Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#421

sakis1963 έγραψε:Ασκηση 152
Το συνημμένο GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.152.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο ορθογώνιο του σχήματος τα είναι εφαπτόμενα τμήματα των κύκλων

Αν είναι συνευθειακά βρείτε το λόγο $\dfrac{a}{b}$

Καλημέρα Σάκη.

: Ορθογώνια.152.png (15.94 KiB) Προβλήθηκε 1251 φορές

Λόγω των εφαπτόμενων τμημάτων και της συνευθειακότητας, τα τρίγωνα ADT, ABS

είναι όμοια:

$\displaystyle{\frac{{a - b}}{b} = \frac{b}{a} \Leftrightarrow {a^2} - ab - {b^2} = 0 \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{a}{b} = \phi }$

#422

sakis1963 έγραψε:Ασκηση 153
Το συνημμένο GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.153.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο ορθογώνιο του σχήματος τα είναι εφαπτόμενα τμήματα των κύκλων

Αν $TS \parallel AB$ βρείτε το λόγο $\dfrac{a}{b}$

: Ορθογώνια.153.png (17.98 KiB) Προβλήθηκε 1246 φορές

$\displaystyle{SB = \frac{{AB}}{2} \Leftrightarrow B\widehat AS = {30^0}\mathop = \limits^{TS//AB} T\widehat SA}$ . To ABST

είναι ισοσκελές τραπέζιο, άρα $\displaystyle{S\widehat BA = B\widehat AT = {60^0} \Leftrightarrow T\widehat AD = {30^0} \Leftrightarrow AT = \frac{{AD\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{a}{b} = \sqrt 3 }$

sakis1963 · #423

Ασκηση 154

: GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.154.png (21.17 KiB) Προβλήθηκε 1230 φορές

Στην προέκταση της πλευράς

του ορθογωνίου ABCD

παίρνω σημείο

και τον περίκυκλο του ABS

.

Ο κύκλος που διέρχεται από τα C, D

και εφάπτεται της

, τέμνει την προέκταση της

στο

.

α. Δείξτε ότι η

είναι εφαπτομένη του περίκυκλου του ABS

β. Πότε το ASCT

είναι παραλληλόγραμμο (δηλ. που θα διαλέξουμε το

σε σχέση με τα a, b

ώστε να προκύψει TD=BS

); (δεν τόχω μελετήσει ακόμα...)

KARKAR · #424

Άσκηση 155

: Άσκηση 154.png (8.39 KiB) Προβλήθηκε 1225 φορές

Σημείο

κινείται στην πλευρά

ορθογωνίου ABCD

. Η διχοτόμος της $\widehat{ADS}$

τέμνει την

στο

. Βρείτε την ελάχιστη τιμή του

. Για να μειωθεί ο όγκος της

δουλειάς , θεωρήστε AD=1 , AB=2

και εν ανάγκη χρησιμοποιήστε λογισμικό !

KARKAR · #425

Άσκηση 156

: Άσκηση 155.png (9.67 KiB) Προβλήθηκε 1210 φορές

Το ημικύκλιο διαμέτρου

εφάπτεται της πλευράς

, ορθογωνίου ABCD

,

στο σημείο

. Ονομάζω

το μέσο του τόξου $\overset{\frown}{TB}$ και

το μέσο της χορδής

.

Η ευθεία

(επανα)τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο

. Δείξτε ότι $\widehat{DSM}=90^0$ .

sakis1963 · #426

KARKAR έγραψε:Άσκηση 156
Το συνημμένο Άσκηση 155.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το ημικύκλιο διαμέτρου εφάπτεται της πλευράς , ορθογωνίου ,

στο σημείο . Ονομάζω το μέσο του τόξου $\overset{\frown}{TB}$ και το μέσο της χορδής .

Η ευθεία (επανα)τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο . Δείξτε ότι $\widehat{DSM}=90^0$ .

