Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#101

KARKAR έγραψε:Άσκηση 40
Το συνημμένο Άσκηση 40.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το είναι το μέσο της πλευράς , ορθογωνίου . Αν οι

τέμνονται σχηματίζοντας οξεία γωνία , βρείτε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ .

Γκρίνιες για την "ποιότητα" του αποτελέσματος δεν νοούνται γουρουνιάρες μέρες ...

Καλά Χριστούγεννα.

Μόλις με ενημέρωσαν , ότι

αντιεξουσιαστές την "πέσανε" στο μαθηματικό τμήμα για να ελευθερώσουν το "ένα το κρατούμενο".

Έστω

το κέντρο του ορθογωνίου.

Ας δούμε πρώτα την γεωμετρική κατασκευή ( πριν τους υπολογισμούς)

Τα σημεία $O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ είναι αρμονικά συζυγή των $S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ με $\dfrac{{DO}}{{DB}} = \dfrac{{SO}}{{SB}} = \dfrac{1}{2}$ .

: Ορθογώνια (KARKAR)_40_Κατασκευή.png (17.97 KiB) Προβλήθηκε 1150 φορές

Κατασκευή :

Έστω τυχαίος κύκλος και το εγγεγραμμένο σ’ αυτόν ορθογώνιο τρίγωνο $BEC \to ({90^0},60^\circ ,30^\circ )$ . Ας είναι $\boxed{BC = b}$ .

Σημείο

της

είναι τέτοιο ώστε CT = 2TB

. Η παράλληλη από το

προς την

τέμνει τον κύκλο στο σημείο

.

Η ευθεία

τέμνει την ευθεία

στο

και η ευθεία

την παράλληλη από το

στην

στο σημείο

.

Η προβολή του

στην

μας ορίζει την τέταρτη κορυφή

του ορθογωνίου ABCD

και ας είναι $\boxed{AB = a}$

Υπολογισμοί :

$EB = \dfrac{b}{{\sqrt 3 }}$ . Επειδή (δύναμη του σημείου

ως προς τον κύκλο )

$ME \cdot MB = MS \cdot MC$ και θέτοντας $\boxed{a = bx}$ προκύπτει εύκολα η εξίσωση :

$\dfrac{x}{2}(\dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}) = \dfrac{1}{3}(1 + \dfrac{{{x^2}}}{4})$ με δεκτή ρίζα $\boxed{x = \dfrac{{\sqrt {11} + \sqrt 3 }}{2}}$

Ν.

KARKAR · #102

Άσκηση 41

: Άσκηση 41.png (9.83 KiB) Προβλήθηκε 1133 φορές

Ο μεγάλος κύκλος εφάπτεται σε τρεις πλευρές , ο μικρός σε δύο , επιπλέον δε οι κύκλοι

εφάπτονται και μεταξύ τους . Η κοινή εσωτερική τους εφαπτομένη διέρχεται από το

.

Βρείτε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ για να συμβούν όλα αυτά τα ωραία

Μιχάλης Τσουρακάκης · #103

ΑΣΚΗΣΗ 28

Καλά Χριστούγεννα σε όλους...

Προφανώς το $\displaystyle{ECBQ}$ είναι τετράγωνο πλευράς $\displaystyle{b}$ ,άρα, $\displaystyle{\angle EZC = \angle MCE = {45^0}}$ και $\displaystyle{KQ = b}$

1.Έστω $\displaystyle{DK \cap \left( {{c_2}} \right) = S}$ .Τότε $\displaystyle{DASQ}$ παραλ//μο $\displaystyle{ \Rightarrow SQ \bot AB}$ και $\displaystyle{SQ = b}$ ,άρα $\displaystyle{S,Q,E}$ συνευθειακά κι επειδή $\displaystyle{\angle DES = {90^0}}$ ο $\displaystyle{\left( {{c_2}} \right)}$ περνά από το $\displaystyle{E}$

