Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#281

KARKAR έγραψε:Άσκηση 101
Το συνημμένο Άσκηση 101.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σημείο κινείται στο εσωτερικό της διαγωνίου , ορθογωνίου .

α) Δείξτε ότι τα τρίγωνα είναι ισεμβαδικά .

β) Υπάρχει περίπτωση τα δύο τρίγωνα να γίνουν ισοπεριμετρικά ;

: Ορθογώνια (KARKAR) _101.png (21.82 KiB) Προβλήθηκε 3830 φορές

1. Επειδή το σημείο τομής

των διαγωνίων του ορθογωνίου είναι μέσο της

θα είναι :

$\left\{ \begin{gathered} {N_1} = {N_2} \hfill \\ {N_3} = {N_4} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {N_1} + {N_3} = {N_2} + {N_4}$ Δηλαδή (SAB) = (SCB)

.

2. Αν το

συμπέσει με το

( που μας το απαγορεύει Ο Θανάσης ) ή αν έχουμε τετράγωνο ανεξάρτητα με τη θέση του

.

: Ορθογώνια (KARKAR) _101_1.png (20.37 KiB) Προβλήθηκε 3823 φορές

Ας πούμε ότι η πιο μικρή πλευρά του ορθογωνίου είναι η BC = b < a = AB

Γράφουμε κύκλο (A,b)

που διέρχεται από το

και τέμνει την

στο

.

Επειδή CS < CD

αποκλείεται τα τρίγωνα $SAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SCB$ έχουν ίσες περιμέτρους.

: Ορθογώνια (KARKAR) _101_2.png (12.29 KiB) Προβλήθηκε 3812 φορές

Ν.

ealexiou · #282

KARKAR έγραψε:Άσκηση 101
Το συνημμένο Άσκηση 101.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σημείο κινείται στο εσωτερικό της διαγωνίου , ορθογωνίου .

α) Δείξτε ότι τα τρίγωνα είναι ισεμβαδικά .

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 101.png (81.73 KiB) Προβλήθηκε 3821 φορές

Είναι $\dfrac{SZ}{SE}=\dfrac{SZ}{ZB}=\dfrac{DC}{BC}\Rightarrow$ $SZ\cdot BC=DC\cdot ZB \Rightarrow$ $SZ\cdot BC=AB\cdot SE$ και το ζητούμενο είναι προφανές.

#283

KARKAR έγραψε:Άσκηση 101
Το συνημμένο Άσκηση 101.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σημείο κινείται στο εσωτερικό της διαγωνίου , ορθογωνίου .

α) Δείξτε ότι τα τρίγωνα είναι ισεμβαδικά .

α) Τα τρίγωνα είναι ισεμβαδικά γιατί έχουν κοινή βάση

και ίσα αντίστοιχα ύψη (αφού οι κορυφές A, C

ισαπέχουν από τη διαγώνιο

).

KARKAR έγραψε: β) Υπάρχει περίπτωση τα δύο τρίγωνα να γίνουν ισοπεριμετρικά ;

: Ορθογώνια.101.png (16.9 KiB) Προβλήθηκε 3796 φορές

β) Αν γράψουμε τους

παρεγγεγραμμένους κύκλους των δύο τριγώνων ABS , CBS

, τότε οι

είναι οι αντίστοιχες ημιπερίμετροι αυτών. Για να είναι λοιπόν τα τρίγωνα ισοπεριμετρικά θα πρέπει τα σημεία P, Q

να συμπίπτουν. Με την υπόθεση ότι το

είναι εσωτερικό της

, αυτό μπορεί να συμβεί μόνο αν το ABCD

είναι τετράγωνο.

KARKAR · #284

Άσκηση 103

: Άσκηση 103.png (12.15 KiB) Προβλήθηκε 3767 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD , (a>b)

, φέραμε τις διχοτόμους AS ,AT

των $\widehat{BAC} ,\widehat{DAC}$

αντίστοιχα . Δείξτε ότι (ACS)<(ACT)

και βρείτε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ , ώστε $\dfrac{(ACS)}{(ACT)}=\dfrac{4}{5}$ .

#285

KARKAR έγραψε:Άσκηση 103
Το συνημμένο Άσκηση 103.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο ορθογώνιο , φέραμε τις διχοτόμους των $\widehat{BAC} ,\widehat{DAC}$

αντίστοιχα . Δείξτε ότι και βρείτε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ , ώστε $\dfrac{(ACS)}{(ACT)}=\dfrac{4}{5}$ .

