(Ρωσία 2013) Εννιαία Κρατική Εξέταση Στα Μαθηματικά.

Al.Koutsouridis · #1

Παρακάτω είναι τα θέματα απο την εξέταση στα μαθηματικά για το 2013 στη Ρωσία. Το αντίστοιχο των πανελληνίων στην Ελλάδα.
Τα συγκεκριμένα είναι από τις εξετάσεις Ιουνίου της κεντρικής ζώνης ώρας.

Ομάδα Β

B1. Ένα δισκίο φαρμάκου ζυγίζει 70 mg και περιέχει 4% δραστικής ουσίας. Για βρέφος μέχρι 6 μηνών ο γιατρός χορηγεί 1,05 mg δραστικής ουσίας για κάθε κιλό του βάρους του το εικοσιτετράωρο. Πόσα δισκία αυτού του φαρμάκου πρέπει να χορηγηθούν σε βρέφος 5 μηνών που ζυγίζει 8 κιλά κατά την διάρκεια του εικοσιτετράωρου.

B2. Στο διάγραμμα απεικονίζονται οι εξαγωγές χαλκού για δέκα χώρες (σε χιλιάδες τόνους) για το 2006. Μεταξύ των χωρών του πίνακα οι ΗΠΑ κατέχουν την πρώτη θέση. Ποια θέση κατέχει ο Καναδάς; Οι χώρες από αριστερά προς δεξιά είναι (Αυστραλία, Ζάμπια, Ινδονησία, Καζακστάν, Καναδάς, Κίνα, Περού, Πολωνία, Ρωσία, ΗΠΑ.

: 2003_b2.png (15.77 KiB) Προβλήθηκε 3340 φορές

B3. Να βρεθεί το εμβαδόν του τραπεζίου του σχήματος

: 2013_b3.png (6.08 KiB) Προβλήθηκε 3340 φορές

B4. Ανεξάρτητο πειραματικό εργαστήριο προσδιορίζει την βαθμολόγηση

(κατάταξη) οικιακών συσκευών με βάση το συντελεστή τιμής, που ισούται με 0,01 της μέσης τιμής κόστους

, τον δείκτη εργονομικότητας

, ποιότητας

και σχεδίασης

. Ο καθένας από του δείκτες έχει τιμή έναν ακέραιο αριθμό από το 0 έως το 4. Η τελική βαθμολόγηση υπολογίζεται από τον τύπο

R = 4(2F+2Q+D) – 0,01P

Στον πίνακα δίνονται η μέση τιμή κόστους και οι τιμές για το κάθε δείκτη μερικών ηλεκτρικών βραστήρων. Προσδιορίστε την μεγαλύτερη βαθμολόγηση των βραστήρων που παρουσιάζονται στον πίνακα.

: 2013_b4.png (14.33 KiB) Προβλήθηκε 3340 φορές

B5. Να βρεθεί η ρίζα της εξίσωσης $\Displaystyle{6^{-6+x}= 36}$

B6. Στο τρίγωνο ABC

είναι

,

και το ύψος

είναι ίσο με 8. Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας BAC

.

B7. Να βρείτε την τιμή της παράστασης $log_{2} 240 – log_{2} 3,75$ .

B8. Στο σχήμα έχουμε την γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x)

στο διάστημα (-9,5)

. Να βρείτε τον αριθμό των σημείων στα οποία η παράγωγος της f(x)

είναι ίση με 0.

: 2013_b8.png (23.81 KiB) Προβλήθηκε 3340 φορές

Β9. Κώνος είναι εγγεγραμμένος σε σφαίρα. Το κέντρο της σφαίρας συμπίπτει με το κέντρο της βάσης του κώνου. Η ακτίνα της σφαίρας είναι ίση με $10 \sqrt{2}$ . Να βρείτε το μήκος της γενέτειρας του κώνου.

: 2003_b9.png (4.55 KiB) Προβλήθηκε 3340 φορές

B10. Πριν από την πρώτη φάση ενός τουρνουά τένις τους συμμετέχοντες τους χωρίζουν σε ζευγάρια αγώνων με τυχαίο τρόπο μέσο κλήρωσης. Συνολικά στο τουρνουά συμμετέχουν 76 τενίστες, απο τους οποίους 7 είναι ευρωπαίοι μεταξύ αυτών και ο Μάρκος Παγδατής. Να βρείτε την πιθανότητα ο Μάρκος Παγδατής να είναι αντίπαλος με κάποιον άλλο ευρωπαίο τενίστα στη πρώτη φάση του τουρνουά.

Β11. Να βρείτε τον όγκο κανονικού εξαγωνικού πρίσματος με εμβαδόν βάσης 12 και πλευρική ακμή ίση με 2.

