ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

[kochris]

στο 1ο πρόβλημα πόσους n αριθμούς βρήκες;

Στο πρώτο θέμα (αν δεν μου διαφεύγει κάτι) , και .

[perpant]

Στο πρώτο θέμα (αν δεν μου διαφεύγει κάτι) , και .

Βρίσκω και και .
Βρίσκω τις τρίαδες:

[kochris]

Nαι, προφανώς

[Demetres]

Η υπόδειξη που έδωσα για τον τέταρτο ήταν για την λύση που έδωσε ο Παναγιώτης.

Δίνω ακόμη μια λύση:

Έστω ο αριθμός όλων των -άδων ώστε τα παίρνουν τις τιμές και το άθροισμα είναι άρτιος.

Έχουμε τέτοιες -άδες με . (Αφού θα είναι άρτιος.)
Έχουμε τέτοιες -άδες με . (Για τον ίδιο λόγο)
Έχουμε τέτοιες -άδες με . (Αφού θα είναι περιττός.)

Άρα .

Είναι . Άρα και .

[Επαγωγικά βγαίνει ]

[Nick Math]

Μήπως έχει κανείς καμια γενική εικόνα των βάσεων? Προσωπικά πιστεύω πως μπορεί να πέσουν και στο 6.5 όπως το 2012.

[Harrya]

Μήπως έχει κανείς καμια γενική εικόνα των βάσεων? Προσωπικά πιστεύω πως μπορεί να πέσουν και στο 6.5 όπως το 2012.

Λυπάμαι αλλά δεν νομίζω. Υπάρχουν αρκετά παιδιά που έχουν λύσει , η έτσι νομίζουν, δύο θέματα. Καταλαβαίνω επίσης από ενα μικρο δείγμα παιδιων´ οτι λίγοι λύσανε το 3ο θέμα της γεωμετρίας και ελάχιστοι το 4ο. Εσύ γιατί νομίζεις οτι θα πέσει στο 6.5; Το δικό σου δείγμα τι λέει ?

[Nick Math]

Εγώ έλυσα ολόσωστο το 1ο πρόβλημα(βρήκα μάλιστα 5 τιμές του n). To 2 το προσπάθησα, αλλά βρήκα ότι χ=-2 , y=1 & z=2, λύση που δεν είναι σωστή για την 2η ισότητα. Βέβαια, για να μην χάσω πολλές μονάδες έγραψα αναλυτικά την μεθοδολογία. Το 3ο δεν το έκανα γιατί δεν είχα διδαχθεί το συμμετρικό σημείο, αφού ήταν εκτός ύλης πέρυσι και φέτος & το 4ο το έκανα λάθος, καθώς χρησιμοποίησα το παραγόντιο. Όμως αυτό που με κάνει να πιστεύω ότι οι βάσεις θα πέσουν είναι το γεγονός ότι ενώ τα περσυνά θέματα ήταν πολύ εύκολα, η βάση ήταν το 8,5.

[Τσιαλας Νικολαος]

Τα θεματα ηταν σχετικα βατα...2 παιδια ξερω..το ενα εηραψε 4 και το δικο μου 3(γιατι βαρεθηκε να κατσει να λυσει το θεμα δευτερο ενω ειχε 45 λεπτα ακομη... )..
Οπωτε πιστευω πως η βαση θα ειναι σιγουρα πανω απο το 11...συντομα θα ξερουμε..υπομονη!!

Υ.γ:θελω να ευχαριστησω τους "δικους μας" Μπαμπη στεργιου και σιλουανο μπραζιτικο για τα 2 υπεροχα βιβλια τους!!

[Nick Math]

Ναι, μα είστε σίγουρος ότι τα έγραψε σωστά;

[Τσιαλας Νικολαος]

Ποτε δεν μπορουμε να ειμαστε 100% σιγουροι αν δεν εχουμε το γραπτο μπροστα μας...αλλα με δεδομενο οτι εουν κανει σωστη πορεια και σωστα αποτελεσματα ο μονος λογος για να χασει κατι ειναι απο δικιολογηση

[Nick Math]

Μήπως ξέρει κανείς πότε θα ανακοινωθούν τα αποτελέσματα;

[Nick Math]

[Σταύρος Σταυρόπουλος]

ΘΕΡΜΑ ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ σε όλα τα παιδιά που πέρασαν στον Αρχιμήδη και ιδιαίτερα στον Γιώργο Χριστοδούλου από το Κιάτο Κορινθίας.

[Demetres]

Να δώσω ακόμη μια λύση για το 4ο θέμα:

Αγνοώ την εξάδα . Κάθε άλλη εξάδα έχει τουλάχιστον ένα ή . Βρίσκω το τελευταίο ή της εξάδας και το αλλάζω σε ή αντίστοιχα. Τότε αλλάζω από άθροισμα άρτιο σε άθροισμα περιττό. Αυτή αντιστοιχία είναι 1-1.

Δηλαδή εξαιρώντας το , από όλες τις υπόλοιπες εξάδες οι μισές έχουν άθροισμα περιττό και οι υπόλοιπες άρτιο. Έχουμε όμως άλλες εξάδες. Από αυτές οι έχουν άθροισμα περιττό και οι άλλες άθροισμα άρτιο.

Άρα μαζί με την έχουμε εξάδες με άθροισμα άρτιο.

[Demetres]

Ας δούμε και μια ακόμη πιο σύντομη λύση του 4ου θέματος:

Ο ζητούμενος αριθμός είναι το άθροισμα των άρτιων όρων του . Άρα ισούται με .

[nikkru]

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά που πήρας μέρος στον διαγωνισμό, είτε προκρίθηκαν σε επόμενη φάση είτε όχι.
Επισυνάπτω τους επιτυχόντες του Αρχιμήδη 2016 (αντιγραφή από την ιστοσελίδα της ΕΜΕ).

[Little einstein]

Μήπως ξέρετε πού κυμάνθηκαν οι βάσεις φετος?

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Πρόβλημα 3
Αν οι τέμνονται στο , το είναι μέσο του επομένως . Οπότε το σημείο είναι ορθόκεντρο του τριγώνου καθώς . Άρα και .

[socrates]

Πρόβλημα 3
Αν οι τέμνονται στο , το είναι μέσο του επομένως . Οπότε το σημείο είναι ορθόκεντρο του τριγώνου καθώς . Άρα και .

Ωραία λύση!

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Ας δούμε και μια ακόμη πιο σύντομη λύση του 4ου θέματος:

Ο ζητούμενος αριθμός είναι το άθροισμα των άρτιων όρων του . Άρα ισούται με .