Ορθογώνιο τρίγωνο 4

Φανης Θεοφανιδης · #1

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma (\hat{A}=90^{0})$ . Έστω $\Delta , Z$ τα μέσα των
$AB, A\Delta$ αντίστοιχα. Από το

φέρνουμε παράλληλη προς την $A\Gamma$ που τέμνει
την $B\Gamma$ στο

. Αν $3B\Gamma =8ZH$ να δείξετε ότι $\hat{B}=30^{0}$ .

Μέχρι 9/1/2016

Ηλιας Φραγκάκος · #2

Καλημέρα, κ. Φάνη και κ. Ρίζο.
Η άσκηση ήταν πολύ εύκολη και από αβλεψία μας παλεύαμε με μια λάθος εκφώνηση.
Μια Συγγνώμη από το θεματοθέτη είναι απαραίτητη.
Αν ZH=3x

, τότε

.
Αν $AZH = \alpha$ , τότε $BD = 2\alpha$ και $DZ = ZA = \alpha$ .
Αν BC=8x

, τότε

διότι τα τρίγωνα $\triangle BZH$ και $\triangle BAC$ είναι όμοια με λόγο 3 : 4

.
Αν

μέσον της

, τότε

και επειδή ZH = 3x

τότε,

, άρα
το τρίγωνο $\triangle MHZ$ είναι ισόπλευρο και η γωνία $\hat B$ , ως συμπληρωματική της $\hat C$ , πρέπει να έχει άνοιγμα 30^o

Φανης Θεοφανιδης · #3

Ηλία καλημέρα.

Θέλω να ξαναδείς την άσκηση. Υπάρχει ασάφεια στον συλλογισμό σου.
Περισσότερα το απόγευμα.

ealexiou · #4

Φάνη και Ηλία καλησπέρα.

Με το σχήμα του Ηλία.

Είναι $ZH=\dfrac{3BC}{8}$ και $\triangle BZH \sim \triangle BAC \Rightarrow \dfrac{BH}{BC}= \dfrac{BZ}{BA}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow$ $BH=\dfrac{3BC}{4}$

Οπότε $\dfrac{ZH}{BH}=\dfrac{\dfrac{3BC}{8}}{\dfrac{3BC}{4}}=\dfrac{1}{2}$ και επειδή το $\triangle BZH$ είναι ορθογώνιο, το ζητούμενο είναι φανερό.

Φανης Θεοφανιδης · #5

Από το $\Delta$ φέρνω παράλληλη προς την $A\Gamma$ η οποία τέμνει την $B\Gamma$ στο

.
Προφανώς τα E, H

είναι μέσα των $B\Gamma , E\Gamma$ αντίστοιχα. Ισχύει $3B\Gamma =8ZH\Rightarrow$
$\Rightarrow 3B\Gamma =8\dfrac{\Delta E+A\Gamma }{2}$ (ως διάμεσος του τραπεζίου $A\Delta E\Gamma$ ) $\Rightarrow$
$\Rightarrow 3B\Gamma =4(\Delta E+A\Gamma )\Rightarrow 3B\Gamma =4(\dfrac{A\Gamma }{2}+A\Gamma )$
(διότι $\Delta , E$ μέσα των $AB, B\Gamma$ αντίστοιχα) $\Rightarrow B\Gamma =2A\Gamma \Rightarrow$
$\Rightarrow \hat{B}=30^{0}$ .

Δεν μπορώ να καταλάβω γιατί πρέπει να ζητήσω συγνώμη.

kostasgial · #6

Για να δείξουμε ότι η γωνία Β ειναι ίση με 30 μοίρες πρέπει να ισχύει ότι στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, η πλευρά ΑΓ ισούται με το μισό της υποτεινουσας Εικόνα

Ηλιας Φραγκάκος · #7

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Από το $\Delta$ φέρνω παράλληλη προς την $A\Gamma$ η οποία τέμνει την $B\Gamma$ στο .
Προφανώς τα είναι μέσα των $B\Gamma , E\Gamma$ αντίστοιχα. Ισχύει $3B\Gamma =8ZH\Rightarrow$
$\Rightarrow 3B\Gamma =8\dfrac{\Delta E+A\Gamma }{2}$ (ως διάμεσος του τραπεζίου $A\Delta E\Gamma$ ) $\Rightarrow$
$\Rightarrow 3B\Gamma =4(\Delta E+A\Gamma )\Rightarrow 3B\Gamma =4(\dfrac{A\Gamma }{2}+A\Gamma )$
(διότι $\Delta , E$ μέσα των $AB, B\Gamma$ αντίστοιχα) $\Rightarrow B\Gamma =2A\Gamma \Rightarrow$
$\Rightarrow \hat{B}=30^{0}$ .

Δεν μπορώ να καταλάβω γιατί πρέπει να ζητήσω συγνώμη.

Εννοούσαμε ότι είναι υποχρέωση μας, ΝΑ ΖΗΤΗΣΟΥΜΕ συγγνώμη, ΑΠΟ το θεματοθέτη, επειδή πιστέψαμε ότι είχε κάνει κάποιο λάθος στην εκφώνηση. Εμείς δεν είχαμε καταλάβει, από απροσεξία και βιασύνη (δεν είναι και η πρώτη φορά που μας συμβαίνει) ότι έπρεπε να φέρουμε από αλλού την παράλληλη, είχαμε φτιάξει στο τζεοτζέμπρα ένα λάθος σχήμα και προσπαθούσαμε να αποδείξουμε κάτι που δεν ίσχυε. Πέσαμε να κοιμηθούμε και λέγαμε ότι το πρωί κάποιος θα είχε δει το λάθος και θα άλλαζε την άσκηση. Δίκη μας η ευθύνη, τρεις, τέσσερις, λύναμε μια άσκηση που δεν λυνόταν, επειδή είχαμε κάνει λάθος σχήμα, από την αρχή.
Παρεξήγηση έγινε, λοιπόν, και λύθηκε, ελπίζουμε, τώρα. Γι αυτό και λύσαμε την άλλη με τις εφαπτόμενες, με το φίλο μας το Θοδωρή.
Ηλίας και Κυριάκος Φ.

Ορθογώνιο τρίγωνο 4

Ορθογώνιο τρίγωνο 4

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 4

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 4

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 4

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 4

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 4

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 4

Μέλη σε σύνδεση