Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#81

ΑΣΚΗΣΗ 33

: Ορθογώνια KARKAR_xx.png (7.79 KiB) Προβλήθηκε 2400 φορές

Έστω ορθογώνιο ABCD

με $AB = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC = b$ . σημείο

κινείται στην πλευρά

ανάμεσα στα $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A$ . Γράφουμε τον κύκλο $(K) \to (D,DA)$ .

1. Να γράψετε κύκλο (L)

με κέντρο στην

που να διέρχεται από το

και να εφάπτεται εξωτερικά του (C)

.

2. Να βρεθεί η θέση του

, ώστε ο κύκλος (L)

να εφάπτεται και της

.

3. Βρείτε ακεραίους a,b

ώστε οι κύκλοι $(K)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(L)$ να έχουν ακτίνες με μέτρα ακεραίους και να ισχύει το προηγούμενο

ερώτημα.

Ν.

sakis1963 · #82

KARKAR έγραψε:Άσκηση 32
Άσκηση 32.png
Στην πλευρά του ορθογωνίου βρίσκονται σημεία , ώστε

οι τεμνόμενες στο , να ορίζουν τρίγωνο με εμβαδό ίσο με

το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

Ασκηση 32

Θέτω PQ=x

$\dfrac{(SAB)}{(SPQ)}=(\dfrac{a}{x})^2 \Rightarrow \dfrac{(APQB)+(SPQ)}{(SPQ)}=1+\dfrac{ab-b(a-x)/2}{ab/2}=(\dfrac{a}{x})^2$ απόπου

$(\dfrac{a}{x})^2-\dfrac{x}{a}-2=0$ όπου θέτω $y=\dfrac{a}{x}$ και γίνεται y^3-2y-1=0

που έχει δεκτή ρίζα την $y=\dfrac{a} {x}=\dfrac{\sqrt5+1}{2}=\phi$ (οι άλλες είναι αρνητικές $-1, \dfrac{1-\sqrt5}{2})$

Αρα $\boxed{PQ=\dfrac{a}{\phi}}$ (ανεξάρτητο του

)

Σάκης

#83

KARKAR έγραψε:Άσκηση 32
Το συνημμένο Άσκηση 32.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στην πλευρά του ορθογωνίου βρίσκονται σημεία , ώστε

οι τεμνόμενες στο , να ορίζουν τρίγωνο με εμβαδό ίσο με

το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

: Ορθογώνια (KARKAR)_32.png (12.88 KiB) Προβλήθηκε 2384 φορές

Πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα:

$\left\{ \begin{gathered} xy = ab \hfill \\ ay = ab + bx \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = a\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} \hfill \\ y = b\frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Υπάρχουν άπειρα τρίγωνα με την κορυφή

να κινείται σε σταθερή ευθεία παράλληλη στην

.

Ν.

KARKAR · #84

Άσκηση 34

: Άσκηση 34.png (8.06 KiB) Προβλήθηκε 2383 φορές

Σε ορθογώνιο του οποίου το μήκος

είναι διπλάσιο του πλάτους

, γράφουμε

κύκλο εφαπτόμενο της

στο μέσο της

και ο οποίος τέμνει την

σε

δύο σημεία , από τα οποία το πλησιέστερο προς την κορυφή

, ονομάζουμε

.

Αν η

τέμνει τον κύκλο στο

, δείξτε ότι $CT \perp BS$ .

#85

KARKAR έγραψε:Άσκηση 34
Άσκηση 34.png
Σε ορθογώνιο του οποίου το μήκος είναι διπλάσιο του πλάτους , γράφουμε κύκλο εφαπτόμενο της στο μέσο της και ο οποίος τέμνει την σε δύο σημεία , από τα οποία το πλησιέστερο προς την κορυφή , ονομάζουμε .Αν η τέμνει τον κύκλο στο , δείξτε ότι $CT \perp BS$ .

$BT \cdot BS = B{M^2} = B{C^2}\mathop \Rightarrow \limits^{\angle SCB = {{90}^0}} CT \bot BS$

Στάθης

#86

ΑΣΚΗΣΗ 35

: Ορθογώνια KARKAR_xxxx.png (9.75 KiB) Προβλήθηκε 2348 φορές

Έστω ορθογώνιο ABCD

. Στο σημείο

φέρνουμε κάθετη επί τη διαγώνιο

που τέμνει την ευθεία

στο

.

