Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

ZF1986 · #21

Για το Δ2 β)
f ' συνεχής και f ' (x) διάφορο του μηδενός αφού η f δεν έχει ακρότατα άρα η f διατηρεί πρόσημο.

f ' (0)=1 > 0 και f συνεχής αρά η f γνησίως αύξοσα.

Nikkie · #22

dopfev έγραψε:
themata έγραψε:για το Γ καποιο σχόλιο;
Στο Γ2 είναι 4 οι συναρτήσεις ή κάνω λάθος;

Δύο δεν είναι ? αφού η προηγούμενη είναι θετική?

ann79 · #23

4 είναι γιατί είναι μη μηδενική στο $R^{*}$ που είναι ένωση διαστημάτων.

Nikkie · #24

αφου μπορουμε να βρουμε το προσημο της Γ1 και ειναι θετική

Λάμπρος Μπαλός · #25

silouan έγραψε:ΘΕΜΑ Δ

Δ1 Από τη συνέχεια της έχουμε ότι $\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=f(0)$ . Αν τώρα $f(0)\neq 0$ τότε
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{\sin x}=\pm\infty$ άτοπο.

Επομένως . Επιπλέον εφαρμόζοντας Del' Hospital παίρνουμε ότι $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{\cos x}=1$ και από τη συνέχεια της έπεται ότι

Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες δύο φορές έχουμε ότι

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}f''(x)\sin x\, dx=-\int_{0}^{\pi}f'(x)\cos x\, dx=f(\pi)-f(0)-\int_{0}^{\pi}f(x)\sin x\, dx$ , οπότε από τη δοθείσα έχουμε ότι

$f(\pi)-f(0)=\pi$ και αφού , θα είναι $f(\pi)=\pi.$

Δ2
Με παραγώγιση στη δοθείσα παίρνουμε $\displaystyle e^{f(x)}f'(x)+1=f'(x)f'(f(x))+e^x$
Έστω τώρα τέτοιο ώστε , τότε από την παραπάνω παίρνω ότι δηλαδή , άτοπο, αφού .
Άρα η δεν έχει ακρότατα.
Επομένως η είναι μη μηδενιζόμενη και ως συνεχής, διατηρεί σταθερό πρόσημο. Δεδομένου ότι , θα έχουμε ότι για κάθε , άρα γνήσια αύξουσα.

Δ3 $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ , έπεται ότι η δεν είναι φραγμένη. Αυτό σε συνδυασμό με το γεγονός ότι είναι γνήσια αύξουσα, συνεπάγεται ότι $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=+\infty$

Επιπλέον $|\sin x+\cos x|\leq 2$ επόμενως είμαστε στην περίπτωση μηδενική επί φραγμένη και το ζητούμενο όριο ισούται με .

Δ4 Αφού η είναι γνησίως αύξουσα, θα έχουμε ότι $f(0)=f(\ln 1)\leq f(\ln x)\leq f(\pi)=\pi$ για κάθε $x\in [1,e^{\pi}].$

Επομένως
$\displaystyle 0\leq\int_{1}^{e^{\pi}}\frac{f(\ln x)}{x}\, dx\leq \int_{1}^{e^{\pi}}\frac{\pi}{x}\, dx=\pi^2.$

Η ισότητα αριστερά και δεξιά ισχύει αν και μόνο αν η είναι σταθερή, το οποίο είναι άτοπο καθώς είναι γνησίως αύξουσα.

Περιγράφω κάτι εναλλακτικό για το δεξιά σκέλος.

f(lnx)/x=(F(lnx))'

και το ολοκλήρωμα ισούται με $F( \pi)-F(0)= \pi f(\xi) < \pi f(\pi) = \pi ^{2}$

drakpap · #26

Μια απλή ερώτηση με το παλαιό σύστημα έδωσαν τα ίδια θέματα. Απαραδεκτοι αν έγινε αυτό. Τζάμπα διάβαζαν την έξτρα ύλη

