Ισοσκελής υπερβολή

Μαρία Σαμπάνη · #1

Δίνονται τα σημεία $\displaystyle{T\left( {\frac{{{e^t} + {e^{ - t}}}}{2},\frac{{{e^t} - {e^{ - t}}}}{2}} \right)}$ όπου t πραγματικός αριθμός.
Α)Να δειχθεί οτι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Τ είναι ισοσκελής υπερβολή.
Β) Να υπολογισθεί η παράσταση $\displaystyle{{|(T{E_2}) - (T{E_1})|}}$ όπου $\displaystyle{{{E_1}}}$ και $\displaystyle{{{E_2}}}$ οι εστίες της υπερβολής.
Γ) Να βρεθεί που ανήκει το Τ όταν $\displaystyle{{(T{E_2}) - (T{E_1})}}$ =2
Δ) Αν (γ) η γραμμή που ανήκουν τα σημεία Τ του Γ ερωτήματος, να δειχθεί οτι δεν υπάρχει σημείο της γραμμής (γ) στο οποίο η εφαπτομένη της υπερβολής να είναι παράλληλη στις ασύμπτωτές της.

STOPJOHN · #2

Μαρία Σαμπάνη έγραψε:Δίνονται τα σημεία $\displaystyle{T\left( {\frac{{{e^t} + {e^{ - t}}}}{2},\frac{{{e^t} - {e^{ - t}}}}{2}} \right)}$ όπου t πραγματικός αριθμός.
Α)Να δειχθεί οτι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Τ είναι ισοσκελής υπερβολή.
Β) Να υπολογισθεί η παράσταση $\displaystyle{{|(T{E_2}) - (T{E_1})|}}$ όπου $\displaystyle{{{E_1}}}$ και $\displaystyle{{{E_2}}}$ οι εστίες της υπερβολής.
Γ) Να βρεθεί που ανήκει το Τ όταν $\displaystyle{{(T{E_2}) - (T{E_1})}}$ =2
Δ) Αν (γ) η γραμμή που ανήκουν τα σημεία Τ του Γ ερωτήματος, να δειχθεί οτι δεν υπάρχει σημείο της γραμμής (γ) στο οποίο η εφαπτομένη της υπερβολής να είναι παράλληλη στις ασύμπτωτές της.

Kαλημέρα

Α) θέτουμε

$2x=e^{t}+e^{-t},(1), 2y=e^{t}-e^{-t},(2), (1),(2)\Rightarrow x+y=e^{t},x-y=e^{-t}, x^{2}-y^{2}=1$

Τα υπόλοιπα το βράδυ η αύριο

Γιάννης

#3

Ο γεωμετρικός τόπος είναι για την ακρίβεια ο δεξιός κλάδος της υπερβολής $\displaystyle{x^2-y^2=1,}$ αφού είναι προφανώς $\displaystyle{x>0.}$ Επίσης οφείλουμε να αποδείξουμε και το αντίστροφο, ότι δηλαδή κάθε σημείο του δεξιού κλάδου είναι της μορφής $\displaystyle{\left(\frac{e^t+e^{-t}}{2},\frac{e^t-e^{-t}}{2}\right)}$ , κάτι το οποίο είναι ημιπροφανές.

Επί τη ευκαιρία ας αναφερθεί ότι ένα ωραίο βιβλιαράκι σχετικά με τις παραπάνω συναρτήσεις, οι οπoίες είναι οι γνωστές μας υπερβολικό συνημίτονο και υπερβολικό ημίτονο

$\displaystyle{\cosh x=\frac{e^t+e^{-t}}{2}, \sinh x=\frac{e^t-e^{-t}}{2}}$

είναι το

Hyperbolic Functions του Shervatov , στο οποίο εκτός από τους ορισμούς και τις σχετικές ιδιότητες, ο αναγνώστης μπορεί να δει κατά την ανάγνωση, τον παραλληλισμό μεταξύ κυκλικών και υπερβολικών συναρτήσεων.

STOPJOHN · #4

Β) Από το πρώτο ερώτημα είναι $x^{2}-y^{2}=1,x>0,a=b=1,\gamma =\sqrt{2},E_{2}(\sqrt{2},0),E_{1}(-\sqrt{2},0)$ . Συνεπώς από τον ορισμό της υπερβολής είναι $\left|(TE_{2})-(TE_{1}) \right|=2.1=2$

Γ) Εφόσον δόθηκε ότι $(TE_{2})>(TE_{1}),(TE_{2})-(TE_{1})=2$ το

θα κινείται στο δεξιό κλάδο της ισοσκελούς υπερβολής

Δ) Είναι απλό με άτοπο απαγωγή και τον τύπο της εφαπτομένης. Θα συμπληρωθεί αργότερα

φιλικά
Γιάννης

Ισοσκελής υπερβολή

Ισοσκελής υπερβολή

Re: Ισοσκελής υπερβολή

Re: Ισοσκελής υπερβολή

Re: Ισοσκελής υπερβολή

Μέλη σε σύνδεση