Η κάθετη στην

στο

τέμνει τις ευθείες $CD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD$ στα $Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H$ αντίστοιχα.

Η από το

παράλληλη στην

τέμνει τις ευθείες $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ στα $P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ αντίστοιχα.

1. Δείξετε ότι οι ευθείες $AZ\,\,,\,\,BD\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CP$ συντρέχουν , έστω σε σημείο

.

2. Αν $\dfrac{{EB}}{{EZ}} = l$ να βρείτε συναρτήσει του

το λόγο , $\dfrac{{PT}}{{TC}}$ .

Έγινε διόρθωση του ερωτήματος
Ν.

sakis1963 · #87

Doloros έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ 33
Το συνημμένο Ορθογώνια KARKAR_xx.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Έστω ορθογώνιο με $AB = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC = b$ . σημείο κινείται στην πλευρά ανάμεσα στα $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A$ . Γράφουμε τον κύκλο $(K) \to (D,DA)$ .

1. Να γράψετε κύκλο με κέντρο στην που να διέρχεται από το και να εφάπτεται εξωτερικά του .

2. Να βρεθεί η θέση του , ώστε ο κύκλος να εφάπτεται και της .

3. Βρείτε ακεραίους ώστε οι κύκλοι $(K)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(L)$ να έχουν ακτίνες με μέτρα ακεραίους και να ισχύει το προηγούμενο ερώτημα.

Ν.

Ασκηση 33

: GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.33.png (31.22 KiB) Προβλήθηκε 2295 φορές

1. Εστω ότι ο κύκλος (K)

τέμνει την

στο

, ο κύκλος με διάμετρο

τέμνει τον (K)

στο

που είναι το σημείο επαφής των κύκλων (K),(L)

.
Το κέντρο του (L)

έστω $L=DT\cap AB$ και η ακτίνα του

2. Τώρα έχουμε τον (L)

, με κέντρο

και ακτίνα LB=b

, και ζητούμε την ακτίνα r=DP=DT=DS

του

.

Από Π.Θ. στο DAL

έχουμε

που μετά από λίγες πράξεις γίνεται r^2+2rb-(a-b)^2=0

και έχει δεκτή ρίζα την $r=-b+\sqrt{a^2+2b^2-2ab}$

3. Τα R=b, a-b, r+b

αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα, άρα a=m^2-n^2+2mn, b=R=m^2-n^2, r=2n^2

όπου

τυχαίοι ακέραιοι.

: GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.33(2).png (33.49 KiB) Προβλήθηκε 2295 φορές

Στο δεύτερο σχήμα φαίνεται, άλλος τρόπος, πιο εύκολος για την εύρεση του σημείου επαφής

των

(που προκύπτει από την ομοιότητα των ισοσκελών τριγώνων DZT, LBT

)
Με το σχήμα αυτό επίσης τεκμηριώνεται και η καθετότητα $SE\perp ZB$ στο

που αιτιολογεί τον πρώτο τρόπο κατασκευής με τον κύκλο (O)

Σάκης

#88

Doloros έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ 35

Το συνημμένο Ορθογώνια KARKAR_xxxx.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Έστω ορθογώνιο . Στο σημείο φέρνουμε κάθετη επί τη διαγώνιο που τέμνει την ευθεία στο .

Η κάθετη στην στο τέμνει τις ευθείες $CD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD$ στα $Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H$ αντίστοιχα.

Η από το παράλληλη στην τέμνει τις ευθείες $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ στα $P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ αντίστοιχα.

1. Δείξετε ότι οι ευθείες $AZ\,\,,\,\,BD\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CP$ συντρέχουν , έστω σε σημείο .

2. Αν $\dfrac{{EB}}{{EZ}} = l$ να βρείτε συναρτήσει του το λόγο , $\dfrac{{PT}}{{TC}}$ .

Έγινε διόρθωση του ερωτήματος
Ν.

Καλημέρα στους φίλους.

