Βοήθεια σε άσκηση ακολουθίας

Jimaraz97 · #1

Καλησπέρα, θα μπορούσε κάποιος να μου δώσει μια απάντηση στην άσκηση που ακολουθεί. Η αλήθεια είναι πως αν και ξέρω να την απαντήσω δεν γνωρίζω πως να το γράψω καθώς δεν έχω ξανά δει παρόμοια (αναδρομικός τύπος). Θα ήθελα να δω την μεθοδολογία γραφής της δηλαδή.

Η άσκηση:

Δίνεται η ακολουθία:
$a_{n+1}=a^2_n-a_n+1\,, a_1=1/2$

(i) Αν η ακολουθία συγκλίνει να, υπολογίσετε το όριό της.
(ii) Να δείξετε ότι η ακολουθία συγκλίνει.

Ευχαριστώ εκ των προτέρων!

#2

Jimaraz97 έγραψε:Καλησπέρα, θα μπορούσε κάποιος να μου δώσει μια απάντηση στην άσκηση που ακολουθεί. Η αλήθεια είναι πως αν και ξέρω να την απαντήσω δεν γνωρίζω πως να το γράψω καθώς δεν έχω ξανά δει παρόμοια (αναδρομικός τύπος). Θα ήθελα να δω την μεθοδολογία γραφής της δηλαδή.

Η άσκηση:

Δίνεται η ακολουθία:
$a_{n+1}=a^2_n-a_n+1\,, a_1=1/2$

(i) Αν η ακολουθία συγκλίνει να, υπολογίσετε το όριό της.
(ii) Να δείξετε ότι η ακολουθία συγκλίνει.

Επειδή πιθανότατα πρόκειται για άσκηση στο σπίτι από μαθήματα που παρακολουθείς, θα δώσω μόνο υπόδειξη.

Ας προσθέσω ότι συχνά μας έρχονται στο φόρουμ ερωτήσεις που είναι παραδοτέες και βαθμολογούμενες ασκήσεις σε κάποια μαθήματα. Σε αυτές τις περιπτώσεις δεν δίνουμε πλήρεις απαντήσεις για να μην παρακάμπτουμε/ακυρώνουμε τον διδάσκοντα που έθεσε τις ερωτήσεις.

Επίσης, επειδή νομίζεις ότι ξέρεις πώς να λύσεις την άσκηση, θα ήταν ορθότερο εσύ να μας πεις τι ακριβώς σκέφτηκες για να το αξιολογήσουμε. Αν χρειάζονται βελτιώσεις, θα σου το πούμε. Άλλωστε το ότι συναντάς για πρώτη φορά τέτοια άσκηση είναι συνηθισμένο στα Μαθηματικά. Αλλοίμονο αν λύναμε μόνο τις ασκήσεις για τις οποίες έχουμε δει παρόμοιες.

Στο θέμα μας: Δείξε ότι η ακολουθία είναι αύξουσα και φραγμένη.

Jimaraz97 · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Jimaraz97 έγραψε:Καλησπέρα, θα μπορούσε κάποιος να μου δώσει μια απάντηση στην άσκηση που ακολουθεί. Η αλήθεια είναι πως αν και ξέρω να την απαντήσω δεν γνωρίζω πως να το γράψω καθώς δεν έχω ξανά δει παρόμοια (αναδρομικός τύπος). Θα ήθελα να δω την μεθοδολογία γραφής της δηλαδή.

Η άσκηση:

Δίνεται η ακολουθία:
$a_{n+1}=a^2_n-a_n+1\,, a_1=1/2$

(i) Αν η ακολουθία συγκλίνει να, υπολογίσετε το όριό της.
(ii) Να δείξετε ότι η ακολουθία συγκλίνει.

Στο θέμα μας: Δείξε ότι η ακολουθία είναι αύξουσα και φραγμένη.

Την απόδειξη ότι είναι αύξουσα την έκανα γράφοντας τους πρώτους της ορούς της και επισημαινοντας πως αυτό παρατηρώ, σωστή είναι ως διαδικασία έτσι;

Στην συνεχεία στο να δείξω ότι είναι φραγμένη δεν μπορώ πως να το εκφράσω δηλαδή ότι είναι άνω φραγμένη. Παρατηρώ πως έχει μια αυξητική τάση άλλα το ότι κάπου φράσσεται πως να το δείξω;

#4

Jimaraz97 έγραψε: Την απόδειξη ότι είναι αύξουσα την έκανα γράφοντας τους πρώτους της ορούς της και επισημαινοντας πως αυτό παρατηρώ, σωστή είναι ως διαδικασία έτσι;

Όχι, δεν είναι σωστή. Τι κάνουν οι λίγοι πρώτοι όροι δεν λέει τίποτα ως προς την απόδειξη της μονοτονίας.