Β12. Ανιχνευτής βαθυσκάφους που βυθίζεται κατακόρυφα ομαλά προς τον βυθό, στέλνει παλμούς υπερήχων συχνότητας 217 MHz. Η ταχύτητα βύθισης του βαθυσκάφους δίνεται από την σχέση $\displaystyle{v = c \frac{f-f_{0}}{f+f_{0}}}$ , όπου c = 1500 m/sec

η ταχύτητα του ήχου στο νερό, $f_{0}$ η συχνότητα των παλμών που εκπέμπονται (σε MHz),

η συχνότητα του ανακλώμενου σήματος από τον πυθμένα που λαμβάνει ο δέκτης(σε MHz). Να προσδιορίσετε την μέγιστη δυνατή συχνότητα

του ανακλώμενου σήματος, αν η ταχύτητα βύθισης του βαθυσκάφους δεν πρέπει να υπερβαίνει τα 12 m/sec. Υπολογίστε το αποτέλεσμα σε MHz .

B13. Ένα κανό καγιάκ αναχώρησε από το σημείο Α στις 10:00 η ώρα με προορισμό το σημείο Β σε απόσταση 15 χμ από το Α. Ύστερα από διάλλειμα μιας ώρα και είκοσι λεπτών στο Β, ξεκίνησε για την επιστροφή στο σημείο Α στο οποίο έφτασε στις 16:00 η ώρα της ίδιας μέρας. Να προσδιορίσετε (σε χμ/ώρα) την ιδία ταχύτητα του κανό, αν είναι γνωστό ότι η ταχύτητα ροής του ποταμού είναι 2χμ/ώρα.

B14. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης $\displaystyle{y=\frac{x^2+441}{x}}$ στο διάστημα [2,32]

.

Ομάδα C

C1. α) Να λύσετε την εξίσωση

$\displaystyle{15^{\cos x}= 3^{\cos x} 5^{\sin x} }$ .

β) Να βρέιτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης στο διάστημα $\displaystyle{ [5 \pi , \frac{13 \pi}{2}] }$ .

C2. Στην κανονική τετραγωνική πυραμίδα MABCD

με κορυφή το σημείο

οι πλευρές της βάσης έχουν μήκος 6 και οι παράπλευρες ακμές μήκος ίσο με 12. Να βρείτε το εμβαδόν τομής της πυραμίδας με το επίπεδο που διέρχεται από το σημείο

και το μέσο της ακμής

και είναι παράλληλο με την ευθεία

.

C3. Να λύσετε το σύστημα των ανισώσεων

$\displaystyle{ \log_{3-x} \frac{x+4}{(x-3)^{2}} \geq -2}$ ,

$\displaystyle{ x^{3}+6x^{2} + \frac{21x^{2}+3x-12}{x-4} \leq 3 }$ .

C4. Κύκλοι με ακτίνες

και

και κέντρα $O_{1}$ και $O_{2}$ αντίστοιχα εφάπτονται στο σημείο

. Ευθεία που διέρχεται από το σημείο

τέμνει σε ένα δευτερο σημείο

τον μικρότερο κύκλο και σε σημείο

τον μεγαλύτερο. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $BCO_{2}$ , αν $\angle ABO_{1} = 30^0$ .

C5. Να βρείτε όλες τις τιμές του

, για τις οποίες η εξίσωση

$\displaystyle{ ax+ \sqrt{-7 -8x -x^{2}} = 2a+3 }$

έχει μοναδική ρίζα.

C6. Θεωρούμε (σκέφτομαστε) κάποιους φυσικούς αριθμούς (όχι απαραίτητα διαφορετικούς). Αυτοί οι αριθμοί και όλα τα δυνατά αθροίσματά τους ( ανά δύο, ανα τρία κτλ.) γράφονται στο πίνακα κατά αύξουσα σειρά. Αν κάποιος αριθμός

, που έχει γραφτεί στο πίνακα, επαναλαμβάνεται κάποσες φορές, τότε στον πίνακα παραμένει μόνο ένας τέτοιος

και οι υπόλοιποι αριθμοί που ισούνται με το

σβήνονται. Για παράδειγμα αν σκεφτήκαμε τους αριθμούς 1,3,3,4

, τότε στον πίνακα θα είναι γραμμένοι οι αριθμοί 1,3,4,5,6,7,8,10,11

.

α) Να βρείτε παράδειγμα τέτοιων αριθμών ώστε στο πίνακα να γραφτούν οι αριθμοί 2,4,6,8

β) Υπάρχει άραγε παράδειγμα τέτοιων αριθμών ώστε στον πίνακα να έχουμε τους αριθμούς 1,3,4,5,6,9,10,11,12,13,14,17,18,19,20,22

;

γ) Βρείτε όλα τα παραδείγματα αριθμών που μπορούμε να σκεφτούμε για τους οποίους στον πίνακα θα γραφτούν οι αριθμοί
9,10,11,19,20,21,22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52

.