Επειδή $\displaystyle{DE = ES = 2b \Rightarrow \angle ESD = \angle MDE = {45^0}}$ και $\displaystyle{\angle EKD = {90^0}}$ .Ακόμη, $\displaystyle{\vartriangle MDC}$ ορθογώνιο ισοσκελές με εμβαδό $\displaystyle{\boxed{\left( {MDC} \right) = \frac{{M{D^2}}}{2} = \frac{{9{b^2}}}{4}}}$

2.Επειδή , $\displaystyle{\angle KDE = {45^0} \Rightarrow \angle EZS = {135^0} \Rightarrow C,Z,S}$ συνευθειακά κι επειδή $\displaystyle{QZ \bot CZ \Rightarrow QZ}$ περνά από το $\displaystyle{D}$ και $\displaystyle{MDZC}$

εγγράψιμο άρα $\displaystyle{\angle MZC = \angle MDC = {45^0}}$ όπως και $\displaystyle{\angle EZC = {45^0}}$

: A28.png (27.04 KiB) Προβλήθηκε 1123 φορές

Άρα $\displaystyle{Z,E,M}$ συνευθειακά αφού οι $\displaystyle{MZ,EZ}$ σχηματίζουν ίδια γωνία με την $\displaystyle{ZC}$

3.Tο ζητούμενο εμβαδό προκύπτει αν από το $\displaystyle{\left( {MDC} \right)}$ αφαιρέσουμε τα κυκλικά τμήματα $\displaystyle{KDE,TEC}$ γωνίας $\displaystyle{{90^0}}$

Με $\displaystyle{DK = b\sqrt 2 ,ET = \frac{{b\sqrt 2 }}{2}}$ εύκολα παίρνουμε μετά τις πράξεις ότι το ζητούμενο εμβαδό είναι $\displaystyle{\boxed{E = \frac{{\left( {28 - 5\pi } \right){b^2}}}{8}}}$

#104

sakis1963 έγραψε:Ασκηση 37
Το συνημμένο GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.37.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Εστω ορθογώνιο και τέταρτο έλλειψης με κέντρο και ημιάξονες

α. Βρείτε σημείο της έλλειψης ώστε αν οι προβολές του στις το να γίνεται μέγιστο

β. Αν τα συμμετρικά του ως προς τα (του μεγίστου του α. ερωτήματος), αποδείξτε ότι η εφάπτεται της έλλειψης στο και διχοτομείται απ'αυτό

Για ευκολία μπορείτε να θεωρήσετε

Καλά Χριστούγεννα

α) Έστω

. Είναι $\displaystyle{\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,a,b > 0}$ , απ' όπου παίρνουμε $\displaystyle{y = \frac{b}{a}\sqrt {{a^2} - {x^2}} }$ και:

$\displaystyle{(APST) = xy = \frac{{bx}}{a}\sqrt {{a^2} - {x^2}} }$ . Με τη βοήθεια των παραγώγων βρίσκουμε ότι το εμβαδόν

μεγιστοποιείται όταν $\boxed{S\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2},\frac{{b\sqrt 2 }}{2}} \right)}$ και είναι $\boxed{{(APST)_{\max }} = \frac{{ab}}{2}}$

: Ορθογώνια.37.png (9.85 KiB) Προβλήθηκε 1113 φορές

β) Η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης στο

είναι: $\displaystyle{\frac{{x\sqrt 2 }}{{2a}} + \frac{{y\sqrt 2 }}{{2b}} = 1 \Leftrightarrow bx\sqrt 2 + ay\sqrt 2 = 2ab}$

και τέμνει τις ευθείες AB, AD

στα σημεία $\displaystyle{E\left( {a\sqrt 2 ,0} \right),F\left( {0,b\sqrt 2 } \right)}$ . Άρα T, P