: Ορθογώνια.35.png (18.11 KiB) Προβλήθηκε 2298 φορές

1) Έστω

τα σημεία τομής της

με τις

αντίστοιχα.
Επειδή $\displaystyle{\varphi + \omega = {90^0}}$ , θα είναι $\displaystyle{Z\widehat AC = {90^0}}$ και με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε ότι $\displaystyle{A\widehat ZP = {90^0}}$ . Άρα AC//ZP

και αφού τα σημεία M, N

είναι τα μέσα των AC, ZP

, οι ευθείες $AZ\,\,,\,\,BD\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CP$ συντρέχουν.

2) Είναι EB=lEZ

και στο ορθογώνιο τρίγωνο DEB

:

$\displaystyle{E{Z^2} = A{D^2} = EA \cdot AB \Leftrightarrow E{Z^2} = EA(EB - EA) \Leftrightarrow E{Z^2} - lEA \cdot EZ + E{A^2} = 0}$ ,

απ' όπου παίρνουμε $\boxed{\frac{{EZ}}{{EA}} = \frac{{l + \sqrt {{l^2} - 4} }}{2}}$ (1)

Είναι όμως: $\displaystyle{Z{D^2} = PD \cdot DA \Leftrightarrow E{A^2} = TC \cdot EZ \Leftrightarrow TC = \frac{{E{A^2}}}{{EZ}}}$ και $\displaystyle{PT = AB = \frac{{E{Z^2}}}{{EA}}}$

Άρα: $\displaystyle{\frac{{PT}}{{TC}} = {\left( {\frac{{EZ}}{{EA}}} \right)^3}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} }$ $\boxed{\frac{{PT}}{{TC}} = {\left( {\frac{{l + \sqrt {{l^2} - 4} }}{2}} \right)^3}}$

KARKAR · #89

Άσκηση 36

: Άσκηση 37.png (8.31 KiB) Προβλήθηκε 2278 φορές

Σε ορθογώνιο ABCD

, διαστάσεων $7\times 4$ , τμήμα

με άκρα επί των

AB , CD

, εφάπτεται του τεταρτοκυκλίου $A\overset{\frown}{QD} , (Q \in AB)$ σε σημείο

.

α) Βρείτε το ελάχιστο εμβαδόν του τραπεζίου ASPD

.

β) Βρείτε τη θέση της

, ώστε να είναι $(ASPD)=\dfrac{1}{2}(ABCD)$

ealexiou · #90

Άσκηση 36

β) Ας είναι

η προβολή του

στην

και

Π.Θ στο $\triangle PS'S$ , $PS^2=PS'^2+SS'^2 \Rightarrow$ $(PT+TS)^2=(7-2x)^2+4^2\ (1)$ , Όμως

PT=DP=x

και $TS=\sqrt{AS^2-AT^2}=\sqrt{(7-x)^2-4^2}$ και η (1)

γίνεται $(x+\sqrt{(7-x)^2-4^2})^2=(7-2x)^2+4^2 \Rightarrow$ $\boxed{x=2}$ ή $\boxed{x=\dfrac{8}{3}}$

#91

KARKAR έγραψε:Άσκηση 36
Το συνημμένο Άσκηση 37.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε ορθογώνιο , διαστάσεων $7\times 4$ , τμήμα με άκρα επί των

, εφάπτεται του τεταρτοκυκλίου $A\overset{\frown}{QD} , (Q \in AB)$ σε σημείο .

α) Βρείτε το ελάχιστο εμβαδόν του τραπεζίου .

β) Βρείτε τη θέση της , ώστε να είναι $(ASPD)=\dfrac{1}{2}(ABCD)$

: Ορθογώνια.36.png (13.77 KiB) Προβλήθηκε 2250 φορές

α) Έστω

η διάμεσος του τραπεζίου. Το εμβαδόν του τραπεζίου γίνεται ελάχιστο, όταν ελαχιστοποιείται η διάμεσος, δηλαδή όταν το

συμπέσει με το

. Τότε όμως θα είναι από Π. Θ ,

$MN=MT=2\sqrt{3}$ και $\boxed{{(ASPD)_{\min }} = 8\sqrt 3 }$

β) Η

τέμνει τη

στο

. Θα πρέπει MN=NF

: Ορθογώνια.36.β.png (15.31 KiB) Προβλήθηκε 2244 φορές

Η

προσδιορίζεται αν από το μέσο

της

φέρω τις εφαπτόμενες στο τεταρτοκύκλιο. Έχουμε δύο λύσεις.

sakis1963 · #92

Ασκηση 37

: GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.37.png (15.75 KiB) Προβλήθηκε 2231 φορές

Εστω ορθογώνιο ABCD

και τέταρτο έλλειψης με κέντρο

και ημιάξονες AB=a, AD=b

α. Βρείτε σημείο

της έλλειψης ώστε αν T, P

οι προβολές του στις AB, AD

το

να γίνεται μέγιστο

β. Αν E, F

τα συμμετρικά του

ως προς τα T, P

(του μεγίστου του α. ερωτήματος), αποδείξτε ότι η

εφάπτεται της έλλειψης στο

και διχοτομείται απ'αυτό

Για ευκολία μπορείτε να θεωρήσετε a=5, b=3

KARKAR · #93

Άσκηση 38

: Άσκηση 37.png (8.47 KiB) Προβλήθηκε 2195 φορές

Σημείο

κινείται επί της πλευράς

του διαστάσεων $a \times b$ ορθογωνίου ABCD

.

Mε μία κορυφή το

, σχεδιάστε το "εγγεγραμμένο" νέο ορθογώνιο STPQ

.

Ποια είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το AS=x

?

Αν έχετε κουράγιο υπολογίστε το (STPQ)

, συναρτήσει των a,b,x

ealexiou · #94

KARKAR έγραψε:Άσκηση 38
Το συνημμένο Άσκηση 37.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σημείο κινείται επί της πλευράς του διαστάσεων $a \times b$ ορθογωνίου .

Mε μία κορυφή το , σχεδιάστε το "εγγεγραμμένο" νέο ορθογώνιο .

Ποια είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το ?

Αν έχετε κουράγιο υπολογίστε το , συναρτήσει των

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 38.png (19.8 KiB) Προβλήθηκε 2181 φορές

Η μέγιστη τιμή του AS=x

επιτυγχάνεται ο περίκυκλος του εσωτερικού ορθογωνίου εφάπτεται των

και

, δηλαδή έχει ακτίνα $\dfrac{a}{2}$ και κέντρο, προφανώς το

(σημείο τομής των διαγωνίων του ABCD

),οπότε είναι $\boxed{SM=\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{2}}$

και άρα $AS=AM-SM \Rightarrow$ $\boxed{AS=x =\dfrac{a}{2}-\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{2}}}$

KARKAR · #95

Άσκηση 39

: Άσκηση 39.png (5.53 KiB) Προβλήθηκε 2168 φορές

Στη "γωνιά"

του διαστάσεων $a \times b$ , σταθερού μακρόστενου ορθογωνίου ABCD

σχεδιάζουμε όμοιο , αλλά στενόμακρο και μεταβλητού μεγέθους ορθογώνιο APST

.

Βρείτε την ελάχιστη τιμή της απόστασης της ( κινούμενης ) κορυφής

από το

.

ealexiou · #96

KARKAR έγραψε:Άσκηση 39
Το συνημμένο Άσκηση 39.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στη "γωνιά" του διαστάσεων $a \times b$ , σταθερού μακρόστενου ορθογωνίου

σχεδιάζουμε όμοιο , αλλά στενόμακρο και μεταβλητού μεγέθους ορθογώνιο .

Βρείτε την ελάχιστη τιμή της απόστασης της ( κινούμενης ) κορυφής από το .

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 39.png (16.51 KiB) Προβλήθηκε 2161 φορές

Είναι $\triangle ADO \sim \triangle DAB \Rightarrow DO=\dfrac{b^2}{a}=st$ και το

κινείται πάνω στην

, οπότε το

γίνεται ελάχιστο στη θέση S_0B

και είναι $\dfrac{S_0B}{a}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\Rightarrow$ $S_0B=\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$

#97

KARKAR έγραψε:Άσκηση 39
Το συνημμένο Άσκηση 39.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στη "γωνιά" του διαστάσεων $a \times b$ , σταθερού μακρόστενου ορθογωνίου

σχεδιάζουμε όμοιο , αλλά στενόμακρο και μεταβλητού μεγέθους ορθογώνιο .