Κάποια πληροφοριακά στοιχεία για τον τρόπο εξέτασης και βαθμολόγησης.

Υγ1. Δεν υπάρχουν θέματα Α ομάδας στην εξέταση των μαθηματικών. Α ομάδας είναι θέματα πολλαπλής επιλογής που χρησιμοποιούνται σε άλλα μαθήματα. Χρόνος εξέτασης 235 λεπτά.

Υγ2. Σε κάθε θεμα της Β ομάδας πρέπει να δωθεί μόνο το τελικό αποτέλεσμα. Στα θέματα αυτά αντιστοιχεί ένα 1 μόριο ανά θέμα. Δηλαδή για την συγκεκριμένη εξέταση 14 μόρια συνολικά.

Στα θέματα C1, C2 αντιστοιχούν 2 μόρια στο καθένα, στα C3,C4 αντιστοιχούν 3 μόρια στο καθενα και στα C5,C6 4 μόρια στο καθένα. Το πόσα θέματα Β ομάδας και πόσα C ομάδας θα υπάρχουν μπορεί να μεταβάλεται ανά χρονιά. Συνήθως είναι 12-15 Β όμαδας και 6-7 C Ομάδας. Τα παραπάνω μόρια ονομάζονται πρωτεύοντα μόρια (ΠΜ). Σύνολο για αυτή τη χρονιά 32 πρωτεύοντα μόρια.

Υγ3. Για να έχει ο εξεταζόμενος την δυνατότητα να συμμετάσχει στην διαδικασία εισαγωγής σε πανεπιστήμιο θα πρέπει να έχει πάρει κάποιο ελάχιστο αριθμό μορίων(βάση). Ο αριθμός αυτός μεταβάλεται κάθε χρονιά και εξαρτάται από τα στατιστικά αποτέλεσματα όλων των εξεταζόμενων, από τα αποτελεσματα προηγούμενων χρονιών, από τις εισηγήσεις των επιτροπών θεμάτων για την δυσκολία τους και την κατανομή των μορίων ανά γνωστικό αντικέιμενο( Γεωμετρία,Άλγεβρα, Ανάλυση, κτλ). Η διαδικασία αυτή γίνεται από ειδικό λογισμικό.

Με την παραπάνω διαδικασία υπολογίζονται δυο όρια πρωτεύοντων μορίων, το πρώτο ΠΜ1 αντιστοιχεί σε αυτό που καλείτε στοιχειώδης γνώση μαθηματικών. Το δεύτερο ΠΜ2 είναι το όριο που αντιστοιχεί στην ικανοποιητική γνώση των μαθηματικών. Με δεδομένο τα παραπάνω όρια γίνεται η αντιστοίχηση των μορίων στα 100. Μηδέν πρωτεύοντα -> 0/100, 32 πρωτεύοντα μόρια -> 100/100. Η αντιστοίχηση δεν είναι γραμμική αλλά κατά τμήματα γραμμική ανάμεσα στα παραπάνω όρια. Με μεγαλύτερη κλίση μέχρι το ΠΜ1 και μετά το ΠΜ2 και μικρότερη κλίση μεταξύ του ΠΜ1 και ΠΜ2. μεταξύ των παραπάνω σημείων η αντιστοίχηση είναι γραμμική στο πλησέστερο ακέραιο.

Για την συγκεκριμένη χρονιά τα πρωτεύοντα μόρια της βάσης ΠΜ1 ήταν 5 και αντιστοιχούσαν σε 24/100.
Για το ΠΜ2 ήταν 15 και αντιστοιχούσαν σε 63/100.

Υγ4. Οι επιδώσεις στα παραπάνω θέματα διαμορφώθηκαν ως εξής:

0-10: 3,5%;
11-20: 2,7%;
21-30: 10,5%;
31-40: 18,6%;
41-50: 13%;
51-60: 26,4%;
61-70: 17,3%;
71-80: 5,1%;
81-90: 2,2%;
91-100: 0,7%.

ealexiou · #2

Al.Koutsouridis έγραψε:Παρακάτω είναι τα θέματα απο την εξέταση στα μαθηματικά για το 2013 στη Ρωσία. Το αντίστοιχο των πανελληνίων στην Ελλάδα.
Τα συγκεκριμένα είναι από τις εξετάσεις Ιουλίου της κεντρικής ζώνης ώρας. Προς το παρόν έβαλα μόνο τα θέματα ανάπτυξης. Όταν βρω χρόνο θα βάλω και τις πρώτες 14 ερωτήσεις που θέλουν όμως μόνο αριθμητικό αποτέλεσμα.

C4. Κύκλοι με ακτίνες και και κέντρα $O_{1}$ και $O_{2}$ αντίστοιχα εφάπτονται στο σημείο . Ευθεία που διέρχεται από το σημείο τέμνει σε ένα δευτερο σημείο τον μικρότερο κύκλο και σε σημείο τον μεγαλύτερο. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $BCO_{2}$ , αν $\angle ABO_{1} = 30^0$ .

: Ρωσία 2013 -C4.png (25.01 KiB) Προβλήθηκε 3906 φορές

#3

Al.Koutsouridis έγραψε:Παρακάτω είναι τα θέματα απο την εξέταση στα μαθηματικά για το 2013 στη Ρωσία. Το αντίστοιχο των πανελληνίων στην Ελλάδα.
Τα συγκεκριμένα είναι από τις εξετάσεις Ιουλίου της κεντρικής ζώνης ώρας. Προς το παρόν έβαλα μόνο τα θέματα ανάπτυξης. Όταν βρω χρόνο θα βάλω και τις πρώτες 14 ερωτήσεις που θέλουν όμως μόνο αριθμητικό αποτέλεσμα.

C1. α) Να λύσετε την εξίσωση

$\displaystyle{15^{\cos x}= 3^{\cos x} 5^{\sin x} }$ .

β) Να βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης στο διάστημα $\displaystyle{ [5 \pi , \frac{13 \pi}{2}] }$ .

Καλημέρα.

α) Η εξίσωση γράφεται: $\displaystyle{{3^{\cos x}}{5^{\cos x}} = {3^{\cos x}}{5^{\sin x}} \Leftrightarrow {5^{\cos x}} = {5^{\sin x}} \Leftrightarrow \sin x = \cos x \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\tan x = 1 \Leftrightarrow x = k\pi + \frac{\pi }{4},k \in Z}$

β) $\displaystyle{5\pi \le k\pi + \frac{\pi }{4} \le \frac{{13\pi }}{2} \Leftrightarrow 5 \le k + \frac{1}{4} \le \frac{{13}}{2} \Leftrightarrow \frac{{19}}{4} \le k \le \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow k = 5 \vee k = 6}$

Άρα οι ζητούμενες λύσεις είναι $\boxed{{x_1} = \frac{{21\pi }}{4},{x_2} = \frac{{25\pi }}{4}}$

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: C3. Να λύσετε το σύστημα των ανισώσεων

$\displaystyle{ \log_{3-x} \frac{x+4}{(x-3)^{2}} \geq -2}$ ,

$\displaystyle{ x^{3}+6x^{2} + \frac{21x^{2}+3x-12}{x-4} \leq 3 }$ .

Για την πρώτη ανίσωση έχουμε τους περιορισμούς:
$\displaystyle{3 - x > 0,3 - x \ne 1,x + 4 > 0 \Rightarrow }$ $\boxed{x \in ( - 4,2) \cup (2,3)}$

$\displaystyle{{\log _{3 - x}}\frac{{x + 4}}{{{{(x - 3)}^2}}} \ge - 2 \Leftrightarrow {\log _{3 - x}}(x + 4) - {\log _{3 - x}}{(3 - x)^2} \ge - 2 \Leftrightarrow }$

a) Αν 3-x>1

, $\displaystyle{{\log _{3 - x}}(x + 4) \ge 0 \Leftrightarrow x + 4 \ge 1 \Leftrightarrow x \ge - 3}$ και x<2

b) Αν

, τότε προκύπτει ότι x>2

και $\displaystyle{x \le - 3}$ που είναι άτοπο.

Τελικά έχουμε: $\boxed{x \in [ - 3,2)}$

Για $\displaystyle{x \ne 4}$ , η δεύτερη ανίσωση γράφεται:
$\displaystyle{{x^3} + 6{x^2} + \frac{{21{x^2}}}{{x - 4}} + 3 \le 3 \Leftrightarrow \frac{{{x^4} + 2{x^3} - 3{x^2}}}{{x - 4}} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}(x - 1)(x + 3)}}{{x - 4}} \le 0 \Leftrightarrow }$

$\boxed{x \in ( - \infty , - 3] \cup \left\{ 0 \right\} \cup [1,4)}$

Συναληθεύοντας τις δύο ανισώσεις βρίσκουμε: $\boxed{x \in [1,2) \cup \left\{ { - 3,0} \right\}}$

edit: Διόρθωσα κάποιες αβλεψίες. Ευχαριστώ τον Αλέξανδρο (Al. Koutsouridis) για τις επισημάνσεις.

#5

Al.Koutsouridis έγραψε:
C4. Κύκλοι με ακτίνες και και κέντρα $O_{1}$ και $O_{2}$ αντίστοιχα εφάπτονται στο σημείο . Ευθεία που διέρχεται από το σημείο τέμνει σε ένα δευτερο σημείο τον μικρότερο κύκλο και σε σημείο τον μεγαλύτερο. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $BCO_{2}$ , αν $\angle ABO_{1} = 30^0$ .

: Ρωσία 2013.png (20.63 KiB) Προβλήθηκε 3837 φορές

Από νόμο συνημιτόνων στο AO_1B

: $\displaystyle{A{B^2} = 8(1 - \cos {120^0}) = 12 \Leftrightarrow AB = 2\sqrt 3 }$

$\displaystyle{(BC{O_2}) = (AB{O_2}) + (A{O_2}C) = \frac{1}{2}3 \cdot 2\sqrt 3 \sin {150^0} + \frac{1}{2}3 \cdot 3\sin {120^0} \Leftrightarrow }$

$\boxed{(BC{O_2}) = \frac{{15\sqrt 3 }}{4}}$

Α.Αποστόλου · #6

Al.Koutsouridis έγραψε:Παρακάτω είναι τα θέματα απο την εξέταση στα μαθηματικά για το 2013 στη Ρωσία. Το αντίστοιχο των πανελληνίων στην Ελλάδα.
Τα συγκεκριμένα είναι από τις εξετάσεις Ιουλίου της κεντρικής ζώνης ώρας. Προς το παρόν έβαλα μόνο τα θέματα ανάπτυξης. Όταν βρω χρόνο θα βάλω και τις πρώτες 14 ερωτήσεις που θέλουν όμως μόνο αριθμητικό αποτέλεσμα.

C4. Κύκλοι με ακτίνες και και κέντρα $O_{1}$ και $O_{2}$ αντίστοιχα εφάπτονται στο σημείο . Ευθεία που διέρχεται από το σημείο τέμνει σε ένα δευτερο σημείο τον μικρότερο κύκλο και σε σημείο τον μεγαλύτερο. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $BCO_{2}$ , αν $\angle ABO_{1} = 30^0$ .

(στο ίδιο σχήμα με τον κ. Ευθύμη)

Τα τρίγωνα B O_1 A, C O_2 A

είναι ισοσκελή με πλευρές αντίστοιχα r_1=2, r_2=3

και προσκείμενες στην βάση 30^0

$(BCO_{2}) = [(BO_{1}O_{2}) - (BO_{1}A) ]+ (CO_{2}A)$

$(BCO_{2}) = \frac{\sin {120^0}}{2}[r_{1}(r_{1}+r_{2}) - r_{1}^{2}+ r_{2}^{2}]$
αντικατάσταση και προκύπτει
$(BCO_{2}) = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

*τώρα βλέπω ότι όλοι πιάσαμε το ίδιο ζήτημα!

Al.Koutsouridis · #7

Για το θέμα C4 επειδή δεν αναφέρει αν εφάπτονται εξωτερικά ή εσωτερικά οι κύκλοι θα πρέπει να εξεταστούν και οι δυο περιπτώσεις. Νομίζω είναι κάτι σαν "παγίδα".

Α.Αποστόλου · #8

Al.Koutsouridis έγραψε:Για το θέμα C4 επειδή δεν αναφέρει αν εφάπτονται εξωτερικά ή εσωτερικά οι κύκλοι θα πρέπει να εξεταστούν και οι δυο περιπτώσεις. Νομίζω είναι κάτι σαν "παγίδα".

χμχμχμχμ... και έλεγα πολύ εύκολα δεν την λύσαμε αυτή;

Σε αυτή τη περίπτωση έχουμε $(BO_{2}C)= (AO_{2}C) -(AO_{1}B)-(O_{1}BO_{2})$

(διόρθωσα την γωνία)
$(BO_{2}C)= \frac{\sin{120^{0}}}{2}[r_{2}^{2} -r_{1}^{2}-r_{1}(r_{2}-r_{1})]$

Και προκύπτει $(BO_{2}C)= \frac{3\sqrt{3}}{4}$

#9

Al.Koutsouridis έγραψε:Για το θέμα C4 επειδή δεν αναφέρει αν εφάπτονται εξωτερικά ή εσωτερικά οι κύκλοι θα πρέπει να εξεταστούν και οι δυο περιπτώσεις. Νομίζω είναι κάτι σαν "παγίδα".

Έχεις δίκιο!

: Ρωσία 2013.II.png (15.66 KiB) Προβλήθηκε 3801 φορές

Ίδια λύση, μόνο που είναι $\displaystyle{(BC{O_2}) = (A{O_2}C) - (A{O_2}B) = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}}$

#10

Al.Koutsouridis έγραψε: C5. Να βρείτε όλες τις τιμές του , για τις οποίες η εξίσωση

$\displaystyle{ ax+ \sqrt{-7 -8x -x^{2}} = 2a+3 }$

έχει μοναδική ρίζα.

Προτείνω μια σκέψη:

Έχουμε $\displaystyle{ \sqrt{-7 -8x -x^{2}} =-ax+ 2a+3 }$

Για α=0 η εξίσωση (διπλή) λύση χ=-4. Ανάλογα με το πρόσημο του α, το χ πρέπει να είναι άλλοτε μεγαλύτερο και άλλοτε μικρότερο από το κλάσμα $\dfrac{2a+3}{a}$ .

Υψώνουμε στο τετράγωνο, κάνουμε πράξεις και καταλήγουμε σε δευτεροβάθμια εξίσωση f(x)=0

με συντελεστή μεγιστοβάθμιου όρου το a^2+1.

H εξίσωση αυτή πρέπει να έχει ρίζες και μόνο η μία να είναι δεκτή, δηλαδή πρέπει το κλάσμα $\dfrac{2a+3}{a}$ να κείται στο διάστημα των ριζών της. Επομένως $f\left(\dfrac{2a+3}{a} \right)<0$ , που θα δώσει 3a^2+4a+1<0

, και διευθετούμε τις περιπτώσεις με $f\left(\dfrac{2a+3}{a} \right)=0$ κ.λπ.

ealexiou · #11

Al.Koutsouridis έγραψε:
C6. Θεωρούμε (σκεφτόμαστε) κάποιους φυσικούς αριθμούς (όχι απαραίτητα διαφορετικούς). Αυτοί οι αριθμοί και όλα τα δυνατά αθροίσματά τους ( ανά δύο, ανά τρία κτλ.) γράφονται στο πίνακα κατά αύξουσα σειρά. Αν κάποιος αριθμός , που έχει γραφτεί στο πίνακα, επαναλαμβάνεται κάμποσες φορές, τότε στον πίνακα παραμένει μόνο ένας τέτοιος και οι υπόλοιποι αριθμοί που ισούνται με το σβήνονται. Για παράδειγμα αν σκεφτήκαμε τους αριθμούς , τότε στον πίνακα θα είναι γραμμένοι οι αριθμοί .

α) Να βρείτε παράδειγμα τέτοιων αριθμών ώστε στο πίνακα να γραφτούν οι αριθμοί

β) Υπάρχει άραγε παράδειγμα τέτοιων αριθμών ώστε στον πίνακα να έχουμε τους αριθμούς ;

γ) Βρείτε όλα τα παραδείγματα αριθμών που μπορούμε να σκεφτούμε για τους οποίους στον πίνακα θα γραφτούν οι αριθμοί
.

Για το α)
Σκέφτομαι τους αριθμούς 2,2,2,2

και προσθέτοντας ανά δύο τρείς, τέσσερις αριθμούς φτιάχνω τους 4,6,8

ή σκέφτομαι τους 2,2,4

και φτιάχνω τους 2+2=4,2+4=6,2+2+4=8

Για το γ)
Σκέφτομαι τους αριθμούς (9,10,11,11,11)

, και προσθέτοντας ανά δύο, τρεις κλπ φτιάχνω όλα τα δυνατά αθροίσματα (19,20,21,22,30,31,32,33,41,42,43,52)

όπως παρακάτω:

9+10=19

(τρις)

Για το (β) Δεν γίνεται, αλλά επειδή έχει αρκετή περιπτωσιολογία το αφήνω προς το παρόν τουλάχιστον.

ealexiou · #12

Al.Koutsouridis έγραψε:
C2. Στην κανονική τετραγωνική πυραμίδα με κορυφή το σημείο οι πλευρές της βάσης έχουν μήκος 6 και οι παράπλευρες ακμές μήκος ίσο με 12. Να βρείτε το εμβαδόν τομής της πυραμίδας με το επίπεδο που διέρχεται από το σημείο και το μέσο της ακμής και είναι παράλληλο με την ευθεία .

: Ρωσία 2013 - C2(Κάτοψη).png (16.16 KiB) Προβλήθηκε 3621 φορές

: Ρωσία 2013 - C2(όψη-τομή).png (11.74 KiB) Προβλήθηκε 3621 φορές

: Ρωσία 2013 - C2(Κάτοψη στέγης).png (17.75 KiB) Προβλήθηκε 3455 φορές

edit: Προσθέτω την επεξήγηση και τους υπόλοιπους υπολογισμούς

Το επίπεδο που περνάει από το σημείο

, το μέσον

της ακμής

και είναι παράλληλο της διαγωνίου

της τετραγώνου ABCD

τέμνει και τις ακμές

και

στα σημεία

και

αντίστοιχα και η τομή του επιπέδου αυτού και της πυραμίδας είναι προφανώς τετράπλευρο και μάλιστα λόγω της κανονικότητας της πυραμίδας και της παραλληλίας του επιπέδου προς τηn

η διαγώνιος του

είναι παράλληλη της

και κάθετη προς την άλλη διαγώνιο

, δηλαδή το τετράπλευρο CTNS

είναι χαρταετός Από τους επιμέρους -και εύκολους - υπολογισμούς που φαίνονται στα σχέδια μου έχουμε $ST=S'T'=2\sqrt{2}$ και $NC=\sqrt{NN'^2+N'C^2}=$ $\sqrt{\dfrac{63}{2}+(3\sqrt{2}/2+3\sqrt{2})^2}=6\sqrt{2}$ , άρα $\boxed{(CTNS)=\dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}=12}$

edit 2: (Διόρθωση υπολογισμών) Τμήμα $ST=S'T'=\dfrac{2}{3}BD=4\sqrt{2}$ , οπότε $\boxed{(CTNS)=\dfrac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}=24}$

Περισσότερα και πιο αναλυτικά (μαζί με αξονομετρικό σχέδιο) θα γράψω το απόγευμα...

Α.Αποστόλου · #13

Al.Koutsouridis έγραψε: C5. Να βρείτε όλες τις τιμές του , για τις οποίες η εξίσωση

$\displaystyle{ ax+ \sqrt{-7 -8x -x^{2}} = 2a+3 }$

έχει μοναδική ρίζα.

$\displaystyle{ ax+ \sqrt{-7 -8x -x^{2}} = 2a+3 } \Leftrightarrow \displaystyle{ \sqrt{-7 -8x -x^{2}} = -ax + 2a+3 }$

Λόγω περιορισμών από την ρίζα πρέπει $x \in [-7,-1]$

Το αριστερό μέλος παριστάνει ημικύκλιο με κέντρο K(-4,0)

ακτίνας

.
(ηθικός προβληματισμός: δεν μπορώ να αποφασίσω αν κάποιος μου το έδινε να το διορθώσω και το είχε γράψει έτσι "ξερά", τι θα του έλεγα)

Πρέπει το δεξί μέλος να είναι θετικό
έχουμε $\displaystyle{ -7 \leq x \leq -1 \Leftrightarrow -1 \leq \frac{-3}{2-x} \leq -\frac{1}{3}}$
οπότε πρέπει $a > -\frac{1}{3}$

Ενημέρωση: Μετά από υπόδειξη του κ.Ρεκούμη παρατηρώ πως τα έγραψα ανάποδα και δεν έβγαινε νόημα για αυτό ενημερώνω την λύση.

Το δεξί μέλος είναι η ευθεία y= -ax +2a +3

, με $a > -\frac{1}{3}$ .
Κάθε ευθεία αυτής της μορφής διέρχεται από σταθερό σημείο. Εύκολα βρίσκουμε ότι το σημείο αυτό είναι το (2,3)

Επίσης κάθε τέτοια ευθεία τέμνει τον άξονα x'x

στο σημείο $(\frac{2a+3}{a},0), a \neq 0$

Αν $-\frac{1}{3} < a < 0$ (θετική κλίση για την ευθεία)

τότε $\frac{2a+3}{a}= 2+ \frac{3}{a}< 2-9 =-7$
διέρχεται δηλαδή αριστερότερα από το (-7,0)

και αναγκαστικά θα έχει δύο κοινά σημεία με το ημικύκλιο.
(δύο κοινά σημεία διότι ξέρουμε πως διέρχεται και από το σημείο (2,3)

)
Οπότε απορρίπτεται αυτή η περίπτωση.

: 1b.png (5.97 KiB) Προβλήθηκε 3354 φορές

Αν

(1)
(τότε η ευθεία διέρχεται απο το $(\frac{2a+3}{a},0)$ που βρίσκεται -προφανώς-στον θετικό ημιάξονα και η ευθεία έχει αρνητική κλίση - αλλά δεν μας χρειάζονται αυτά)

για κάθε $x\in [-7,-1]$ ισχύει 2-x >0

(2)

Απο τις (1),(2): $a(2-x) >0 \Leftrightarrow a(2-x) +3 > 3$
Δηλαδή δείξαμε ότι κάθε ευθεία y= -ax +2a +3

με

δεν έχει κοινά σημεία με το ημικύκλιο.