Jimaraz97 έγραψε:Στην συνεχεία στο να δείξω ότι είναι φραγμένη δεν μπορώ πως να το εκφράσω δηλαδή ότι είναι άνω φραγμένη. Παρατηρώ πως έχει μια αυξητική τάση άλλα το ότι κάπου φράσσεται πως να το δείξω;

Η "αυξητική τάση" δεν λέει τίποτα. Όπως πριν, η συμπεριφορά λίγων πρώτων όρων δεν λέει τίποτα για το αν η ακολουθία φράσσεται ή όχι.

Θα σε παρότρυνα να επεξεργαστείς την άσκηση για αρκετό χρόνο ακόμη, διαβάζοντας και την σχετική θεωρία από τα βιβλία σου.

Και μία ερώτηση: Σε ποιο Τμήμα παρακολουθείς; Είσαι σε Μαθηματικό Τμήμα;

Jimaraz97 · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Jimaraz97 έγραψε: Την απόδειξη ότι είναι αύξουσα την έκανα γράφοντας τους πρώτους της ορούς της και επισημαινοντας πως αυτό παρατηρώ, σωστή είναι ως διαδικασία έτσι;
Όχι, δεν είναι σωστή. Τι κάνουν οι λίγοι πρώτοι όροι δεν λέει τίποτα ως προς την απόδειξη της μονοτονίας.

Jimaraz97 έγραψε:Στην συνεχεία στο να δείξω ότι είναι φραγμένη δεν μπορώ πως να το εκφράσω δηλαδή ότι είναι άνω φραγμένη. Παρατηρώ πως έχει μια αυξητική τάση άλλα το ότι κάπου φράσσεται πως να το δείξω;
Η "αυξητική τάση" δεν λέει τίποτα. Όπως πριν, η συμπεριφορά λίγων πρώτων όρων δεν λέει τίποτα για το αν η ακολουθία φράσσεται ή όχι.

Θα σε παρότρυνα να επεξεργαστείς την άσκηση για αρκετό χρόνο ακόμη, διαβάζοντας και την σχετική θεωρία από τα βιβλία σου.

Και μία ερώτηση: Σε ποιο Τμήμα παρακολουθείς; Είσαι σε Μαθηματικό Τμήμα;

Λοιπόν την ξανά τσεκάρω και λέω τη σκέψη μου, όχι δεν είμαι σε μαθηματικό, Πολυτεχνείο ηλεκτρολόγων.

Jimaraz97 · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Jimaraz97 έγραψε: Την απόδειξη ότι είναι αύξουσα την έκανα γράφοντας τους πρώτους της ορούς της και επισημαινοντας πως αυτό παρατηρώ, σωστή είναι ως διαδικασία έτσι;
Όχι, δεν είναι σωστή. Τι κάνουν οι λίγοι πρώτοι όροι δεν λέει τίποτα ως προς την απόδειξη της μονοτονίας.

Jimaraz97 έγραψε:Στην συνεχεία στο να δείξω ότι είναι φραγμένη δεν μπορώ πως να το εκφράσω δηλαδή ότι είναι άνω φραγμένη. Παρατηρώ πως έχει μια αυξητική τάση άλλα το ότι κάπου φράσσεται πως να το δείξω;
Η "αυξητική τάση" δεν λέει τίποτα. Όπως πριν, η συμπεριφορά λίγων πρώτων όρων δεν λέει τίποτα για το αν η ακολουθία φράσσεται ή όχι.

Θα σε παρότρυνα να επεξεργαστείς την άσκηση για αρκετό χρόνο ακόμη, διαβάζοντας και την σχετική θεωρία από τα βιβλία σου.

Η αρχική μου σκέψη ήταν πράγματι λάθος και επιπόλαια. Μεσώ της επαγωγής απέδειξα πως είναι γνησίως αύξουσα και στη συνέχεια με την ίδια μέθοδο απέδειξα πως είναι άνω φραγμένη με άνω φράγμα το 1. Είναι σωστός τρόπος σκέψης;-σωστή απάντηση;

#7

Jimaraz97 έγραψε:..Μεσώ της επαγωγής απέδειξα πως είναι γνησίως αύξουσα και στη συνέχεια με την ίδια μέθοδο απέδειξα πως είναι άνω φραγμένη με άνω φράγμα το 1. Είναι σωστός τρόπος σκέψης;-σωστή απάντηση;

Αν απέδειξες αυτά, τότε απέδειξες ότι η ακολουθία είναι συγκλίνουσα.

#8

Θεωρώντας ότι αρκετά συζητήθηκε, παραπέμπω σε παλιότερη δημοσίευση του mathematica.gr όπου συζητήθηκε η εν λόγω ακολουθία.

Βοήθεια σε άσκηση ακολουθίας

Βοήθεια σε άσκηση ακολουθίας

Re: Βοήθεια σε άσκηση ακολουθίας

Re: Βοήθεια σε άσκηση ακολουθίας

Re: Βοήθεια σε άσκηση ακολουθίας

Re: Βοήθεια σε άσκηση ακολουθίας

Re: Βοήθεια σε άσκηση ακολουθίας

Re: Βοήθεια σε άσκηση ακολουθίας

Re: Βοήθεια σε άσκηση ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση