασκήσεις. Τα ολοκληρώματα σχεδόν εξαφανισμένα, όπως στις αρχές του προηγούμενου συστήματος (2000) αλλα εντός ύλης τώρα. Η έντονη χρήση αρχικής συνάρτησης τα τελευταία χρόνια, τα εξοβέλισε. Τα θέματα διαβαθμισμένα, εως το 15. Απο εκεί και πάνω ήθελε δουλειά σε βάθος. Στο 4ο θέμα δεν υπήρχε τύπος συνάρτησης, κόντρα στα κυκλοφορούμενα. Ετσι γίνεται οταν υπάρχει κάτι έκδηλο η επιτροπή στρέφεται, και σωστά, στην αντίθετη κατεύθυνση.

#106

Από μεθαύριο που θα αρχίσουν οι διορθώσεις, θα έχουμε άμεση εικόνα για την επίδοση των μαθητών μας .

Ας περιμένουμε όμως να τελειώσουν οι εξετάσεις, να ηρεμήσουν οι μαθητές, να τελειώσει η διόρθωση και μετά να πούμε ίσως ποια ήταν τα δύσκολα σημεία και πώς βαθμολογήθηκαν !

Οι μαθητές , οι γονείς αλλά και όλοι οι συνάδελφοι να ξέρουν ότι στα ΒΚ γίνεται πολύ καλή δουλειά και τα γραπτά αντιμετωπίζονται με ευλάβεια. Ξέρουμε ότι κάθε μονάδα στο γραπτό έχει πληρωθεί για 13 χρόνια με αίμα από την κάθε οικογένεια, ότι πίσω από αυτή κρύβονται δάσκαλοι, καθηγητές, φροντιστές, ξενύχτι, αγωνία , ελπίδα και προσδοκία, κρύβεται μερικές φορές και η πορεία ενός ανθρώπου. Το χέρι μας στάζει πόνο , όταν αναγκαζόμαστε να αφαιρέσουμε μονάδα από ασάφεια ή παράλειψη.Συχνά βλέπουμε εφιάλτες στον ύπνο μας, στην υποψία και μόνο ότι μας ξέφυγε κάτι που ήταν σωστό και δεν το είδαμε.

Οι συντονιστές εξετάζουν σχεδόν ένα προς ένα χιλιάδες κουτάκια για να δούνε μήπως από βαθμολογητή σε βαθμολογητή υπάρχουν αδικαιολόγητες διαφορές και τους ξαναφέρνουν να αλλάξουν το βαθμό, αν όντως έχει γίνει λάθος, από παραδρομή ή άλλη αιτία. Νομίζω ότι κάτω από τις παρούσες συνθήκες, όλοι υπερβαίνουν εαυτούς για να έχουμε το μέγιστο θετικό αποτέλεσμα.

Καλά αποτελέσματα σε όλα τα παιδιά και καλή συνέχεια στις εξετάσεις !!!

Καλή δύναμη στα ΒΚ !

thoddd · #107

Καλησπερα στο Γ'4 σε περιπτωση που καποιος εχει κανει ΘΜΤ δυο φορες παιρνει καποιες μοναδες ή ειναι ολο λαθος?

nikolaos p. · #108

alcamus06 έγραψε:Δεν νομίζω πως κάποιος θα φανταζόνταν τέτοια δομή θεμάτων.
Σχεδόν σε όλα τα θέματα προσομοίωσης κλπ που κυκλοφόρησαν στο 3ο θέμα και στο 4ο έδιναν την συνάρτηση από το
1ο ή το 2ο ερώτημα....
Δεν γίνεται να δουλέψουν οι μαθητές 10 μονάδες στο 3ο και 4ο θέμα χωρίς να έχουν την συνάρτηση.
Δεν έχουν μάθει τέτοια θέματα.Πολλά παιδιά έχασαν χρόνο ψάχνοντας στο 4ο θέμα να υπολογίσουν την f. Κακώς μεν αλλά αυτά
εξετάσαμε.Αν θέμα 3ο είχε μια συνάρτηση και 4ο όπως ήταν θα ξεχώριζε το 16-17 - 18 -19 και 20 .Σήμερα τι ξεχώρισαν ;

Μα μεταξύ άλλων η επιτροπή θεμάτων πρέπει να φροντίζει τα θέματα να μην "ταιριάζουν" με αυτά των διάφορων προσομοιώσεων που κυκλοφόρησαν κλπ.!

