Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

KARKAR · #321

Άσκηση 115

: Άσκηση 115.png (8.68 KiB) Προβλήθηκε 6207 φορές

Το

είναι σημείο της διαγωνίου

ορθογωνίου ABCD

και το

τετράγωνο .

Αν $\dfrac{(SPCQ)}{(ADS)}=\dfrac{4}{7}$ , υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{b}{a}$ .

hlkampel · #322

KARKAR έγραψε:Άσκηση 115
Το συνημμένο Άσκηση 115.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το είναι σημείο της διαγωνίου ορθογωνίου και το τετράγωνο .

Αν $\dfrac{(SPCQ)}{(ADS)}=\dfrac{4}{7}$ , υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{b}{a}$ .

Αν $DC = a,\,\,AD = b$ και η πλευρά του τετραγώνου SQCP

ισούται με

, τότε:

Από την ομοιότητα των τριγώνων DPS

και

(ορθογώνια με SP//BC

) ισχύει:

$\dfrac{{SP}}{{BC}} = \dfrac{{DP}}{{DC}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{b} = \dfrac{{a - x}}{a} \Leftrightarrow ax = b\left( {a - x} \right)\,\,\left( 1 \right)$ DPS

Αν $SE \bot AD$ τότε:

$\displaystyle{\dfrac{{\left( {SPCQ} \right)}}{{\left( {ADS} \right)}} = \dfrac{4}{7} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{\dfrac{1}{2}b\left( {a - x} \right)}} = \dfrac{4}{7}\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \dfrac{{2{x^2}}}{{ax}} = \dfrac{4}{7} \Leftrightarrow x = \dfrac{{2a}}{7}\,\,\left( 2 \right)}$

$\left( 1 \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 2 \right)} \dfrac{{2a}}{7} \cdot a = b\left( {a - \dfrac{{2a}}{7}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{2{a^2}}}{7} = \dfrac{{5ab}}{7} \Leftrightarrow$

$2a = 5b \Leftrightarrow \dfrac{b}{a} = \dfrac{2}{5}$

hlkampel · #323

Άσκηση 116

: Ασκηση 116.png (14.61 KiB) Προβλήθηκε 6156 φορές

Δίνεται ορθογώνιο ABCD

με διαστάσεις a,b

και

.

Ένα άλλο ορθογώνιο AEZH

έχει ίσες διαστάσεις με το ABCD

, με

και είναι σχεδιασμένο ώστε το σημείο

να είναι εσωτερικό του τμήματος

και η πλευρά

να είναι προέκταση του τμήματος

(βλέπε σχήμα).

α. Αν $\left( {EBH} \right) = \left( {ABCD} \right)$ να δείξετε ότι a = 3b

β. Αν η

τέμνει την

στο σημείο

, να υπολογίσετε τον λόγο $\dfrac{{\left( {EBS} \right)}}{{\left( {ABCD} \right)}}$

sakis1963 · #324

hlkampel έγραψε:Άσκηση 116
Ασκηση 116.png
Δίνεται ορθογώνιο με διαστάσεις και .

Ένα άλλο ορθογώνιο έχει ίσες διαστάσεις με το , με και είναι σχεδιασμένο ώστε το σημείο

να είναι εσωτερικό του τμήματος και η πλευρά να είναι προέκταση του τμήματος (βλέπε σχήμα).

α. Αν $\left( {EBH} \right) = \left( {ABCD} \right)$ να δείξετε ότι

β. Αν η τέμνει την στο σημείο , να υπολογίσετε τον λόγο $\dfrac{{\left( {EBS} \right)}}{{\left( {ABCD} \right)}}$

Ασκηση 116

α. Από $\left( {EBH} \right) = \left( {ABCD} \right)$ έχουμε $\dfrac{a(a-b)}{2}=ab \Rightarrow a^2-ab=2ab \Rightarrow a^2=3ab$ και τέλος $\boxed{a=3b}$

b. Η

είναι υποτείνουσα του ισοσκελούς και ορθογώνιου ADE

οπότε $\hat{AED}=45^o=\hat{SEB}=\hat{SEH}$ οπότε έχουμε

$\dfrac{(EBS)}{(ABCD)}=\dfrac{(EBS)}{(EBH)}=\dfrac{(EBS)}{(EBS)+(EHS)}=\dfrac{1}{1+\dfrac{(EHS)}{(EBS)}}$