Ασκηση 156

: GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ. 156.png (21.38 KiB) Προβλήθηκε 1173 φορές

Το

είναι προφανώς το κέντρο του τετραγώνου AOTD

οπότε έχουμε :

$SM\cdot MN=AM\cdot MT=OM\cdot MD$ απόπου $\hat{DSM}=\hat{DOC}=90^o$

KARKAR · #427

Άσκηση 157

: Άσκηση 157.png (12.89 KiB) Προβλήθηκε 1126 φορές

Η διάκεντρος

των εγκύκλων των τριγώνων ABD,BCD

ορθογωνίου ABCD

,

είναι κάθετη προς τις BK,DO

. Βρείτε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ και δείξτε ότι DO=OK=KB

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #428

KARKAR έγραψε:Άσκηση 157
Το συνημμένο Άσκηση 157.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Η διάκεντρος των εγκύκλων των τριγώνων ορθογωνίου ,

είναι κάθετη προς τις . Βρείτε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ και δείξτε ότι .

$\displaystyle{OM = //KN \Rightarrow MONK}$ παραλ/μμο $\displaystyle{ \Rightarrow ML = LN = x}$

$\displaystyle{2x + DM = DZ = \alpha - r \Rightarrow 2x + b - r = \alpha - r \Rightarrow \boxed{x = \frac{{a - b}}{2}}}$

$\displaystyle{DN + NB = BD = d \Rightarrow a - r + b - r = d \Rightarrow \boxed{r = \frac{{a + b - d}}{2}}}$

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{DOL}$ έχουμε $\displaystyle{O{M^2} = DM \cdot ML \Rightarrow {\left( {\frac{{a + b - d}}{2}} \right)^2} = (b - \frac{{a + b - d}}{2})(\frac{{a - b}}{2}) \Leftrightarrow ...2{a^2} + 2{b^2} + {d^2} = d{(3a + b)^2}(1)}$

Με $\displaystyle{d = \sqrt {{\alpha ^2} + {b^2}} (1) \Leftrightarrow 3({\alpha ^2} + {b^2}) = \sqrt {{\alpha ^2} + {b^2}} {(3a + b)^2} \Leftrightarrow 8{b^2} = 6ab \Leftrightarrow \boxed{\frac{a}{b} = \frac{4}{3}}}$

Τότε εύκολα προκύπτει $\displaystyle{\boxed{r = \frac{b}{3}}}$ και $\displaystyle{\boxed{OE = \frac{{2b}}{3}},\boxed{x = \frac{b}{6}}}$ , $\displaystyle{\boxed{DL = \frac{{5b}}{6}}}$

Από Π.Θ στο $\displaystyle{\vartriangle ODM \Rightarrow OD = \frac{{b\sqrt 5 }}{3} = KB}$

$\displaystyle{O{L^2} = LM \cdot LD = \frac{b}{6} \cdot \frac{{5b}}{6} \Rightarrow 2OL = \boxed{OK = \frac{{b\sqrt 5 }}{3}}}$ .Άρα $\displaystyle{\boxed{DO = OK = KB}}$

: A157.png (17.7 KiB) Προβλήθηκε 1107 φορές

#429

KARKAR έγραψε:Άσκηση 157
Το συνημμένο Άσκηση 157.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Η διάκεντρος των εγκύκλων των τριγώνων ορθογωνίου ,

είναι κάθετη προς τις . Βρείτε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ και δείξτε ότι .

: 157.png (22.03 KiB) Προβλήθηκε 1090 φορές

Επειδή $\hat{ADC}=90^0$ και DO, DK

είναι διχοτόμοι των $\hat{ADB}, \hat{BDC}$ , θα είναι $\hat{ODK}=45^0$ ,

άρα $\boxed{OD=OK=KB}$

Για OM=x

, έχουμε: $\displaystyle{5{x^2} = D{M^2} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{4} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{20}}}$ (1)

$\displaystyle{(DOM) = \frac{{DO \cdot OM}}{2} = \frac{{DM \cdot r}}{2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{4}r\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} }$ $\boxed{r = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{5}}$ (2)

$\displaystyle{(ADB) = \frac{{ab}}{2} = s \cdot r \Leftrightarrow \frac{{ab}}{2} = \frac{{a + b + \sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{2} \cdot r \Leftrightarrow }$ $\boxed{r = \frac{{a + b - \sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{2}}$ (3)

Από

και για

, παίρνουμε: $\boxed{\frac{b}{a} = \frac{3}{4}}$

KARKAR · #430

Άσκηση 158

: Άσκηση 158.png (8.8 KiB) Προβλήθηκε 1057 φορές

Από την κορυφή

, ενός ορθογωνίου ABCD

, φέρουμε τμήμα $DS \perp AC$ .

Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ , αν $\widehat{ABS}=30^0$ . ( Θυμάστε τον όρο

- οστή ρίζα ? )

Μιχάλης Τσουρακάκης · #431

KARKAR έγραψε:Άσκηση 158
Το συνημμένο Άσκηση 158.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Από την κορυφή , ενός ορθογωνίου , φέρουμε τμήμα $DS \perp AC$ .

Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ , αν $\widehat{ABS}=30^0$ . ( Θυμάστε τον όρο - οστή ρίζα ? )

$\displaystyle{\frac{{2{S_1}}}{{2{S_2}}} = \frac{x}{y} = {\left( {\frac{b}{a}} \right)^2} \Rightarrow {\left( {\frac{b}{a}} \right)^2} = \frac{{aSB\sin {{30}^0}}}{{bSB\sin {{60}^0}}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow {\left( {\frac{a}{b}} \right)^3} = \sqrt 3 \Rightarrow \boxed{\frac{a}{b} = \sqrt[6]{3}}}$

: a158.png (15.57 KiB) Προβλήθηκε 1045 φορές

KARKAR · #432

Άσκηση 159

: Άσκηση 159.png (74.42 KiB) Προβλήθηκε 1006 φορές

Ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές OS=x , OA=y

. Σχηματίζουμε ορθογώνιο

ABCD

, με το

επί της υποτείνουσας

και το

στην προέκταση της

.

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του ABCD

. Εφαρμογή για x=1

και

.

ealexiou · #433

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 159.png (10.5 KiB) Προβλήθηκε 984 φορές

Απάντηση: $\boxed{(ABCD)_{max}=\dfrac{y(x^2+y^2)}{4x}}$ και για x=1,y=4

, $\boxed{(ABCD)_{max}=17}$

Είναι $AS=\sqrt{x^2+y^2}$ και ας είναι BS=z

, άρα και $AB= \sqrt{x^2+y^2}-z$

Είναι $\triangle SBC\sim \triangle SOA \Rightarrow \dfrac{BC}{BS}= \dfrac{AO}{SO}=\dfrac{y}{x} \Rightarrow \boxed{BC=\dfrac{yz}{x}}$ , οπότε:

$(ABCD)=AB\cdot BC=(\sqrt{x^2+y^2}-z)\dfrac{yz}{x}=\dfrac{y}{x}\left[\left(\sqrt{x^2+y^2}-z\right)\cdot z\right]$

και επειδή $\left(\sqrt{x^2+y^2}-z\right)+z=\sqrt{x^2+y^2}=st$ , η παράσταση $\left(\sqrt{x^2+y^2}-z\right)\cdot z$

μεγιστοποιείται όταν $\sqrt{x^2+y^2}-z=z \Rightarrow 2z=\sqrt{x^2+y^2}\Rightarrow \boxed{z=\dfrac{ \sqrt{x^2+y^2}}{2}}$

οπότε $(ABCD)_{max}=\dfrac{y}{x}\cdot\left[\left(\sqrt{x^2+y^2}-\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}\right)\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}\right]\Rightarrow$

$\boxed{\boxed{(ABCD)_{max}=\dfrac{y}{x}\cdot \dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}=\dfrac{y(x^2+y^2)}{4x}}}$

και για x=1,y=4

είναι $\boxed{(ABCD)_{max}=\dfrac{4(1^2+4^2)}{4\cdot1}=17}$

KARKAR · #434

Άσκηση 160

: Άσκηση 160.png (6.05 KiB) Προβλήθηκε 920 φορές

Το

είναι μεταβλητό τετράγωνο . Υπολογίστε (AST)+(TPC)

, όταν :

Α) Τα A,T,C

είναι συνευθειακά ... β) Όταν το άθροισμα αυτό είναι μέγιστο .