: Ορθογώνια (KARKAR) _102.png (19.8 KiB) Προβλήθηκε 3749 φορές

1. Επειδή $a > b \Rightarrow \widehat {BAC} < \widehat \theta \Rightarrow \boxed{\widehat \omega < \widehat \theta }$

Έστω $d = AC = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$

2. $\left\{ \begin{gathered} 3. SC = \frac{{bd}}{{a + d}} \hfill \\ 4. CT = \frac{{ad}}{{b + d}} \hfill \\ 5. \end{gathered} \right.$ και αφού $\dfrac{{(ACS)}}{{(ACT)}} = \dfrac{4}{5} \Rightarrow \dfrac{{b + d}}{{a + d}} = \dfrac{4}{5}$ . Από εδώ έχουμε :

$d = 4a - 5b \Rightarrow {d^2} = 16{a^2} + 25{b^2} - 40ab$ θέτουμε $b = ax\,\,\,,\,\,x \in (0,1)$ . Από την προκύπτουσα εξίσωση :

$24{x^2} - 40x + 15 = 0$ έχουμε δεκτή ρίζα : $\boxed{x = \dfrac{{10 - \sqrt {10} }}{{12}}}$ .

Ν.

KARKAR · #286

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 102
(Έχασα μέσα στις διακοπές τον έλεγχο από τον καταιγισμό των ασκήσεων. Αν την έχουμε ξαναβάλει , τη σβήνουμε .
Την κατασκεύασε ο Σιλουανός για τον ΘΑΛΗ 2015).

Δίνεται ορθογώνιο , σημείο στο εσωτερικό του και τα μέσα των αντίστοιχα.

Αν οι τέμνονται στο , να αποδειχθεί ότι $PK\perp CD$ .

102.png (11.8 KiB) Προβλήθηκε 3748 φορές

Είναι : $MN//=\dfrac{AB}{2}//=\dfrac{DC}{2}$ , άρα τα είναι τα μέσα και των

Επειδή $\dfrac{AM}{MK}=\dfrac{DM}{MP}$ , είναι ( αντίστροφο Θαλή )

Η άσκηση ήταν χαριτωμένη αλλά σχετικά απλή , παρά ταύτα μαθητής , που είναι ήδη

στον "Ευκλείδη" δεν τη έλυσε , ενώ έλυσε τα τρία άλλα θέματα . Κλάψ !

#287

KARKAR έγραψε:Άσκηση 103
Το συνημμένο Άσκηση 103.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο ορθογώνιο , φέραμε τις διχοτόμους των $\widehat{BAC} ,\widehat{DAC}$

αντίστοιχα . Δείξτε ότι και βρείτε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ , ώστε $\dfrac{(ACS)}{(ACT)}=\dfrac{4}{5}$ .

Έστω

οι προβολές των S,T

στην

.

: Ορθογώνια.102.png (16.42 KiB) Προβλήθηκε 3746 φορές

$\displaystyle{PS = SB = \frac{{ab}}{{a + AC}} < \frac{{ab}}{{b + AC}} = DT + TQ}$ . Άρα: $\boxed{(ACS)<(ACT)}$

$\displaystyle{\frac{{(ACS)}}{{(ACT)}} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow \frac{{b + \sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow ...}$ $\boxed{\frac{b}{a} = \frac{1}{{12}}\left( {10 - \sqrt {10} } \right)}$

KARKAR · #288

Άσκηση 104

: Άσκηση 104.png (9.4 KiB) Προβλήθηκε 3731 φορές

Στην πλευρά

ορθογωνίου ABCD

και "κοντά" στην κορυφή

, βρίσκεται σταθερό

σημείο

. Σημείο

κινείται στην πλευρά

. Για ποια θέση του

, μεγιστοποιείται

η γωνία $\widehat{SMB}$ ? Βρείτε συνθήκη ώστε το

να είναι εσωτερικό σημείο της

.

Αν η μεγιστοποίηση συμβεί όταν το

γίνει το μέσο της

, δείξτε ότι $CM\perp MS$ .

sakis1963 · #289

KARKAR έγραψε:Άσκηση 29
Το συνημμένο Άσκηση 30.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Τμήμα διαιρέθηκε με εσωτερικά του σημεία στα τέσσερα τμήματα

. Γράφω τους κύκλους

και επί των παίρνω τυχαία σημεία .