Γ.ΑΣΗΜΑΚΟΠΟΥΛΟΣ · #27

Στο Γ4 προφανής ρίζα το 0 και θεωρείς άλλη ρίζα ρ>0 και φτάνεις σε άτοπο

nick41 · #28

Καλημέρα,
για το Δ3 το ότι η

δεν είναι φραγμένη δεν έπεται από τη συναρτησιακή σχέση που δίνεται; Η πληροφορία για το σύνολο τιμών στην εκφώνηση νομίζω είναι περιττή.

ann79 · #29

Στο Γ4

Δεν χρειάζεται να θεωρηθεί άλλη ρίζα, αν πάρουμε g(x)=f(x+3)-f(x)

, η

Προκύπτει γνησίως αύξουσα αφού η

κυρτή και

για

θετικό ή μηδέν άρα |sinx|=|x|

με την ισότητα να ισχύει μόνο για x=0

#30

Δ1. Από $\int\limits_0^\pi {\left( {f\left( x \right) + f''\left( x \right)} \right)\eta \mu xdx = \pi \Leftrightarrow }$ $\int\limits_0^\pi {\left( {f\left( x \right)\eta \mu x + f''\left( x \right)\eta \mu x} \right)dx = \pi \Leftrightarrow }$

$\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)\eta \mu xdx} + \int\limits_0^\pi {f''\left( x \right)\eta \mu xdx} = \pi \Leftrightarrow$ $\int\limits_0^\pi {f\left( x \right){{\left( { - \sigma \upsilon \nu x} \right)}^\prime }dx} + \int\limits_0^\pi {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^\prime }\eta \mu xdx} = \pi \Leftrightarrow$

$\left[ { - f\left( x \right)\sigma \upsilon \nu x} \right]_0^\pi - \int\limits_0^\pi {f'\left( x \right)\left( { - \sigma \upsilon \nu x} \right)dx}$ $+ \left[ {f'\left( x \right)\eta \mu x} \right]_0^\pi - \int\limits_0^\pi {f'\left( x \right)\sigma \upsilon \nu xdx} = \pi$

$\Leftrightarrow - f\left( \pi \right)\sigma \upsilon \nu \pi - \left( { - f\left( 0 \right)\sigma \upsilon \nu 0} \right) + \int\limits_0^\pi {f'\left( x \right)\sigma \upsilon \nu xdx} +$ $f'\left( \pi \right)\eta \mu \pi - f'\left( 0 \right)\eta \mu 0 - \int\limits_0^\pi {f'\left( x \right)\sigma \upsilon \nu xdx} = \pi$ $\Leftrightarrow \boxed{f\left( \pi \right) + f\left( 0 \right) = \pi }:\left( 1 \right)$ .

Θεωρούμε τη συνάρτηση $g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{\eta \mu x}},x \in \left( { - \pi ,0} \right) \cup \left( {0,\pi } \right) \subseteq R$ . Ισχύει από την υπόθεση $\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right) = 1}:\left( 2 \right)$ .

Αλλά $g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{\eta \mu x}} \Rightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\eta \mu x$ και με

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right) = 1 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \eta \mu x = 0 \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)} \right) \cdot \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \eta \mu x} \right)$ $= 1 \cdot 0 = 0\mathop \Rightarrow \limits^{f\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \,\,\sigma \tau o\,\,0} \boxed{f\left( 0 \right) = 0}:\left( 3 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} f\left( \pi \right) = \pi$ .

Είναι $f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{g\left( x \right) \cdot \eta \mu x - 0}}{x} =$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {g\left( x \right) \cdot \dfrac{{\eta \mu x}}{x}} \right)\mathop = \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right) = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\eta \mu x}}{x} = 1} \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)} \right) \cdot \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\eta \mu x}}{x}} \right) =$ $1 \cdot 1 = 1 \Rightarrow \boxed{f'\left( 0 \right) = 1}:\left( 4 \right)$ .

Δ2.α) Έστω ότι η

παρουσιάζει ακρότατο σε κάποιο ${{x}_{0}}\in R$ , επειδή το ${{x}_{0}}$ είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης και η

είναι παραγωγίσιμη στο

, σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat θα ισχύει $\boxed{f'\left( {x{}_0} \right) = 0}:\left( 5 \right)$ .