Αλλά αν ES=d

τότε $\dfrac{(EHS)}{(EBS)}=\dfrac{(1/2)3bdsin45}{(1/2)2bdsin45}$ δηλ. $\dfrac{(EHS)}{(EBS)}=\dfrac{3}{2}$

και με αντικατάσταση έχουμε $\boxed{\dfrac{(EBS)}{(ABCD)}=\dfrac{2}{5}}$

Σάκης

KARKAR · #325

Άσκηση 117

: Άσκηση 117.png (12.12 KiB) Προβλήθηκε 6100 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

γράφουμε πρώτα τον κύκλο (O,R)

, ο οποίος εφάπτεται

στις AB,BC,CD

και εν συνεχεία φέρουμε το εφαπτόμενο προς αυτόν τμήμα

,

το οποίο προεκτεινόμενο τέμνει την

στο

. Γράφουμε τώρα τον έγκυκλο $(K,\rho)$

του τριγώνου ADS

και ονομάζουμε

το σημείο επαφής του με την

.

α) Αν $\rho=\dfrac{R}{2}$ , υπολογίστε το λόγο $\dfrac{b}{a}$

β) Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ , ώστε $PT=\rho+R$

KARKAR · #326

Άσκηση 118

: Άσκηση 118.png (10.53 KiB) Προβλήθηκε 6062 φορές

Τα ορθογώνια ABCD

και

είναι ίσα και οι πλευρές τους BC , EZ

τέμνονται στο

.

Υπολογίστε το εμβαδόν του κοινού τους μέρους DESC

και την απόσταση των κορυφών E,C

.

Ηλιας Φραγκάκος · #327

Και σχετικά με το άλλο, να το Θεώρημα του Πτολεμαίου:
DC * ES + DE * SC = EC * CD

Δηλαδή: $12 + 63 = EC * \sqrt{85}$
Άρα $\frac{75}{\sqrt{85}} = EC$
Kαληνύχτα, Κυριάκος από Χανιά

sakis1963 · #328

KARKAR έγραψε:Άσκηση 117
Το συνημμένο Άσκηση 117.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο ορθογώνιο γράφουμε πρώτα τον κύκλο , ο οποίος εφάπτεται

στις και εν συνεχεία φέρουμε το εφαπτόμενο προς αυτόν τμήμα ,

το οποίο προεκτεινόμενο τέμνει την στο . Γράφουμε τώρα τον έγκυκλο $(K,\rho)$

του τριγώνου και ονομάζουμε το σημείο επαφής του με την .

α) Αν $\rho=\dfrac{R}{2}$ , υπολογίστε το λόγο $\dfrac{b}{a}$

β) Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ , ώστε $PT=\rho+R$

Ασκηση 117

: GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.117.png (40.28 KiB) Προβλήθηκε 6005 φορές

α. Είναι $r=\dfrac{R}{2}=\dfrac{b}{4}$ και WS=PS=x

οπότε από Π.Θ. στο ADS

έχουμε $(\dfrac{3}{4}b+x)^2=b^2+(\dfrac{b}{4}+x)^2$ απόπου $x=2r=\dfrac{b}{2}$ και $DS=\dfrac{5}{4}b$

Αλλα $DS=DT+TS=DQ+SV=(a-R)+(a-x-r-R)=2a-b-\dfrac{b}{4}-\dfrac{b}{2}=\dfrac{5}{4}b$ απόπου $\boxed{\dfrac{b}{a}=\dfrac{2}{3}}$

b. Είναι PT=DT-DP=PQ-DU=a-R-(b-r)=r+R

απόπου

και τελικά $\boxed{\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{2}}$

KARKAR · #329

Άσκηση 119

: Ασκηση 119.png (7.72 KiB) Προβλήθηκε 5980 φορές

Τμήμα

έχει τα άκρα του στις πλευρές AB,BC

, ορθογωνίου ABCD

. Σχεδιάστε

τμήμα

με άκρα στις πλευρές AD,DC

, ώστε να είναι $QP\parallel ST$ και $QT \perp SP$ .

sakis1963 · #330

KARKAR έγραψε:Άσκηση 119
Ασκηση 119.png
Τμήμα έχει τα άκρα του στις πλευρές , ορθογωνίου . Σχεδιάστε

τμήμα με άκρα στις πλευρές , ώστε να είναι $QP\parallel ST$ και $QT \perp SP$ .

