Αποχαιρετώντας τους μιγαδικούς

Σταμ. Γλάρος · #1

Αγαπητοί φίλοι του

Συγχωρέστε μου μια τελευταία παρένθεση στους μιγαδικούς ... μια και βγήκαν εκτός ύλης!

1. Να λυθεί η εξίσωση: $(cos^2\vartheta) z^2-4(cos\vartheta)z+4+sin^2\vartheta=0$ (1), με $\vartheta \epsilon [0,\frac{\pi }{2} )$ .

2. Αν τα σημεία Μ,Ν είναι εικόνες των ριζών $z_{1},z_{2}$ της παραπάνω εξίσωσης (1), να αποδείξετε ότι κινούνται
πάνω σε μία υπερβολή.

3. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών

για τους οποίους ισχύει η σχέση:
$w^2+\bar{w}^2+8i(w-\bar{w})+2\left|w \right|^2=0$ .

4. Να βρεθεί η ελάχιστη απόσταση των εικόνων A(z)

και

των μιγαδικών

και

στην περίπτωση κατά την οποία $Im(z)\geq 0$ .

Ελπίζω να μην σπατάλησα άδικα τον χρόνο σας.
Σταμ. Γλάρος

#2

Σταμ. Γλάρος έγραψε:Αγαπητοί φίλοι του
Συγχωρέστε μου μια τελευταία παρένθεση στους μιγαδικούς ... μια και βγήκαν εκτός ύλης!
Ελπίζω να μην σπατάλησα άδικα τον χρόνο σας.
Σταμ. Γλάρος

Κάθε άλλο! Αλλίμονο αν ασχολούμασταν μόνο με τα γούστα της εκάστοτε επιτροπής...

Να κάνω μια πρόβλεψη: Και οι Μιγαδικοί και άλλα σημαντικά τμήματα της ύλης θα ξαναπάρουν την αξία που τους πρέπει στα σχολικά μαθηματικά
και θά 'ναι ντάλα μεσημέρι!

#3

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Σταμ. Γλάρος έγραψε:Αγαπητοί φίλοι του
Συγχωρέστε μου μια τελευταία παρένθεση στους μιγαδικούς ... μια και βγήκαν εκτός ύλης!
Ελπίζω να μην σπατάλησα άδικα τον χρόνο σας.
Σταμ. Γλάρος
Κάθε άλλο! Αλλίμονο αν ασχολούμασταν μόνο με τα γούστα της εκάστοτε επιτροπής...

Να κάνω μια πρόβλεψη: Και οι Μιγαδικοί και άλλα σημαντικά τμήματα της ύλης θα ξαναπάρουν την αξία που τους πρέπει στα σχολικά μαθηματικά
και θά 'ναι ντάλα μεσημέρι!

HIGH NOON

S.E.Louridas · #4

Μακάρι ο Θεός να με βγάλει ψεύτη αλλά θεωρώ ότι σιγά - σιγά θα κατακλυστεί και το Ελληνικό σχολείο από τα Μαθηματικά της Αγοράς. Το αν αυτό θα είναι καλό ή όχι θα δείξει. Συζητώντας με ένα δάσκαλο που ήταν μαθητής μου για το θέμα της διδασκαλίας των μαθηματικών στο δημοτικό μου είπε: Μα δάσκαλε το Δημοτικό πλέον πρέπει να προσφέρει κύρια δεξιότητες για να αισθάνεται το παιδί άνετα και να μην έχει ψυχολογικά προβλήματα.

Σταμ. Γλάρος · #5

Αγαπητοί φίλοι.
Ζητώ συγγνώμη γιατί μου διέφυγε κάτι σημαντικό στο 4ο υποερώτημα!
Οι γτ. που προκύπτουν είναι :
Για την λύση της (1) $z_{1}=\frac{2}{cos\vartheta }+(tan\theta)i$ , προκύπτει ο γ.τ. $\frac{x^2}{4}-y^2=1$ .
με $y\geq 0$ και x>0

. Οπότε θεωρώ την συνάρτηση: $f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x^2-4}$ .

Για τον μιγαδικό

του 3ου υποερωτήματος έχουμε τον γ.τ. $y=\frac{1}{4}x^2$ . Επομένως θεωρούμε
την συνάρτηση $g(x)=\frac{1}{4}x^2$ .

Εύκολα προκύπτουν δύο παράλληλες εφαπτομένες στις γραφικές παραστάσεις των παραπάνω συναρτήσεων στα σημεία
$A(\sqrt{5},f(\sqrt{5} ))$ και $B(\sqrt{5},g(\sqrt{5} ))$ .

Δυστυχώς όμως για να είναι η (AB)

η ελάχιστη απόσταση θα πρέπει η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία επαφής να είναι κάθετη στις εφαπτομένες. Και προφανώς αυτό δεν ισχύει.
Συνεπώς το πρόβλημα παραμένει ανοιχτό. Αντιμετωπίζεται, άραγε, με ύλη Γ Λυκείου;
Και πάλι ζητώ συγγνώμη, αν ταλαιπώρησα όσους ασχολήθηκαν.
Ευχαριστώ για την κατανόηση!
Σταμ. Γλάρος

Grosrouvre · #6

Σταμ. Γλάρος έγραψε:
1. Να λυθεί η εξίσωση: $(cos^2\vartheta) z^2-4(cos\vartheta)z+4+sin^2\vartheta=0$ (1), με $\vartheta \epsilon [0,\frac{\pi }{2} )$ .