Οι κάθετες στα άκρα του τμήματος τέμνουν τους άλλους κύκλους προς το ίδιο

μέρος του , στα σημεία . Δείξτε ότι το είναι ορθογώνιο .

Ανοιχτό θέμα : Δείξτε ότι το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου αυτού είναι $36 \tau. \mu.$

Ασκηση 29

: GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.29.png (28.66 KiB) Προβλήθηκε 3723 φορές

Παίρνουμε τυχαία σημεία D,C

στους κύκλους (O, 1), (O, 7)

και σύστημα αξόνων Oxy

ώστε $Ox\parallel DC$ οπότε έχουμε

συντεταγμένες για τα D,C

έστω

και από τις εξισώσεις των κύκλων έχουμε a^2+b^2=1

,

....(1)

Οι κάθετες στα άκρα του

έχουν εξισώσεις x=a, x=c

οπότε το σημείο $A=(x=a)\cap(x^2+y^2=4^2)$ και το $B=(x=c)\cap(x^2+y^2=8^2)$

Από την λύση των συστημάτων (χρησημοποιώντας και τις (1)), εύκολα έχουμε $y_A=y_B=-\sqrt{15+b^2}$ και το ABCD

ορθογώνιο.

Οι άλλες δύο λύσεις $y_{A'}=y_{B'}=\sqrt{15+b^2}$ σχηματίζουν άλλο ορθογώνιο A'B'CD

για το μέγιστο εμβαδόν

σύμφωνα με τη προηγούμενη λύση

έχουμε $E=(c+a)(b+\sqrt{15+b^2})$ και από a^2+b^2=1, c^2+b^2=7^2

αντικαθιστώ τα c, a

οπότε έχω $E(x)=(\sqrt{49-x^2}+\sqrt{1-x^2})(x+\sqrt{15+x^2})$

με Wolfram $E(x)_{max}=36$ για $x=\dfrac{7}{\sqrt{65}}$ και $E(x)_{min}=12\sqrt3$ για x=-1

Σάκης

#290

KARKAR έγραψε:Άσκηση 104
Το συνημμένο Άσκηση 104.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στην πλευρά ορθογωνίου και "κοντά" στην κορυφή , βρίσκεται σταθερό

σημείο . Σημείο κινείται στην πλευρά . Για ποια θέση του , μεγιστοποιείται

η γωνία $\widehat{SMB}$ ? Βρείτε συνθήκη ώστε το να είναι εσωτερικό σημείο της .

Αν η μεγιστοποίηση συμβεί όταν το γίνει το μέσο της , δείξτε ότι $CM\perp MS$ .

: Ορθογώνια (KARKAR) _104.png (11.95 KiB) Προβλήθηκε 3717 φορές

1. Είναι γνωστό ότι το σημείο

είναι το σημείο επαφής του κύκλου που διέρχεται από τα $S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ και εφάπτεται της

.

( Πρώτο πρόβλημα Απολλώνιου )

2. Αν τώρα το

συμπέσει με το μέσο ${M_0}$ του

θα είναι ${M_0}C = {M_0}B$ και ο κύκλος θα διέρχεται από το

. Αφού δε $A\widehat BC = 90^\circ$ θα είναι και $B\widehat {{M_0}}C = 90^\circ$ .

Ν.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #291

ΑΣΚΗΣΗ 101

Για κάθε θέση του $\displaystyle{S}$ στο εσωτερικό του $\displaystyle{BD}$ ,ας είναι $\displaystyle{SA = x,SC = y}$

$\displaystyle{\frac{{\left( {ASB} \right)}}{{\left( {SBC} \right)}} = \frac{{AO}}{{OC}} = 1 \Rightarrow \left( {ASB} \right) = \left( {SBC} \right)}$ .

Έστω τώρα $\displaystyle{\alpha = b}$ οπότε $\displaystyle{SA = SB}$ άρα τα εν λόγω τρίγωνα είναι και ισοπεριμετρικά .