Με

παραγωγίσιμη στο

προκύπτει ότι οι συναρτήσεις $h\left( x \right) = {e^{f\left( x \right)}} + x,k\left( x \right) = f\left( {f\left( x \right)} \right) + {e^x},x \in R$ είναι παραγωγίσιμες στο

(πράξεις με παραγωγίσιμες στο

) και από τη δοσμένη ισότητά τους για κάθε $x\in R$ προκύπτει ότι θα έχουν και ίσες παραγώγους για κάθε $x\in R$ .

Αλλά $h'\left( x \right) = {\left( {{e^{f\left( x \right)}} + x} \right)^\prime } = {e^{f\left( x \right)}} \cdot f'\left( x \right) + 1$ και $k'\left( x \right) = {\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right) + {e^x}} \right)^\prime } = f'\left( {f\left( x \right)} \right) \cdot f'\left( x \right) + {e^x},x \in R$ .

Θα ισχύει λοιπόν ${e^{f\left( x \right)}} \cdot f'\left( x \right) + 1 = f'\left( {f\left( x \right)} \right) \cdot f'\left( x \right) + {e^x},x \in R$

$\mathop \Rightarrow \limits^{x = x{}_0} {e^{f\left( {x{}_0} \right)}} \cdot f'\left( {x{}_0} \right) + 1 = f'\left( {f\left( {x{}_0} \right)} \right) \cdot f'\left( {x{}_0} \right) + {e^{x{}_0}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 5 \right)}$ $1 = {e^{x{}_0}} \Rightarrow {x_0} = \ln 1 = 0$ άτοπο αφού $f'\left( 0 \right) = 1 \ne 0$ .

Άρα η

δεν παρουσιάζει ακρότατα.

β) Αφού η ${f}'\left( x \right)\ne 0$ για κάθε $x\in R$ και η {f}'

είναι συνεχής από την υπόθεση προκύπτει ότι η {f}'

θα διατηρεί το πρόσημό της στο

και με

${f}'\left( 0 \right)=1>0\Rightarrow {f}'\left( x \right)>0$ για κάθε $x\in R$ και συνεπώς η

είναι γνησίως αύξουσα στο

Δ3. Για κάθε $x > \pi \mathop \Rightarrow \limits^{f\,\,\gamma \nu \eta \sigma \iota \omega \varsigma \,\,\alpha \upsilon \xi o\upsilon \sigma \alpha } f\left( x \right) > f\left( \pi \right) = \pi$ $\mathop \Rightarrow \limits^{f\,\,\gamma \nu \eta \sigma \iota \omega \varsigma \,\,\alpha \upsilon \xi o\upsilon \sigma \alpha } f\left( {f\left( x \right)} \right) > f\left( \pi \right) = \pi \Rightarrow$

$f\left( {f\left( x \right)} \right) + {e^x} > {e^x} + \pi \Rightarrow {e^{f\left( x \right)}} + x > {e^x} + \pi > {e^x}$ $\Rightarrow \boxed{{e^{f\left( x \right)}} > {e^x} - x}:\left( 6 \right)$ .

Για τη συνάρτηση $t\left( x \right) = {e^x},x \in R$ η οποία είναι δίς παραγωγίσιμη στο

με $\ldots t''\left( x \right) = {e^x} > 0,x \in R$ άρα κυρτή στο η εφαπτόμενη της γραφικής της παράστασης στο σημείο της $M\left( 0,1 \right)$ είναι η ευθεία $\left( \varepsilon \right):y=x+1$ και λόγω της κυρτότητας είναι

${e^x} \geqslant x + 1 \Rightarrow {e^x} - x \geqslant 1,x \in R$ με την ισότητα να ισχύει για x=0

ενώ για $x>\pi >0$ είναι ${{e}^{x}}-x>1$ .

Έτσι από την $\left( 6 \right)$ παίρνουμε ισοδύναμα $\ln {e^{f\left( x \right)}} > \ln \left( {{e^x} - x} \right) > \ln 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) > \ln \left( {{e^x} - x} \right) > 0$ $\Rightarrow \boxed{0 < \frac{1}{{f\left( x \right)}} < \frac{1}{{\ln \left( {{e^x} - x} \right)}}}:\left( 7 \right)$ .