GiorgosSim · #109

cretanman έγραψε:Εναλλακτικός τρόπος για το Γ4

Θα δείξουμε ότι η είναι μοναδική λύση της εξίσωσης.

Υποθέτουμε λοιπόν, αντίθετα, ότι υπάρxει που να είναι λύση της εξίσωσης. Ισxύει $|\eta\mu x_0|<x_0$ (από τη γνωστή ανισότητα $|\eta\mu x|\leq |x|$ με ισότητα μόνο για ) καθώς επίσης $|\eta\mu x_0|< |\eta\mu x_0|+3$ και .

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

$\bullet$ Αν $|\eta\mu x_0|+3<x_0$ τότε $|\eta\mu x_0|< |\eta\mu x_0|+3<x_0<x_0+3$ και επειδή ισxύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα $\left[|\eta\mu x_0|, |\eta\mu x_0|+3\right], \ \left[x_0,x_0+3\right]$ άρα υπάρxουν $\xi_1 \in \left(|\eta\mu x_0|, |\eta\mu x_0|+3\right) , \ \xi_2 \in \left(x_0,x_0+3\right)$ ώστε η εξίσωση να γράφεται:

$3f'(\xi_1)=3f'(\xi_2)$ απ΄όπου $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$ και αφού η είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και κι έτσι παίρνουμε $\xi_1=\xi_2$ , πράγμα άτοπο αφού τα $\xi_1, \xi_2$ ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα.

$\bullet$ Αν $x_0\leq |\eta\mu x_0|+3$ τότε $|\eta\mu x_0|<x_0\leq |\eta\mu x_0|+3<x_0+3$ .

Γράφουμε την εξίσωση στη μορφή: $f(x_0)-f\left(|\eta\mu x_0|\right)=f(x_0+3)-f\left(|\eta\mu x_0|+3\right)$

Επειδή ισxύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα $\left[|\eta\mu x_0|, x_0\right], \ \left[|\eta\mu x_0|+3, x_0+3\right]$ άρα υπάρxουν $\xi_1 \in \left(|\eta\mu x_0|, x_0) , \ \xi_2 \in \left(|\eta\mu x_0|+3, x_0+3\right)$ ώστε η εξίσωση να γράφεται:

$(x_0-|\eta\mu x_0|)f'(\xi_1)=(x_0-|\eta\mu x_0|)f'(\xi_2)$ και αφού $x_0-|\eta\mu x_0|\neq 0$ άρα $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$ και αφού η είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και , κι έτσι παίρνουμε $\xi_1=\xi_2$ , πράγμα άτοπο αφού τα $\xi_1, \xi_2$ ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα.

Χαιρετώ την αγαπητή παρέα του

. Ολόιδια ακριβώς λύση με τον κ. Cretaman έκανα. Απλά έχω ενδοιασμούς μήπως υπάρχει κάποιο πρόβλημα στα διαστήματα και μπλέκονται σε κάποια περίπτωση.

#110

g78di έγραψε:...............................

Αν όμως η συνάρτηση δεν έχει ακρότητα;Αν ειναι σταθερή έχει άπειρα όπως είπατε .
Ισχυρισμός 29 εδώ:http://www.mathher.gr/s/attachments/126 ... 010-11.pdf

Ευχαριστώ για την παραπομπή !

Εξ όνυχος τον λέοντα !

Για τον κύριο Μπουνάκη τρέφω άπειρη εκτίμηση και χαίρομαι που κάτω από τελείως διαφορετικές συνθήκες δώσαμε σχετικά παρόμοια απόδειξη . Η λύση του κυρίου Μπουνάκη είναι πιο ολοκληρωμένη, αφού εγώ στηρίχτηκα στην γνωστή αλλά εκτός βιβλίου πρόταση , σύμφωνα με την οποία μια συνεχής και 1-1

συνάρτηση σε ένα διάστημα είναι γνησίως μονότονη.