είναι τα μέσα των AB, AD

αντίστοιχα και κατά συνέπεια, το

είναι το μέσο του

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #105

ΑΣΚΗΣΗ 40

Με $\displaystyle{ST \bot BD \Rightarrow TSBC}$ εγγράψιμο $\displaystyle{ \Rightarrow \angle CBT = {30^0} \Rightarrow \boxed{TC = \frac{{b\sqrt 3 }}{3}}}$

$\displaystyle{\frac{{DS}}{{SB}} = \frac{a}{{\frac{a}{2}}} = 2 \Rightarrow DS = \frac{2}{3}DB \Rightarrow \boxed{DS \cdot DB = \frac{2}{3}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}$

$\displaystyle{DS \cdot DB = DT \cdot DC \Rightarrow \frac{2}{3}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = \left( {a - \frac{{b\sqrt 3 }}{3}} \right) \cdot a \Leftrightarrow {a^2} - 2{b^2} = ab\sqrt 3 \Leftrightarrow {x^4} - 7{x^2} + 4 = 0}$ όπου $\displaystyle{x = \frac{a}{b}}$

Η τελευταία έχει δεκτή ρίζα $\displaystyle{\boxed{x = \frac{a}{b} = \sqrt {\frac{{7 + \sqrt {33} }}{2}} }}$

: A40.png (9.97 KiB) Προβλήθηκε 1088 φορές

sakis1963 · #106

Ασκηση 42

: GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.42.png (23.6 KiB) Προβλήθηκε 1088 φορές

Χρόνια Πολλά

Εστω ορθογώνιο ABCD, AB=a, AD=b

και

τα μέσα των AD, BC

Κύκλος εφάπτεται στις AB, BC, CD

και τέμνει τις ΑΝ, ΜΝ

στα

αντίστοιχα.

Αν η

διέρχεται από το

, βρείτε:

α. τον λόγο $\dfrac{a}{b}$

β. την γωνία $\hat{EDN}$

ealexiou · #107

KARKAR έγραψε:Άσκηση 41
Το συνημμένο Άσκηση 41.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Ο μεγάλος κύκλος εφάπτεται σε τρεις πλευρές , ο μικρός σε δύο , επιπλέον δε οι κύκλοι

εφάπτονται και μεταξύ τους . Η κοινή εσωτερική τους εφαπτομένη διέρχεται από το .

Βρείτε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ για να συμβούν όλα αυτά τα ωραία

Καλά Χριστούγεννα

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 41.png (31.21 KiB) Προβλήθηκε 1087 φορές

Π.Θ στο $\triangle OIK$ και έχουμε $OK^2=OI^2+IK^2\Rightarrow$

$\left(\dfrac{b}{2}+x\right)^2=\left(\dfrac{b}{2}-x\right)^2+\left(a-\dfrac{b}{2}-x\right)^2\Rightarrow$ $\boxed{x=\sqrt{2ab}+a+\dfrac{b}{2}}$

Επειδή $CL=CS=CE \Rightarrow$ $a-\dfrac{b}{2}=b-\left(\sqrt{2ab}+a+\dfrac{b}{2}\right) \Rightarrow$ $a=\dfrac{b}{3-\sqrt{5}}\Rightarrow$ $\boxed{\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{3-\sqrt{5}}}$

ealexiou · #108

sakis1963 έγραψε:Ασκηση 42
Το συνημμένο GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.42.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Χρόνια Πολλά
Εστω ορθογώνιο και τα μέσα των

Κύκλος εφάπτεται στις και τέμνει τις στα αντίστοιχα.