#435

KARKAR έγραψε:Άσκηση 160
Το συνημμένο Άσκηση 160.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το είναι μεταβλητό τετράγωνο . Υπολογίστε , όταν :

Α) Τα είναι συνευθειακά

: 160.png (10.51 KiB) Προβλήθηκε 913 φορές

Α) $\displaystyle{(AST) + TPC) = \frac{{ab}}{2} - {x^2}}$ . Αλλά, $\displaystyle{\frac{x}{a} = \frac{{b - x}}{b} \Leftrightarrow x = \frac{{ab}}{{a + b}}}$

Άρα: $\boxed{(AST) + TPC) = \frac{{ab({a^2} + {b^2})}}{{2{{(a + b)}^2}}}}$

KARKAR έγραψε: β) Όταν το άθροισμα αυτό είναι μέγιστο .

: 160.β.png (11.78 KiB) Προβλήθηκε 906 φορές

$\displaystyle{(ATB) + (TBC) = \frac{{a + b}}{2}x = (ATCB) = (AST) + (TPC) + {x^2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(AST) + (TPC) = - {x^2} + \frac{{a + b}}{2}x}$ , που παρουσιάζει μέγιστο στο $\displaystyle{{x_0} = \frac{{a + b}}{4}}$

και είναι $\boxed{{\left( {(AST) + (TPC)} \right)_{\max }} = {\left( {\frac{{a + b}}{4}} \right)^2}}$

sakis1963 · #436

Ασκηση 161

: GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.161.png (21.05 KiB) Προβλήθηκε 884 φορές

Μια παραλλαγή κλασικής άσκησης στα ορθογώνια.

Τα P, Q

είναι τυχαία σημεία των πλευρών AB, CD

του ορθογωνίου ABCD

.

Αν $S=AQ \cap DP$ και $T=BQ \cap CP$ , να δειχθεί ότι η

προεκτεινόμενη αποκόπτει ίσα τμήματα στις AD, BC

KARKAR · #437

Άσκηση 162

: Άσκηση 161.png (12.91 KiB) Προβλήθηκε 841 φορές

Στις πλευρές AB,DC

, ορθογωνίου ABCD

παίρνουμε σημεία S,T

αντίστοιχα . Οι AT,BT

τέμνουν τις CS,DS

στα σημεία Q,P

. Δείξτε ότι είναι (DAP)+(CBQ)=(TPSQ)

.

Σημ : Δεν είναι απαραίτητο το ABCD

να είναι ορθογώνιο αλλά αν είναι , ίσως έχουμε περισσότερες λύσεις .

#438

KARKAR έγραψε:Άσκηση 162
Το συνημμένο Άσκηση 161.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στις πλευρές , ορθογωνίου παίρνουμε σημεία αντίστοιχα . Οι

τέμνουν τις στα σημεία . Δείξτε ότι είναι .

Σημ : Δεν είναι απαραίτητο το να είναι ορθογώνιο αλλά αν είναι , ίσως έχουμε περισσότερες λύσεις .

: 162.png (24.19 KiB) Προβλήθηκε 838 φορές

(έχουν κοινή βάση και ίσα ύψη λόγω παραλληλίας) και ομοίως (STC)=(BTC)

. Άρα:

και το ζητούμενο έπεται.

KARKAR · #439

Άσκηση 163

: Άσκηση 163.png (8.46 KiB) Προβλήθηκε 798 φορές

Ο κύκλος του σχήματος εφάπτεται των τριών πλευρών του ορθογωνίου ABCD

.

Σημείο

κινείται επί του κύκλου . Βρείτε τις ακρότατες τιμές του SB^2+SD^2

.

STOPJOHN · #440

KARKAR έγραψε:Άσκηση 163
Το συνημμένο Άσκηση 163.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Ο κύκλος του σχήματος εφάπτεται των τριών πλευρών του ορθογωνίου .

Σημείο κινείται επί του κύκλου . Βρείτε τις ακρότατες τιμές του .

Από το θεώρημα των διαμέσων στο τρίγωνο $DSB, SB^{2}+SD^{2}=2OS^{2}+\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2},(1),d=OM,$ Από τη γνωστή ανισότητα $OL\leq OS\leq OM,(2)$ Από τις σχέσεις (1),(2)

συνεπάγεται ότι : η μέγιστη κα ελάχιστη τιμή του $DS^{2}+SB^{2}$ είναι $a^{2}+\dfrac{b^{2}}{2}, \dfrac{5b^{2}}{2}+a^{2}-2ab$ αντίστοιχα με

η ακτίνα του κύκλου

Γιάννης

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μέλη σε σύνδεση