Αυτό το λάθος μού βγήκε τελικά σε ..καλό, λυπάμαι όμως που στεναχώρησα τον συνάδελδο Νίκο Θεοδωράκη , γιατί απέρριψα -έστω από παρανόηση- την καθ'ολα σωστή και εξαίτερη πρότασή του. I apologise !!!

alcamus06 · #111

nikolaos p. έγραψε: Μα μεταξύ άλλων η επιτροπή θεμάτων πρέπει να φροντίζει τα θέματα να μην "ταιριάζουν" με αυτά των διάφορων προσομοιώσεων που κυκλοφόρησαν κλπ.!

Να το θέσω αλλιώς. Να πω αρχικά ότι το 4ο Θέμα μου άρεσε πολύ. Μου αρέσει η επιστροφή στο σχολικό και τη θεωρία .
Το 3ο Θέμα δεν θα μπορούσε να έχει άλλο ύφος ; Δεν μου φαίνεται δύσκολο το 3ο. Ίσα ίσα που είχα δείξει 3 απο τα 4 στα παιδιά μου πολλές φορες.Και όταν λέω να το πω αλλιώς , Ποιος ; εχει σκεφθεί ή βάλει ή εξετάσει θέμα με 2ο ή 3ο ή 4ο να έχει συνολικά 10 μονάδες στις 20 όπου να εξετάζει μόνο γνώσεις σε θεωρητικη βάση ; Τα παιδιά , έχουν μάθει αρκετά στη μελέτη συνάρτησης και σε θεωρήματα ύπαρξης ριζών κλπ . Δεν γκρινιάζω γιατί δεν μου άρεσαν τα θέματα. Απλά θεωρώ πως σχόλια ότι τα θέματα ήταν εύκολα , εξέταζαν όλη την ύλη και μέχρι το ...ήταν εύκολα ότι είναι υπερβολικά.
Πάντα με διάθεση συζήτησης σε ευγενικό κλίμα.

ΘΩΜΑΣ Γ · #112

Στο Δ2 μαθητής μου το προσέγγισε ως εξής. Έθεσε ότι $\displaystyle{f(x)=y .}$ Τότε $\displaystyle{e^y + x = f(y) +e^x .}$ Παραγωγίζοντας ως προς

δηλαδή το $\displaystyle{x}$ θεωρείται πλέον αριθμός κατέληξε στο $\displaystyle{f'(y)=e^y > 0}$ για κάθε

Οπότε

γν.αύξουσα και δεν έχει ακρότατο.
Θα ήθελα την γνώμη σας .Ευχαριστώ πολύ

#113

ΘΩΜΑΣ Γ έγραψε:Στο Δ2 μαθητής μου το προσέγγισε ως εξής. Εθεσε οτι f(x)=y . Τότε e^y + x = f(y) +e^x . Παραγωγίζοντας ως προς y δηλαδή το χ θεωρείτε πλέον αριθμός κατέληξε στο f'(y)=e^y > 0 για κάθε y. Οπότε f γν.αύξουσα και δεν έχει ακρότατο.
Θα ήθελα την γνώμη σας .Ευχαριστώ πολύ

Δεν είναι σωστό διότι το

έχει εξάρτηση από το

. Συνεπώς δεν μπορεί το

να θεωρηθεί σταθερή συνάρτηση.

Αλέξανδρος

mathsrebel · #114

Η "άγρια" ομορφιά της απλότητας....
No Bolzano's theorem...No Rolle's theorem...
No Mean Value's theorem...
No Coke...No Heroin...No Hasch-Hasch...No Amfetamin...
https://www.youtube.com/watch?v=ny43zFochi8

Επιτροπή Θεμάτων 2025 · #115

Δημοσιεύουμε την 1η Έκδοση του Δελτίου Λύσεων του

στη σημερινή εξέταση των μαθητών στα Μαθηματικά που επιμελήθηκαν τα Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.

Δόθηκε ιδιαίτερη έμφαση στις εναλλακτικές προσεγγίσεις κάποιων επιμέρους ερωτημάτων με σκοπό τη διευκόλυνση και των συναδέλφων Βαθμολογητών των οποίων το δύσκολο έργο ξεκινά μεθαύριο. Οι εναλλακτικοί τρόποι βρίσκονται στο τέλος του Δελτίου.