Αν η διέρχεται από το , βρείτε:
α. τον λόγο $\dfrac{a}{b}$
β. την γωνία $\hat{EDN}$

Χρόνια Πολλά και καλά Σάκη

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 42.png (32.2 KiB) Προβλήθηκε 1071 φορές

Είναι $\triangle AED \sim \triangle KEN$ και επιπλέον DA=KN=b

, οπότε $\triangle AED = \triangle KEN \Rightarrow \boxed{DE=EN} \Rightarrow \boxed{\angle EDN=45°}$

Είναι $\triangle KMD \sim \triangle DMK \Rightarrow$ $\dfrac{x}{b/2}= \dfrac{b/2}{a} \Rightarrow$ $x=\dfrac{b^2}{4a}$ , οπότε $a=\dfrac{b^2}{4a}+b \Rightarrow$ $a=\dfrac{b(1+\sqrt{2})}{2}\Rightarrow$ $\boxed{\dfrac{a}{b}=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}}$

edit: Γεια σου Γιώργο, Καλές γιορτές και Χρόνια πολλά και σε εσένα!

#109

sakis1963 έγραψε:Ασκηση 42
Το συνημμένο GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.42.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Χρόνια Πολλά
Εστω ορθογώνιο και τα μέσα των

Κύκλος εφάπτεται στις και τέμνει τις στα αντίστοιχα.

Αν η διέρχεται από το , βρείτε:

α. τον λόγο $\dfrac{a}{b}$

β. την γωνία $\hat{EDN}$

Σάκη και Ευθύμη, Καλές Γιορτές! Χρόνια Πολλά

Δυο λόγια για την κατασκευή του σχήματος.

: Ορθογώνια.42.png (20.7 KiB) Προβλήθηκε 1063 φορές

Γράφω τον κύκλο χορδής AD=b

που δέχεται γωνία 45^0

και στο μέσο

της

φέρνω κάθετη που τέμνει τον κύκλο στο

. Οι κάθετες από τα σημεία A, D

στην

τέμνουν την εφαπτομένη του κύκλου στο

στα σημεία B, C

αντίστοιχα. Το ABCD

είναι το ζητούμενο ορθογώνιο.

α) $\displaystyle{\varepsilon \varphi 22,{5^0} = \frac{{DM}}{{MN}} = \frac{b}{{2a}} \Leftrightarrow \frac{b}{a} = 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right) \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{a}{b} = \frac{{\sqrt 2 + 1}}{2}}$

#110

Άσκηση 43

Χρόνια πολλά σε όλους!

Βρείτε το εμβαδό του σχηματιζόμενου κανονικού οκταγώνου, συναρτήσει των διαστάσεων του μπλε ορθογωνίου που είναι a, b

.

: 24-12-2015 Γεωμετρία.png (15.98 KiB) Προβλήθηκε 1031 φορές

Μην με προκαλείτε να αποκαλύψω την πηγή της άσκησης. Δεν πρόκειται να υποκύψω.

#111

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Άσκηση 43

Χρόνια πολλά σε όλους!

Βρείτε το εμβαδό του σχηματιζόμενου κανονικού οκταγώνου, συναρτήσει των διαστάσεων του μπλε ορθογωνίου που είναι .

Το συνημμένο 24-12-2015 Γεωμετρία.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Μην με προκαλείτε να αποκαλύψω την πηγή της άσκησης. Δεν πρόκειται να υποκύψω.

Χρόνια Πολλά Γιώργο!

: Ορθογώνια.43.png (7.17 KiB) Προβλήθηκε 1009 φορές

Το ζητούμενο εμβαδόν είναι:
$\displaystyle{E = 2{E_1} + {E_2} = 2\frac{{a + b}}{2}x + ab = \frac{{(a + b)(b - a)}}{2} + ab \Leftrightarrow }$ $\boxed{E = \frac{{{b^2} + 2ab - {a^2}}}{2}}$