Αν $\displaystyle{a > b}$ ,στα τρίγωνα $\displaystyle{DOC,OCB}$ με $\displaystyle{DO = OC = OB}$ θα είναι $\displaystyle{\angle {O_1} < \angle {O_2}}$ .Τότε όμως στα $\displaystyle{\vartriangle SOA,SOC}$ με $\displaystyle{SO}$ κοινή και $\displaystyle{AO = OC}$ θα έχουμε $\displaystyle{\boxed{x < y}(1)}$

Υποθέτουμε τώρα ότι υπάρχει θέση του $\displaystyle{S}$ στο εσωτερικό του $\displaystyle{BD}$ ώστε τα $\displaystyle{\vartriangle ABS,BSC}$ να έχουν ίδια περίμετρο $\displaystyle{2\tau }$ .Τότε $\displaystyle{\alpha + x = b + y \Leftrightarrow \boxed{a - b = y - x}(2)}$ και

$\displaystyle{{\left( {BAS} \right)^2} = {\left( {BSC} \right)^2} \Rightarrow \tau (\tau - x)\left( {\tau - a} \right)\left( {\tau - BS} \right) = \tau (\tau - y)\left( {\tau - b} \right)\left( {\tau - BS} \right) \Rightarrow \displaystyle{(\tau - x)\left( {\tau - a} \right) = (\tau - y)(\tau - b)}$

απ όπου παίρνουμε $\displaystyle{\tau \left( {a - b} \right) - \tau \left( {y - x} \right) = ax - by}$ ή (λόγω των $\displaystyle{\left( 1 \right),\left( 2 \right)}$ ) $\displaystyle{\boxed{ax = by}}$ $\displaystyle{\left( 3 \right)}$

Τότε $\displaystyle{2\left( {BAS} \right) = 2\left( {BSC} \right) \Leftrightarrow ax\sin \varphi = by\sin \omega \Leftrightarrow \sin \varphi = \sin \omega \Leftrightarrow \angle \varphi = \angle \omega \Leftrightarrow \angle m = \angle n}$

$\displaystyle{\frac{{\left( {DSA} \right)}}{{\left( {DSC} \right)}} = \frac{{AO}}{{OC}} = 1 \Rightarrow 2\left( {DSA} \right) = 2\left( {DSC} \right) \Rightarrow bx\sin m = ay\sin n \Rightarrow \boxed{ay = bx}(4)}$

$\displaystyle{\left( 3 \right)}$ $\displaystyle{ + \left( 4 \right) \Rightarrow \left( {a + b} \right)x = \left( {a + b} \right)y \Rightarrow x = y}$ άτοπο λόγω της $\displaystyle{\left( 1 \right)}$

: a101.png (14.97 KiB) Προβλήθηκε 3689 φορές

KARKAR · #292

Άσκηση 105

: Άσκηση 105.png (8.78 KiB) Προβλήθηκε 3651 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

κάναμε κάποιες προσθήκες . Υπολογίστε το $cos\theta$

#293

KARKAR έγραψε:Άσκηση 105
Το συνημμένο Άσκηση 105.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο ορθογώνιο κάναμε κάποιες προσθήκες . Υπολογίστε το $cos\theta$

: Ορθογώνια (KARKAR) _105.png (15.34 KiB) Προβλήθηκε 3641 φορές

Έστω

το μέσο του

και

το σημείο τομής των $AM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$ .

Προφανώς τα ορθογώνια τρίγωνα $MAD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MAS$ είναι τύπου (4,5,3)

.

Από Θ. Ευκλείδη στο τρίγωνο DAN

: $D{A^2} = AN \cdot AM \Rightarrow 25 = 4AN$ και άρα $AN = \dfrac{{25}}{4} \Rightarrow MN = \dfrac{{25}}{4} - 4 = \dfrac{9}{4}$ . Πάλι από το ίδιο θεώρημα στο ίδιο τρίγωνο έχουμε:

$D{N^2} = NM \cdot NA = \dfrac{9}{4} \cdot \dfrac{{25}}{4} \Rightarrow DN = \dfrac{{15}}{4} = \dfrac{{DC}}{2}$ . Άμεση συνέπεια $MN// = \dfrac{{SN}}{2}$ και επομένως το αναγκαστικά ορθογώνιο τρίγωνο SDC

έχει $DC = \dfrac{{15}}{2},\,\,DS = 6$ άρα

$\sin \omega = \dfrac{{12}}{{15}} = \dfrac{4}{5} \Rightarrow \boxed{\cos \theta = \dfrac{4}{5}}$ .