Βρείτε την ελάχιστη τιμή της απόστασης της ( κινούμενης ) κορυφής από το .

: Ορθογώνια (KARKAR)_39.png (14.93 KiB) Προβλήθηκε 2157 φορές

Επειδή η γωνία ${a_1} = \widehat {BAS} = \widehat {ADB}$ ( σταθερή) το

κινείται σε σταθερή ευθεία .

Προφανώς δε το τμήμα

γίνεται ελάχιστο όταν $BS \bot AS$ , δηλαδή στη θέση ${S_0}$ τομή των ευθειών $AS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DB$ .

Θα είναι δε $\boxed{B{S_0} = \frac{{{a^2}}}{d}\,\,\,,\,\,d = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = DB}$ .

Ν.

KARKAR · #98

Άσκηση 40

: Άσκηση 40.png (7.59 KiB) Προβλήθηκε 2134 φορές

Το

είναι το μέσο της πλευράς

, ορθογωνίου ABCD

. Αν οι

τέμνονται σχηματίζοντας οξεία γωνία 60^0

, βρείτε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ .

Γκρίνιες για την "ποιότητα" του αποτελέσματος δεν νοούνται γουρουνιάρες μέρες ...

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #99

KARKAR έγραψε:Άσκηση 40
Το συνημμένο Άσκηση 40.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το είναι το μέσο της πλευράς , ορθογωνίου . Αν οι

τέμνονται σχηματίζοντας οξεία γωνία , βρείτε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ .

Γκρίνιες για την "ποιότητα" του αποτελέσματος δεν νοούνται γουρουνιάρες μέρες ...

: Ortho_40.png (169 KiB) Προβλήθηκε 2114 φορές

Καλημέρα! Θα τα πούμε, μια και δεν σας τά'πανε άλλοι.

Είναι $\displaystyle{k+m=180^0-60^0 \Rightarrow tan(k+m)=tan 120^0 \Rightarrow \frac{tan k +tan m}{1-tan k \cdot tan m}=-\sqrt{3} \; (1)}$
Επειδή $\displaystyle {tan k =\frac{a}{b}=x \; \; , \; tan m =\frac {a}{2b}=\frac{1}{2}x}$
έχουμε
$\displaystyle { (1)\Rightarrow \frac{\frac{3}{2}x}{1-\frac{1}{2}x^2}=-\sqrt{3}\Leftrightarrow x^2\sqrt{3}-3x-2\sqrt{3}=0\Leftrightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{33}}{2\sqrt{3}}}$
Και επειδή η

είναι οξεία είναι $\displaystyle {x=\frac{a}{b}=\frac{3+\sqrt{33}}{2\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{3}+\sqrt{11}}{2}}$

#100

KARKAR έγραψε:Άσκηση 40
Το συνημμένο Άσκηση 40.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το είναι το μέσο της πλευράς , ορθογωνίου . Αν οι

τέμνονται σχηματίζοντας οξεία γωνία , βρείτε το λόγο $\dfrac{a}{b}$ .

Γκρίνιες για την "ποιότητα" του αποτελέσματος δεν νοούνται γουρουνιάρες μέρες ...

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά

: Ορθογώνια.40.png (11.95 KiB) Προβλήθηκε 2114 φορές

Έστω

το μέσο της

. Είναι $\displaystyle{SC = \frac{2}{3}MC = \frac{{\sqrt {{a^2} + 4{b^2}} }}{3},SB = \frac{2}{3}BN = \frac{{BD}}{3} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{3}}$

Νόμος συνημιτόνων στο BSC

:
$\displaystyle{{b^2} = \frac{{{a^2} + 4{b^2}}}{9} + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{9} - \frac{1}{9}\sqrt {{a^2} + 4{b^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}} \right)^2} - 7\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}} \right) + 4 = 0}$

Η τελευταία αυτή εξίσωση για a>b

, δίνει $\boxed{\frac{a}{b} = \sqrt {\frac{{7 + \sqrt {33} }}{2}} }$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μέλη σε σύνδεση