#112

Άσκηση 44

: Ορθογώνια.44.png (9.31 KiB) Προβλήθηκε 1006 φορές

Ta

είναι εσωτερικά σημεία των πλευρών BC, DC

αντίστοιχα, ορθογωνίου ABCD

. Να δείξετε ότι: $\displaystyle{(AEF) < \frac{1}{2}(ABCD)}$

STOPJOHN · #113

Γιώργο καλησπέρα και Χρόνια πολλά και σε όλους Καλές γιορτές
Θέτουμε

$x=CE,y=DF,EB=a-x,FC=b-y,E_{0}=(ADF),E_{1}=(FCE),(AEB)=E_{2}, (AEF)<\dfrac{1}{2}(ABCD)\Leftrightarrow E_{0}+E_{1}+E_{2}>\dfrac{1}{2}ab\Leftrightarrow \dfrac{y(a-x)}{2}>0\Leftrightarrow a>x$

Γιάννης

#114

george visvikis έγραψε: Το ζητούμενο εμβαδόν είναι:
$\displaystyle{E = 2{E_1} + {E_2} = 2\frac{{a + b}}{2}x + ab = \frac{{(a + b)(b - a)}}{2} + ab \Leftrightarrow }$ $\boxed{E = \frac{{{b^2} + 2ab - {a^2}}}{2}}$

Καλησπέρα Γιώργο κι ευχαριστώ για την άμεση απάντηση.

Προεκτείνω: Τι σχέση έχει το εμβαδό του οκταγώνου με το εμβαδό του ορθογωνίου;

Επαναλαμβάνω: Το όνομα του περιοδικού απ' όπου το πήρα δεν θα σας το πώ. Ψάξτε.

ealexiou · #115

george visvikis έγραψε:
Ορθογώνια.44.png
Ta είναι εσωτερικά σημεία των πλευρών αντίστοιχα, ορθογωνίου . Να δείξετε ότι: $\displaystyle{(AEF) < \frac{1}{2}(ABCD)}$

Αν $DF=x \wedge EB=y$ τότε A=(ADF)+(FCE)+(ABE)=

$\dfrac{bx+(a-x)(b-y)+ay}{2}=$ $\dfrac{ab}{2}+\dfrac{xy}{2}=$ $\dfrac{(ABCD)}{2}+\dfrac{xy}{2}$ και επειδή $\dfrac{xy}{2}>0$

άρα $\boxed{A>\dfrac{(ABCD)}{2}}\Rightarrow$ $\boxed{(AEF)=(ABCD)-A< \dfrac{(ABCD)}{2}}$

KARKAR · #116

Άσκηση 45

: Άσκηση 42.png (10.26 KiB) Προβλήθηκε 977 φορές

Στην πλευρά

βρίσκεται σημείο

, ώστε $TB=t , (t<\dfrac{a}{2} )$ . Τμήμα

με άκρα

επί των DB,DT

, κινείται παραμένοντας παράλληλο με την

. Δημιουργήστε τύπο

ο οποίος να αποδίδει το (CPS)

και βρείτε το μέγιστό του .

#117

Άσκηση 46

Έχουμε ένα ορθογώνιο με διαστάσεις 5x9

. Το χωρίζουμε σε

ορθογώνια με ακέραιες διαστάσεις. Τότε, αποδείξτε ότι, δύο τουλάχιστον απ΄αυτά είναι ίσα.

(Η πηγή είναι κρυμμένη στο θέμα 43).

#118

KARKAR έγραψε:Άσκηση 41
Το συνημμένο Άσκηση 41.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Ο μεγάλος κύκλος εφάπτεται σε τρεις πλευρές , ο μικρός σε δύο , επιπλέον δε οι κύκλοι

εφάπτονται και μεταξύ τους . Η κοινή εσωτερική τους εφαπτομένη διέρχεται από το .

Βρείτε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ για να συμβούν όλα αυτά τα ωραία

Καλές γιορτές σε όλους.

: Ορθογώνια (KARKAR) 41.png (17.42 KiB) Προβλήθηκε 965 φορές

Έστω ότι ο μεγάλος κύκλος εφάπτεται στα $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ των $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$ αντίστοιχα . Προφανώς για την ακτίνα

αυτού του κύκλου b = 2R

.