Ν.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #294

KARKAR έγραψε:Άσκηση 105
Το συνημμένο Άσκηση 105.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο ορθογώνιο κάναμε κάποιες προσθήκες . Υπολογίστε το $cos\theta$

$\displaystyle{AN \bot DS}$ μεσοκάθετος της $\displaystyle{DS}$ $\displaystyle{ \Rightarrow DM = MS}$

$\displaystyle{\left( {DAS} \right) = \sqrt {8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = 12 = \frac{{6AN}}{2} \Rightarrow \boxed{AN = 4}}$ και λόγω του εγγράψιμου $\displaystyle{DMSA \Rightarrow 4MN = 9 \Rightarrow MN = \frac{9}{4} \Rightarrow }$ (Π.Θ) $\displaystyle{DM = \frac{{15}}{4} = \frac{{7.5}}{2} \Rightarrow DM = MC}$

Έτσι $\displaystyle{\vartriangle DSC}$ ορθογώνιο και $\displaystyle{\boxed{\cos \vartheta = \sin \varphi = \frac{6}{{7.5}} = \frac{4}{5}}}$

: a105.png (8.04 KiB) Προβλήθηκε 3635 φορές

sakis1963 · #295

Ασκηση 106

: GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.106.png (11.15 KiB) Προβλήθηκε 3631 φορές

Εστω ορθογώνιο ABCD

και

μέσον της

.

α. Να βρεθεί ο γ.τ. των σημείων

του επιπέδου (εσωτερικών του ABCD

) ώστε

β. Για ποιό σημείο του γ. τόπου η $\hat{MSC}$ γίνεται μέγιστη;

γ. Το CDMS

είναι πάντα μη κυρτό (για να ισχύει το α.);

ealexiou · #296

sakis1963 έγραψε:Ασκηση 106

Εστω ορθογώνιο και μέσον της .

α. Να βρεθεί ο γ.τ. των σημείων του επιπέδου (εσωτερικών του ) ώστε

β. Για ποιό σημείο του γ. τόπου η $\hat{MSC}$ γίνεται μέγιστη;

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 106.png (25.95 KiB) Προβλήθηκε 3604 φορές

α) $(CDMS)=\dfrac{(ABCD)}{4}=\dfrac{(DMC)}{2}\Rightarrow$ $(MSC)=\dfrac{(DMC)}{2}$ , άρα το

απέχει από το

απόσταση ίση με το $\dfrac{1}{2}$ του ύψους του $\triangle DMC$ , άρα ο ζητούμενος γ.τ. του

είναι το τμήμα

,

μέσα των

αντίστοιχα.

β) Η $\angle MSC$ γίνεται μέγιστη όταν $S\equiv S_0$ , δηλαδή στο σημείο τομής της μεσοκαθέτου στο

με τον γ.τ

, όπου ο κύκλος (M,S_0, O)

εφάπτεται στο

.

sakis1963 · #297

Ασκηση 107

: GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.107.png (11.36 KiB) Προβλήθηκε 3502 φορές

Είναι εύκολο να κατασκευάσουμε πλάγιο παραλληλόγραμμο (ένα από τα πολλά) PQST

όπως στο σχήμα, που να χωρίζει το τυχαίο ορθογώνιο ABCD

σε τρία ισεμβαδικά τετράπλευρα 1, 2, 3

(πώς;)

Υπάρχει όμως τρόπος κατασκευής του PQST

ώστε τα τρία τετράπλευρα αντί ισεμβαδικά, να είναι ισοπεριμετρικά;
Είναι μοναδικός;

Διερευνήστε, αν υπάρχει περιορισμός για τον λόγο $\dfrac{a}{b}$ ώστε να είναι δυνατή η κατασκευή.

Υ.Γ.1 για την μοναδικότητα δεν έχω απάντηση. υπάρχει όμως ορθογώνιο συγκεκριμένου λόγου $\dfrac{a}{b}$ που έχει δύο διαφορετικές λύσεις
Υ.Γ.2 συμπλήρωσα τη λέξη πλάγιο παραλληλόγραμμο

#298

sakis1963 έγραψε:Ασκηση 107
Το συνημμένο GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.107.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Είναι εύκολο να κατασκευάσουμε παραλληλόγραμμο (ένα από τα πολλά) όπως στο σχήμα, που να χωρίζει το τυχαίο ορθογώνιο σε τρία ισεμβαδικά τετράπλευρα (πώς;)

Υπάρχει όμως τρόπος κατασκευής του ώστε τα τρία τετράπλευρα αντί ισεμβαδικά, να είναι ισοπεριμετρικά;
Είναι μοναδικός;

Διερευνήστε, αν υπάρχει περιορισμός για τον λόγο $\dfrac{a}{b}$ ώστε να είναι δυνατή η κατασκευή.