Άσκηση 119

Το σημείο τομής PS, QT

είναι ταυτόσημο με το σημείο τομής της διαγωνίου

με το κύκλο διαμέτρου

#331

KARKAR έγραψε:Άσκηση 119
Το συνημμένο Ασκηση 119.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Τμήμα έχει τα άκρα του στις πλευρές , ορθογωνίου . Σχεδιάστε

τμήμα με άκρα στις πλευρές , ώστε να είναι $QP\parallel ST$ και $QT \perp SP$ .

Καλό μεσημέρι.

: Ορθογώνια.119.png (15.67 KiB) Προβλήθηκε 5967 φορές

Ο κύκλος διαμέτρου

τέμνει την

στο

. Οι

τέμνουν τις DC, AD

στα

αντίστοιχα. Το

είναι το ζητούμενο ευθύγραμμο τμήμα.

Με πρόλαβε ο Σάκης για χρόνο

. Γεια σου Σάκη.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #332

KARKAR έγραψε:Άσκηση 117
Το συνημμένο Άσκηση 117.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο ορθογώνιο γράφουμε πρώτα τον κύκλο , ο οποίος εφάπτεται

στις και εν συνεχεία φέρουμε το εφαπτόμενο προς αυτόν τμήμα ,

το οποίο προεκτεινόμενο τέμνει την στο . Γράφουμε τώρα τον έγκυκλο $(K,\rho)$

του τριγώνου και ονομάζουμε το σημείο επαφής του με την .

α) Αν $\rho=\dfrac{R}{2}$ , υπολογίστε το λόγο $\dfrac{b}{a}$

β) Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ , ώστε $PT=\rho+R$

1.Είναι, $\displaystyle{BC = AD = 4\rho \Rightarrow DZ = DP = 3\rho }$

$\displaystyle{DL = DP + PT = \alpha - 2\rho \Rightarrow PT = \alpha - 2\rho - 3\rho \Rightarrow PT = \alpha - 5\rho }$ κι επειδή $\displaystyle{PT = PS - y = x - y \Rightarrow \boxed{x - y = \alpha - 5\rho }}$

Αλλά $\displaystyle{\boxed{x + y = \alpha - 3\rho }}$ .Έτσι βρίσκουμε $\displaystyle{\boxed{x = \alpha - 4\rho },\boxed{y = \rho }}$

$\displaystyle{OS,SK}$ είναι διχοτόμοι των $\displaystyle{\angle DSA,DSB}$ άρα $\displaystyle{OS \bot SK \Rightarrow \vartriangle KES \simeq \vartriangle OSQ \Rightarrow \frac{{OQ}}{x} = \frac{y}{{KE}} \Rightarrow \frac{{2\rho }}{{\alpha - 4\rho }} = \frac{\rho }{\rho } = 1 \Rightarrow \boxed{\alpha = 6\rho }}$ .

Άρα $\displaystyle{\boxed{\frac{b}{\alpha } = \frac{{4\rho }}{{6\rho }} = \frac{2}{3}}}$

Στη δεύτερη περίπτωση έχουμε

$\displaystyle{\boxed{b = BC = AD = 2R}}$ και $\displaystyle{DZ = DP}$ $\displaystyle{ \Rightarrow DT - PT = DL - PT = \alpha - R - \left( {R + \rho } \right) \Rightarrow 2R - \rho = \alpha - R - \left( {R + \rho } \right) \Rightarrow \boxed{\alpha = 4R}}$ .Άρα $\displaystyle{\boxed{\frac{b}{\alpha } = \frac{{2R}}{{4R}} = \frac{1}{2}}}$

: A117.png (17.31 KiB) Προβλήθηκε 5939 φορές

BRAHMA · #333

Ασκηση 120
Να αποδειχθεί ότι για τα ορθογώνια ABCD

και

ισχύει,

: Ασκηση120.png (8.4 KiB) Προβλήθηκε 5924 φορές

#334

BRAHMA έγραψε:Ασκηση 120
Να αποδειχθεί ότι για τα ορθογώνια και ισχύει,

Το συνημμένο Ασκηση120.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

: Ορθογώνια.120.png (10.83 KiB) Προβλήθηκε 5912 φορές

Από την ομοιότητα των τριγώνων ADH, ABE

προκύπτει ότι $\displaystyle{AB \cdot AD = AH \cdot AE}$ και το ζητούμενο έπεται άμεσα.