Είναι $\left| {\dfrac{{\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}{{f\left( x \right)}}} \right| = \dfrac{{\left| {\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x} \right|}}{{\left| {f\left( x \right)} \right|}}:\left( 8 \right)$ .

Επίσης $0 \leqslant \left| {\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x} \right| \leqslant \left| {\eta \mu x} \right| + \left| {\sigma \upsilon \nu x} \right| \leqslant 2\mathop \Rightarrow \limits^{\left| {f\left( x \right)} \right| = f\left( x \right),x > \pi }$ $0 < \dfrac{{\left| {\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x} \right|}}{{f\left( x \right)}} \leqslant 2\dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 8 \right)}$ $\boxed{0 < \left| {\dfrac{{\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}{{f\left( x \right)}}} \right| \leqslant 2\dfrac{1}{{f\left( x \right)}}}:\left( 9 \right)$

Και $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{e^x} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{e^x}\left( {1 - \dfrac{x}{{{e^x}}}} \right)} \right)$ αλλά από τον κανόνα του De L' Hospital είναι

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{x}{{{e^x}}}\mathop = \limits^{\frac{{ + \infty }}{{ + \infty }}} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{{\left( x \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{e^x}} \right)}^\prime }}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{{e^x}}}\mathop = \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {e^x} = + \infty } 0$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {e^x} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 - \frac{x}{{{e^x}}}} \right) = 1 - 0 = 1} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{e^x} - x} \right) = + \infty$ .

Ετσι $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \ln \left( {{e^x} - x} \right)\mathop = \limits^{u = {e^x} - x,x \to + \infty \Rightarrow u \to + \infty } \mathop {\lim }\limits_{u \to + \infty } \ln u = + \infty \Rightarrow$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{\ln \left( {{e^x} - x} \right)}} = 0\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 7 \right)\,\kappa \rho \iota \tau \eta \rho \iota o\,\,\pi \alpha \rho \varepsilon \mu \beta o\lambda \eta \varsigma } \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = 0$

$\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 7 \right)\,\kappa \rho \iota \tau \eta \rho \iota o\,\,\pi \alpha \rho \varepsilon \mu \beta o\lambda \eta \varsigma } \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left| {\dfrac{{\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}{{f\left( x \right)}}} \right| = 0$ . και με $- \left| {\dfrac{{\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}{{f\left( x \right)}}} \right| \leqslant \dfrac{{\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}{{f\left( x \right)}} \leqslant \left| {\dfrac{{\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}{{f\left( x \right)}}} \right|$

και $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left| {\dfrac{{\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}{{f\left( x \right)}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \left| {\dfrac{{\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}{{f\left( x \right)}}} \right|} \right) = 0$ από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}{{f\left( x \right)}} = 0$

Δ4. Είναι $\int\limits_1^{{e^\pi }} {\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}dx} \mathop = \limits^{u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx,x = 1 \Rightarrow u = 0,x = {e^\pi } \Rightarrow u = \pi } \int\limits_0^\pi {f\left( u \right)du} :\left( 9 \right)$ . Αλλά με $f\left( 0 \right) = 0$ όπως προέκυψε πιο πάνω από το $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{\eta \mu x}=1$ και με

γνησίως αύξουσα στο R

προκύπτει ότι $0 \leqslant u \leqslant \pi \mathop \Rightarrow \limits^{f\,\,\gamma \nu \eta \sigma \iota \omega \varsigma \,\,\alpha \upsilon \xi o\upsilon \sigma \alpha \,\,\sigma \tau o\,\,\left[ {0,\pi } \right]} f\left( 0 \right) \leqslant f\left( u \right) \leqslant f\left( \pi \right)$ $\mathop \Rightarrow \limits^{f\left( 0 \right) = 0,f\left( \pi \right) = \pi } 0 \leqslant f\left( u \right) \leqslant \pi \mathop \Rightarrow \limits^{f\,\,\mu \eta \,\,\mu \eta \delta \varepsilon \nu \iota \kappa \eta \,\,(\omega \varsigma \,\,\gamma \nu \eta \sigma \iota \omega \varsigma \,\,\alpha \upsilon \xi o\upsilon \sigma \alpha )\,\,\sigma \tau o\,\,\left[ {0,\pi } \right]}$

$0 < \int\limits_0^\pi {f\left( u \right)du} < \int\limits_0^\pi {\pi du} = {\pi ^2}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 9 \right)} \boxed{0 < \int\limits_1^{{e^\pi }} {\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}dx} < {\pi ^2}}$

apotin · #31

drakpap έγραψε:Μια απλή ερώτηση με το παλαιό σύστημα έδωσαν τα ίδια θέματα. Απαραδεκτοι αν έγινε αυτό. Τζάμπα διάβαζαν την έξτρα ύλη

Η ύλη ήταν ίδια

astakokaravida · #32

Στο Γ2 4 συναρτησεις στα διαστηματα $(-\infty,0)$ και στo $(0,+\infty)$ .

NikosTheodorakis · #33

Θέμα Α: Θεωρία.

Θέμα Β: Πολύ απλό θέμα διαφορικού λογισμού.

Θέμα Γ: Τα Γ1, Γ2 είναι στη φιλοσοφία των ασκήσεων και εφαρμογών του σχολικού και θεωρούνται βατά ερωτήματα. Το Γ3 θεωρείται επίσης βατό και το Γ4 μέτριας δυσκολίας.

Θέμα Δ: Το Δ1 είναι βατό θέμα που συνδυάζει γνώσεις από διάφορα κεφάλαια της ύλης. Το Δ2 είναι ένα βατό θέμα πάνω στις συναρτήσεις και τον διαφορικό λογισμό. Το όριο του Δ3 είναι αρκετά βατό καθώς είναι προφανής ο τρόπος επίλυσης (κριτήριο παρεμβολής). Η ανίσωση που ζητείται να αποδειχθεί στο Δ4 είναι επίσης βατή.

Σε γενικές γραμμές θα χαρακτήριζα τα θέματα ως τα ευκολότερα της τελευταίας 15ετίας. Η βάση πιάνεται και από τους ελάχιστα προετοιμασμένους, το 15 πιάνεται εύκολα από έναν μέτριο μαθητή και οι καλά προτετοιμασμένοι θα διακυμανθούν από 18-20. Θα έχουμε αρκετά 20άρια. Τα θέματα αδικούν τους πολύ καλά προετοιμασμένους και ταλαντούχους μαθητές, οι οποίοι δεν θα καταφέρουν να διακριθούν. Πάντως η διαβάθμιση των θεμάτων ήταν ικανοποιητική και τα θέματα κάλυπταν σχετικά μεγάλο μέρος της ύλης, προσωπικά περίμενα και Rolle και αντίστροφη και Bolzano που έλλειπαν από το διαγώνισμα.

ann79 · #34

Nikkie έγραψε:αφου μπορουμε να βρουμε το προσημο της Γ1 και ειναι θετική

Γιατί να είναι όμως και η

θετική; Αφού οι απόλυτες τους είναι ίσες!

#35

ΘΕΜΑ Γ

Γ1 Γενικά ισχύει η ανισότητα $e^{y}\geq y+1$ με ισότητα αν και μόνο αν y=0

, οπότε $e^{x^2}\geq x^2+1$ με ισότητα αν και μόνο αν x=0.

Άρα

είναι μοναδική λύση.

Γ2 Έστω $g(x)=e^{x^2}-x^2-1$ , τότε f^2(x)=g^2(x)

οπότε

Αν τώρα υπάρχουν $x_0,y_0\neq 0$ ώστε f(x_0)=g(x_0)

και

τότε αφού

και

, υπάρχει σημείο όπου η

μηδενίζεται.
Αν όμως η

μηδενίζεται, μηδενίζεται και

, αλλά η

μηδενίζεται μόνο στο

επομένως είτε x_0>0>y_0

είτε

.
Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι x_0>0>y_0

. Τότε για κάθε x_1

με

θα πρέπει να ισχύει x_1>0.

Από τα παραπάνω, οι συναρτήσεις είναι
1) f(x)=g(x)

για κάθε $x\in\mathbb{R}$

2) f(x)=-g(x)

για κάθε $x\in\mathbb{R}$

3) f(x)=g(x)

για $x\geq 0$ και f(x)=-g(x)

για

4)

για $x\geq 0$ και f(x)=g(x)

για

Γ3 Με παραγώγιση έχουμε $f''(x)=2e^{x^2}+4x^2e^{x^2}-2$ , $x\in\mathbb{R}$ .
Επειδή $x^2\geq 0$ θα έχουμε $2e^{x^2}\geq 2$ με ισότητα μόνο όταν x=0

, επομένως $f''(x)\geq 0$ με ισότητα μόνο όταν x=0

άρα

κυρτή.

Γ4 Θεωρούμε συνάρτηση g(x)=f(x+3)-f(x)

. Τότε

αφού η

είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως

γνησίως αύξουσα, άρα
πρέπει $x=|\sin x|$ , που ισχύει αν και μόνο αν x=0

.

Nikkie · #36

ann79 έγραψε:
Nikkie έγραψε:αφου μπορουμε να βρουμε το προσημο της Γ1 και ειναι θετική
Γιατί να είναι όμως και η θετική; Αφού οι απόλυτες τους είναι ίσες!

η

ή

plat_man · #37

το Γ2, σχολικό ασκηση 7/ σελιδα 200

drakpap · #38

NikosTheodorakis έγραψε:Θέμα Α: Θεωρία.

Θέμα Β: Πολύ απλό θέμα διαφορικού λογισμού.

Θέμα Γ: Τα Γ1, Γ2 είναι στη φιλοσοφία των ασκήσεων και εφαρμογών του σχολικού και θεωρούνται βατά ερωτήματα. Το Γ3 θεωρείται επίσης βατό και το Γ4 μέτριας δυσκολίας.

Θέμα Δ: Το Δ1 είναι βατό θέμα που συνδυάζει γνώσεις από διάφορα κεφάλαια της ύλης. Το Δ2 είναι ένα βατό θέμα πάνω στις συναρτήσεις και τον διαφορικό λογισμό. Το όριο του Δ3 είναι αρκετά βατό καθώς είναι προφανής ο τρόπος επίλυσης (κριτήριο παρεμβολής). Η ανίσωση που ζητείται να αποδειχθεί στο Δ4 είναι επίσης βατή.

Σε γενικές γραμμές θα χαρακτήριζα τα θέματα ως τα ευκολότερα της τελευταίας 15ετίας. Η βάση πιάνεται και από τους ελάχιστα προετοιμασμένους, το 15 πιάνεται εύκολα από έναν μέτριο μαθητή και οι καλά προτετοιμασμένοι θα διακυμανθούν από 18-20. Θα έχουμε αρκετά 20άρια. Τα θέματα αδικούν τους πολύ καλά προετοιμασμένους και ταλαντούχους μαθητές, οι οποίοι δεν θα καταφέρουν να διακριθούν. Πάντως η διαβάθμιση των θεμάτων ήταν ικανοποιητική και τα θέματα κάλυπταν σχετικά μεγάλο μέρος της ύλης, προσωπικά περίμενα και Rolle και αντίστροφη και Bolzano που έλλειπαν από το διαγώνισμα.

Θέλω να δεις τα στατιστικά τον ιούνιο και να απαντήσεις γιατί οσο εύκολα σου φαίνονται δεν παύει να είναι παιδιά και η αιτιολόγηση δεν είναι εύκολη. η απλά εσείς διδάσκετε σε παιδιά διάνοιες

plat_man · #39

το Δ1 είναι ασκηση 11 , σελίδα 340

nikolaos p. · #40

Από τους μαθητές που βγήκαν στο εξεταστικό κέντρο όπου ήμουν επιτηρητής (στα Αρχαία) άκουσα οτι τα θέματα ήταν δύσκολα.
Προφανώς εννοούσαν τα 3ο, 4ο, γιατί τα 2 πρώτα δεν παρουσιάζουν ιδιαίτερη δυσκολία.

Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Μέλη σε σύνδεση