Υ.Γ. για την μοναδικότητα δεν έχω απάντηση. υπάρχει όμως ορθογώνιο συγκεκριμένου λόγου $\dfrac{a}{b}$ που έχει δύο διαφορετικές λύσεις

Γεια σου Σάκη.

Για τα ισεμβαδικά: $\displaystyle{\frac{{SC + DT}}{2} = \frac{{AP + QB}}{2} = PQ = TS = \frac{{AB}}{3}}$

: Ορθογώνια.107.png (4.9 KiB) Προβλήθηκε 3541 φορές

Στο παραπάνω σχήμα τα τρία τετράπλευρα είναι ίσα ορθογώνια, άρα και ισοπεριμετρικά.
Εκτός αν θέλουμε ισοπεριμετρικά χωρίς να είναι ισεμβαδικά.

#299

Καλησπέρα σε όλους. ΘΕΜΑ 107

Μια συνθήκη στην οποία εύκολα καταλήγουμε είναι η $\displaystyle y=\frac{a+b-k}{3}$ ,

όπου a, b

οι πλευρές του ορθογωνίου (όπως φαίνονται στο σχήμα) και

το τμήμα που αποκόπτουν οι παράλληλες

από την πλευρά

.

: 08-01-2015.png (6.6 KiB) Προβλήθηκε 3523 φορές

Εύκολα δείχνουμε ότι τα δύο ορθογώνια τραπέζια είναι ίσα.

Έστω x + y + z = b

Για να είναι ισοπεριμετρικά τα τραπέζια και το παραλληλόγραμμο πρέπει και αρκεί
a + x + z = 2y+ k

άρα

.

Φαίνεται να έχει άπειρες λύσεις για τις τιμές του ζεύγους y, k

. Πρέπει

Επιφυλλάσομαι για αναλυτικότερη μελέτη του θέματος και των περιορισμών.
edit: Συμπλήρωσα το

με διακριτική υπόδειξη του Σάκη.

ealexiou · #300

sakis1963 έγραψε:Ασκηση 107
Το συνημμένο GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.107.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Είναι εύκολο να κατασκευάσουμε πλάγιο παραλληλόγραμμο (ένα από τα πολλά) όπως στο σχήμα, που να χωρίζει το τυχαίο ορθογώνιο σε τρία ισεμβαδικά τετράπλευρα (πώς;)

Υπάρχει όμως τρόπος κατασκευής του ώστε τα τρία τετράπλευρα αντί ισεμβαδικά, να είναι ισοπεριμετρικά;
Είναι μοναδικός;

Διερευνήστε, αν υπάρχει περιορισμός για τον λόγο $\dfrac{a}{b}$ ώστε να είναι δυνατή η κατασκευή.

Υ.Γ.1 για την μοναδικότητα δεν έχω απάντηση. υπάρχει όμως ορθογώνιο συγκεκριμένου λόγου $\dfrac{a}{b}$ που έχει δύο διαφορετικές λύσεις
Υ.Γ.2 συμπλήρωσα τη λέξη πλάγιο παραλληλόγραμμο

Καλησπέρα!

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 107-b.png (8.24 KiB) Προβλήθηκε 3485 φορές

Πρέπει να ισχύει $2x+k+b+\sqrt{b^2+k^2}=2(a-2x-k)+2\sqrt{b^2+k^2}, a>0, b>0,x>0$ ,

οπότε $\boxed{x=\dfrac{1}{6}(2a+\sqrt{b^2+k^2}-b-3k)}$ , με $k<\dfrac{1}{8}(\sqrt{4a^2-4ab+9b^2}+6a-3b)$

Προφανώς έχει άπειρες λύσεις συναρτήσει του

και για διάφορα a,b

. Ενδιαφέρον έχει η διερεύνηση και με άλλη δέσμευση.

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μέλη σε σύνδεση