#335

Άσκηση 121

: Ορθογώνια.121.png (7.68 KiB) Προβλήθηκε 5879 φορές

Δίνεται ορθογώνιο ABCD (AB=a, BC=b)

και δύο σημεία S, T

επί της

, ώστε

.

Αν για κάθε σημείο

της πλευράς

ισχύει:

, να εντοπίσετε

τα σημεία S, T

, αφού πρώτα βρείτε μία συνθήκη ανάμεσα στα a,b

, ώστε να είναι δυνατή η κατασκευή.

STOPJOHN · #336

george visvikis έγραψε:Άσκηση 121

Το συνημμένο Ορθογώνια.121.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δίνεται ορθογώνιο και δύο σημεία επί της , ώστε .

Αν για κάθε σημείο της πλευράς ισχύει:, να εντοπίσετε

τα σημεία , αφού πρώτα βρείτε μία συνθήκη ανάμεσα στα , ώστε να είναι δυνατή η κατασκευή.

Kαλησπέρα

Εστω ότι DS=TC=x,BD=b,DC=a,

Τότε από το θεώρημα των διαμέσων στο τρίγωνο

$MST,MS^{2}+MT^{2}=2MO^{2}+\dfrac{(a-2x)^{2}}{2}, MA^{2}+MB^{2}=2MO^{2}+\dfrac{(a-2x)^{2}}{2},(1), MA^{2}=DM^{2}-b^{2},(2) MB^{2}=MC^{2}-b^{2},(3), (2)+(3)\Rightarrow MA^{2}+MB^{2}=DM^{2}+MC^{2}-2b^{2},(4), (1),(4)\Rightarrow 2OM^{2}+\dfrac{(a-2x)^{2}}{2}=2OM^{2}+\dfrac{a^{2}-4b^{2}}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{a}{2}-\dfrac{\sqrt{a^{2}-4b^{2}}}{2}, a\succ 2b$ ,

$x\prec \dfrac{a}{2}$

Στην περίπτωση που είναι $b=\dfrac{a}{2},x=\dfrac{a}{2},S\equiv T\equiv O$

Γιάννης

KARKAR · #337

Άσκηση 122

: Μπελάς 122.png (10.46 KiB) Προβλήθηκε 5848 φορές

Σημείο

κινείται πάνω στη διαγώνιο

, του διαστάσεων $a\times b$ ορθογωνίου

ABCD

. Η κάθετη προς την

στο

, τέμνει την

στο σημείο

.

Πως πρέπει να επιλεγεί το σημείο

, ώστε να είναι (CTSB)=2(ASB)

?

sakis1963 · #338

KARKAR έγραψε:Άσκηση 122
Το συνημμένο Μπελάς 122.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σημείο κινείται πάνω στη διαγώνιο , του διαστάσεων $a\times b$ ορθογωνίου

. Η κάθετη προς την στο , τέμνει την στο σημείο .

Πως πρέπει να επιλεγεί το σημείο , ώστε να είναι ?

Άσκηση 122

: GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.122.png (30.02 KiB) Προβλήθηκε 5816 φορές

Το

είναι η προβολή του

στην διαγώνιο

.

Αφού

τέμνονται πάνω στη διαγώνιο

του ορθογωνίου ABCD

τότε

και αφού

τέμνονται πάνω στη διαγώνιο

του ορθογωνίου BCTP

τότε

οπότε

Γιώργος Μήτσιος · #339

Γεια σας. Μια παραλλαγή για την

Ασκηση 120

: ΟΡΘΟΓΏΝΙΑ 120..PNG (7.49 KiB) Προβλήθηκε 5788 φορές

$\left(ABCD \right)=2\left(ADE \right)=\left( AEZH\right)$

Φιλικά Γιώργος .

KARKAR · #340

Άσκηση 123

: Άσκηση 123.png (8.71 KiB) Προβλήθηκε 5755 φορές

Για ποια τιμή του λόγου $\dfrac{a}{b}$ , μεγιστοποιείται ο λόγος $\dfrac{E'}{E}$ του σχήματος ?

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μέλη σε σύνδεση