Ξεκινώ σιγά σιγά μία λύση

1. Η εξίσωση που δίνεται, είναι δευτέρου βαθμού ως προς

με πραγματικούς συντελεστές. Για τη διακρίνουσα της εξίσωσης έχουμε:

$\Delta = 16\cos^2\theta - 4\cos^2\theta \left( 4 + \sin^2\theta \right) = - 4\cos^2\theta sin^2\theta \leq 0$ για κάθε $\theta \in [0, \frac{\pi}{2})$ .

Επομένως, οι ζητούμενες ρίζες της εξίσωσης είναι οι:

$\displaystyle{z_{1,2} = \frac{4\cos\theta \pm 2\sin\theta \cos\theta i}{2\cos^2\theta} = \frac{2}{cos\theta} \pm \tan\theta i$ .

chris_konst · #7

2. Από την $\displaystyle{1+ \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} }$ είναι $\displaystyle{4+ 4\tan^2 \theta = \frac{4}{\cos^2 \theta} \Leftrightarrow 4+4y_M^2 = x_M^2 }$ . Επομένως το M(z_1)

, (όπου $\displeystyle{ z_1= \frac{2}{\cos \theta} + i\tan \theta }$ ), ανήκει στην υπερβολή με εξίσωση $\displaystyle{ \frac{x^2}{4}-y^2=1 }$ . Μάλιστα είναι σημείο του 1ου τεταρτημορίου αφού $\theta \in [0, \frac{\pi}{2} )$ , άρα $x_M>0, y_M \ge 0$ . Αντίστοιχα το N(z_2)

, με $\displeystyle{ z_2= \frac{2}{\cos \theta} - i\tan \theta }$ , ανήκει στην ίδια υπερβολή αλλά στο 4ο τεταρτημόριο.

Grosrouvre · #8

Σταμ. Γλάρος έγραψε:
3. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει η σχέση:
$w^2+\bar{w}^2+8i(w-\bar{w})+2\left|w \right|^2=0$ .

3. Έστω

, όπου $x, y \in \mathbb{R}$ . Επίσης, παρατηρούμε ότι $\left( w + \bar{w} \right)^2 = w^2 + 2|w|^2 + \bar{w}^2$ , όπου $w + \bar{w} = 2x$ και $w - \bar{w} = 2yi$ .

Επομένως, η δοθείσα σχέση γίνεται:

$4x^2 - 16y = 0 \Longrightarrow y = \frac{x^2}{4}$

Δηλαδή, οι εικόνες του μιγαδικού

ανήκουν στην παραβολή με εξίσωση $y = \frac{x^2}{4}$ και επειδή για κάθε σημείο της παραπάνω παραβολής ικανοποιείται η δοθείσα σχέση, ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του

είναι αυτή η παραβολή.

dpa2007 · #9

S.E.Louridas έγραψε:Μακάρι ο Θεός να με βγάλει ψεύτη αλλά θεωρώ ότι σιγά - σιγά θα κατακλυστεί και το Ελληνικό σχολείο από τα Μαθηματικά της Αγοράς. Το αν αυτό θα είναι καλό ή όχι θα δείξει. Συζητώντας με ένα δάσκαλο που ήταν μαθητής μου για το θέμα της διδασκαλίας των μαθηματικών στο δημοτικό μου είπε: Μα δάσκαλε το Δημοτικό πλέον πρέπει να προσφέρει κύρια δεξιότητες για να αισθάνεται το παιδί άνετα και να μην έχει ψυχολογικά προβλήματα.

Συγγνώμη που ανακινώ τόσο παλιό νήμα,αλλά ποιες είναι οι δεξιότητες που πρέπει να προσφέρει πλέον το Δημοτικό στα παιδιά;
και ποιες ήταν πριν;
και γιατί θα πρέπει να είναι συγκεκριμένες ώστε να μην έχει ψυχολογικά προβλήματα...;

Δυστυχώς οι μιγαδικοί βγήκαν εκτός ύλης,ελπίζω κάποια στιγμή να επιστρέψουν,αν και δεν αισιοδοξώ γιατί σε μια επικείμενη αλλαγή συστήματος σε μερικά χρόνια που θα συνοδεύεται και με αλλαγή βιβλίων δεν είμαι σίγουρος αν τεθεί θέμα επιστροφής ύλης.
Το ίδιο συνέβη και με άλλα θέματα που κάποτε διδάσκονταν στην Γ Λυκείου.

Αποχαιρετώντας τους μιγαδικούς

Αποχαιρετώντας τους μιγαδικούς

Re: Αποχαιρετώντας τους μιγαδικούς

Re: Αποχαιρετώντας τους μιγαδικούς

Re: Αποχαιρετώντας τους μιγαδικούς

Re: Αποχαιρετώντας τους μιγαδικούς

Re: Αποχαιρετώντας τους μιγαδικούς

Re: Αποχαιρετώντας τους μιγαδικούς

Re: Αποχαιρετώντας τους μιγαδικούς

Re: Αποχαιρετώντας τους μιγαδικούς

Μέλη σε σύνδεση