Τυχόντα τυπογραφικά/λάθη ή εναλλακτικές προσεγγίσεις σε κάποια ερωτήματα (μόνο αν διαφέρουν στην ουσία της λύσης και όχι στον τρόπο γραφής) μπορείτε να τα στέλνετε με προσωπικό μήνυμα στον παρόντα λογαριασμό είτε με email στο info (AT) mathematica.gr

Ευχόμαστε καλή συνέχεια στους μαθητές μας που διαγωνίστηκαν και καλά αποτελέσματα!

Εκ μέρους της επιτροπής σύνταξης του Δελτίου Λύσεων

Edit (20/05/2016, 10:00): Με μικρές διορθώσεις σε τυπογραφικά λάθη. Ευχαριστούμε για την επισήμανσή τους.

Christos75 · #116

Καλησπέρα σε όλους. Να εκφράσω κι εγώ την άποψή μου για τα φετινά θέματα. Θεωρώ ότι με δεδομένη την συγκεκριμένη φετινή ύλη τα θέματα ήταν...καλά! Άλλωστε τι επιλογές υπήρχαν; Η διαβάθμιση ήταν σαφής και ξεκάθαρα με εξαίρεση τα θέματα Γ και Δ. Προσωπικά εγώ θεωρώ ότι οι δυσκολίες ξεκινούσαν από το θέμα Γ και συγκεκριμένα το Γ2 και υπήρχε πρόβλημα στην αντιμετώπιση και του Γ4 από αρκετά παιδιά. Ωστόσο, θεωρώ ότι το 14 με 16 είναι εφικτό και από ένα μέτριο μαθητή αλλά από εκεί και πάνω τα πράγματα ήταν δύσκολα και απαιτούσαν καθαρό μυαλό, τεχνικές και εμβάθυνση στην ύλη, καλώς για εμένα. Το πρόβλημα που εγώ θέλω να εκφράσω και να επαναφέρω με δεδομένη τη σημερινή εξέταση είναι ότι πρέπει να αλλάξουμε τη ρότα που έχουν πάρει τα Μαθηματικά τον τελευταίο χρόνο. Κατ'εμέ δεν είναι δυνατόν να έχουμε στην ύλη Μ Ο Ν Ο ανάλυση και άλλους τομείς των Μαθηματικών ούτε καν τους...«ακουμπάμε». Που είναι η Άλγεβρα; Η Γεωμετρία ίσως; Δεν είναι δυνατόν η μαθηματική μας κουλτούρα να περιορίζεται στην Ανάλυση και σε εξετάσεις εισαγωγής σε πανεπιστήμια να προσπαθούμε να βάλουμε «τεχνικά» θέματα, λεπτομέρειες ανούσιες και παγίδες για να πέσει μέσα ο κόσμος! Πρέπει σαφώς και ξεκάθαρα, η ύλη των Μαθηματικών να διευρυνθεί, να υπάρχει επέκταση και σε άλλους τομείς και ας μην έχει τόσο βάθος στην εξέτασή της αλλά...ευρύτητα γνώσεων! Η συρρίκωνση που υφίσταται το εν λόγω μαθημα είναι ε γ κ λ η μ α τ ι κ ή ! ! ! Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρία (Ε.Μ.Ε.) αλλά και όλοι εμείς που αγαπάμε το αντικείμενο πρέπει να αλλάξουμε αυτή τη στρέβλωση στον επιστημονικό αυτό χώρο. Ελπίζω να μην κούρασα με όσα ανέφερα και να δούμε σύντομα αλλαγές που να είναι προς όφελος της Μαθηματικής παιδείας της χώρας μας.

Jason98 · #117

Μια ερώτηση: Στο Β4 έπρεπε να κάνουμε ολικό πίνακα μεταβολών; Γιατί εγώ θεώρησα ως αρκετούς τους πίνακες από τα Β1, Β2 και δεν έκανα ολικό πίνακα...

#118

Jason98 έγραψε:Μια ερώτηση: Στο Β4 έπρεπε να κάνουμε ολικό πίνακα μεταβολών; Γιατί εγώ θεώρησα ως αρκετούς τους πίνακες από τα Β1, Β2 και δεν έκανα ολικό πίνακα...

Όχι δεν είναι απαραίτητο. Στο Δελτίο το συμπεριλάβαμε για να μη χρειάζεται κάποιος που το διαβάζει να ανατρέχει στα προηγούμενα ερωτήματα. Εξάλλου το ερώτημα είναι σαφές: "Με βάση τις απαντήσεις στα ερωτήματα Β1, Β2, Β3 να σχεδιάσετε..."

Jason98 · #119

cretanman έγραψε:Όχι δεν είναι απαραίτητο. Στο Δελτίο το συμπεριλάβαμε για να μη χρειάζεται κάποιος που το διαβάζει να ανατρέχει στα προηγούμενα ερωτήματα. Εξάλλου το ερώτημα είναι σαφές: "Με βάση τις απαντήσεις στα ερωτήματα Β1, Β2, Β3 να σχεδιάσετε..."

Τέλεια. Ευχαριστώ!

#120

GiorgosSim έγραψε:
cretanman έγραψε:Εναλλακτικός τρόπος για το Γ4

Θα δείξουμε ότι η είναι μοναδική λύση της εξίσωσης.

Υποθέτουμε λοιπόν, αντίθετα, ότι υπάρxει που να είναι λύση της εξίσωσης. Ισxύει $|\eta\mu x_0|<x_0$ (από τη γνωστή ανισότητα $|\eta\mu x|\leq |x|$ με ισότητα μόνο για ) καθώς επίσης $|\eta\mu x_0|< |\eta\mu x_0|+3$ και .

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

$\bullet$ Αν $|\eta\mu x_0|+3<x_0$ τότε $|\eta\mu x_0|< |\eta\mu x_0|+3<x_0<x_0+3$ και επειδή ισxύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα $\left[|\eta\mu x_0|, |\eta\mu x_0|+3\right], \ \left[x_0,x_0+3\right]$ άρα υπάρxουν $\xi_1 \in \left(|\eta\mu x_0|, |\eta\mu x_0|+3\right) , \ \xi_2 \in \left(x_0,x_0+3\right)$ ώστε η εξίσωση να γράφεται:

$3f'(\xi_1)=3f'(\xi_2)$ απ΄όπου $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$ και αφού η είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και κι έτσι παίρνουμε $\xi_1=\xi_2$ , πράγμα άτοπο αφού τα $\xi_1, \xi_2$ ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα.

$\bullet$ Αν $x_0\leq |\eta\mu x_0|+3$ τότε $|\eta\mu x_0|<x_0\leq |\eta\mu x_0|+3<x_0+3$ .

Γράφουμε την εξίσωση στη μορφή: $f(x_0)-f\left(|\eta\mu x_0|\right)=f(x_0+3)-f\left(|\eta\mu x_0|+3\right)$

Επειδή ισxύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα $\left[|\eta\mu x_0|, x_0\right], \ \left[|\eta\mu x_0|+3, x_0+3\right]$ άρα υπάρxουν $\xi_1 \in \left(|\eta\mu x_0|, x_0) , \ \xi_2 \in \left(|\eta\mu x_0|+3, x_0+3\right)$ ώστε η εξίσωση να γράφεται:

$(x_0-|\eta\mu x_0|)f'(\xi_1)=(x_0-|\eta\mu x_0|)f'(\xi_2)$ και αφού $x_0-|\eta\mu x_0|\neq 0$ άρα $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$ και αφού η είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και , κι έτσι παίρνουμε $\xi_1=\xi_2$ , πράγμα άτοπο αφού τα $\xi_1, \xi_2$ ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα.

Χαιρετώ την αγαπητή παρέα του . Ολόιδια ακριβώς λύση με τον κ. Cretaman έκανα. Απλά έχω ενδοιασμούς μήπως υπάρχει κάποιο πρόβλημα στα διαστήματα και μπλέκονται σε κάποια περίπτωση.

Δεν τίθεται τέτοιο θέμα. Αυτός είναι και ο λόγος που παίρνουμε περιπτώσεις (στη δεύτερη περίπτωση τροποποιούμε και την εξίσωση): Για να μην έχουμε αλληλοεπικάλυψη διαστημάτων και έτσι να καταλήξουμε σε άτοπο.

Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Μέλη σε σύνδεση