Ο μικρός κύκλος έστω ότι εφάπτεται στα $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H$ των $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ αντίστοιχα.

Η από το

παράλληλη στην

θα διέρχεται από το κέντρο του μικρού κύκλου και έστω ότι τέμνει τη

στο

. Θέτουμε την ακτίνα του μικρού με

.

Είναι γνωστό ότι $ET = 2\sqrt {Rx}$ και αφού $CZ\,\, = CS = CH$ θα έχουμε την εξίσωση :

$\boxed{2\sqrt {Rx} + x = 2R - x\,}\,\,(1)\,\, \Leftrightarrow \sqrt {Rx} = R - x$ με προφανώς R > x

. Με ύψωση στο τετράγωνο προκύπτει η ( μη ισοδύναμη ) εξίσωση : ${x^2} - 3Rx - {R^2} = 0$ .

Δεκτή ρίζα , $\boxed{x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}R}$ . Μετά απ’ αυτά εύκολα προκύπτει και λόγω της (1)

:

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{{R + (2\sqrt {Rx} + x)}}{{2R}} = \dfrac{{3R - x}}{{2R}}$ δηλαδή $\boxed{\dfrac{a}{b} = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{4}}$ .

Ν.

ealexiou · #119

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Άσκηση 46

Έχουμε ένα ορθογώνιο με διαστάσεις . Το χωρίζουμε σε ορθογώνια με ακέραιες διαστάσεις. Τότε, αποδείξτε ότι, δύο τουλάχιστον απ΄αυτά είναι ίσα.

(Η πηγή είναι κρυμμένη στο θέμα 43).

$5\cdot 9=45$ τετραγωνίδια 1x1

(μικρότερα δεν γίνεται

), όμως

άρα το πολύ

ορθογώνια διαφορετικού εμβαδού μπορούμε να φτιάξουμε. Άρα φτιάχνοντας

, δύο τουλάχιστον απ΄αυτά είναι θα είναι ίσα.

#120

KARKAR έγραψε:Άσκηση 45
Το συνημμένο Άσκηση 42.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στην πλευρά βρίσκεται σημείο , ώστε $TB=t , (t<\dfrac{a}{2} )$ . Τμήμα με άκρα

επί των , κινείται παραμένοντας παράλληλο με την . Δημιουργήστε τύπο

ο οποίος να αποδίδει το και βρείτε το μέγιστό του .

: Ορθογώνια (KARKAR)_45.png (18.35 KiB) Προβλήθηκε 937 φορές

Έστω

η προβολή του

στην

. Θέτουμε $AK = x\,\,,\,x \in (0,a)$ . Η παράλληλη στην

από το

τέμνει την

, έστω στο

.

Αβίαστα προκύπτουν τα παρακάτω : $\left\{ \begin{gathered} KB = a - x \hfill \\ \frac{{TL}}{{AD}} = \frac{{BT}}{{BA}} \hfill \\ \frac{{SP}}{{TL}} = \frac{{AK}}{{AT}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} KB = a - x \hfill \\ TL = \frac{{bt}}{a} \hfill \\ PS = \frac{{btx}}{{a(a - t)}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $(\Sigma )$

Προφανώς (CPS) = (BPS) = (BPK) - (BSK)

και άρα $(CPS) = \dfrac{1}{2}KB \cdot PS$ δηλαδή η συνάρτηση του εμβαδού του (CPS)

είναι με τη βοήθεια των σχέσεων $(\Sigma )$

$\boxed{f(x) = \frac{{(a - x)btx}}{{2a(a - t)}}}$ ( τριώνυμο δευτέρου βαθμού) . παρουσιάζει μέγιστο όταν το

ταυτιστεί με το μέσο

του

, το $\boxed{f(\frac{a}{2}) = \frac{{abt}}{{8(a - t)}}}$ .

Ν.

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μέλη σε σύνδεση