: 1c.png (6.68 KiB) Προβλήθηκε 3354 φορές

Αν

τότε έχουμε την ευθεία y=3

που έχει με το ημικύκλιο μοναδικό κοινό σημείο το (-4,3)

Α.Αποστόλου · #14

Al.Koutsouridis έγραψε:
C6. Θεωρούμε (σκεφτόμαστε) κάποιους φυσικούς αριθμούς (όχι απαραίτητα διαφορετικούς). Αυτοί οι αριθμοί και όλα τα δυνατά αθροίσματά τους ( ανά δύο, ανά τρία κτλ.) γράφονται στο πίνακα κατά αύξουσα σειρά. Αν κάποιος αριθμός , που έχει γραφτεί στο πίνακα, επαναλαμβάνεται κάμποσες φορές, τότε στον πίνακα παραμένει μόνο ένας τέτοιος και οι υπόλοιποι αριθμοί που ισούνται με το σβήνονται. Για παράδειγμα αν σκεφτήκαμε τους αριθμούς , τότε στον πίνακα θα είναι γραμμένοι οι αριθμοί .

β) Υπάρχει άραγε παράδειγμα τέτοιων αριθμών ώστε στον πίνακα να έχουμε τους αριθμούς ;

Δεν ξέρω αν κατάλαβα σωστά την άσκηση.

Αν διαλέξουμε 2 άσσους στον πίνακα θα έχουμε το 2. Οπότε επιτρέπεται μια φορά το ένα. Το δύο προφανώς δεν επιλέγεται.
Διαλέγουμε 1,3
μας δίνει τον 4.
Αν διαλέξουμε 1,3,4 μας δίνει και το 7, το οποίο δεν υπάρχει στον πίνακα. Οπότε δεν διαλέγουμε τεσσάρι.
Αν διαλέξουμε 1,3,5
θα μας δώσει 4,6,9 και το 8 που δεν υπάρχει στον πίνακα.
Οπότε δεν γίνεται να συνεχίσουμε.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #15

C2. Στην κανονική τετραγωνική πυραμίδα MABCD με κορυφή το σημείο M οι πλευρές της βάσης έχουν μήκος 6 και οι παράπλευρες ακμές μήκος ίσο με 12. Να βρείτε το εμβαδόν τομής της πυραμίδας με το επίπεδο που διέρχεται από το σημείο C και το μέσο της ακμής MA και είναι παράλληλο με την ευθεία BD.

Εστω N το μέσον της MA. Την AC την βρίσκουμε σαν διαγώνιο του τετραγώνου ABCD.
Από Θ.διαμέσων στο MAC τρίγωνο βρίσκουμε την NC.
Εστω O το κέντρο του τετραγώνου ABCD και K,L τα σημεία τομής του επιπέδου με τις MD,MB αντίστοιχα.
Η τομή των NC MO έστω G βρίσκεται στην τομή των επιπέδων
που ορίζουν τα M A C τα M B D και το ζητούμενο επίπεδο.
Το G είναι βαρύκεντρο των τριγώνων MAC και MBD
Συμπεραίνουμε ότι η KL είναι τα 2/3 της BD.
Αλλά οι είναι NC και KL είναι κάθετες γιατί το επίπεδο είναι κάθετο στο επίπεδο
που ορίζουν τα M A C .
Εύκολα βρίσκουμε (κάνοντας τους υπολογισμούς) ότι το εμβαδό είναι 24
(συμφωνώ με τον Ευθήμη ο οποίος έχει κάνει και τους υπολογισμούς )

ealexiou · #16

ealexiou έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε:
C2. Στην κανονική τετραγωνική πυραμίδα με κορυφή το σημείο οι πλευρές της βάσης έχουν μήκος 6 και οι παράπλευρες ακμές μήκος ίσο με 12. Να βρείτε το εμβαδόν τομής της πυραμίδας με το επίπεδο που διέρχεται από το σημείο και το μέσο της ακμής και είναι παράλληλο με την ευθεία .
edit: Προσθέτω την επεξήγηση και τους υπόλοιπους υπολογισμούς

Το επίπεδο που περνάει από το σημείο , το μέσον της ακμής και είναι παράλληλο της διαγωνίου της τετραγώνου τέμνει και τις ακμές και στα σημεία και αντίστοιχα και η τομή του επιπέδου αυτού και της πυραμίδας είναι προφανώς τετράπλευρο και μάλιστα λόγω της κανονικότητας της πυραμίδας και της παραλληλίας του επιπέδου προς τηn η διαγώνιος του είναι παράλληλη της και κάθετη προς την άλλη διαγώνιο , δηλαδή το τετράπλευρο είναι χαρταετός Από τους επιμέρους -και εύκολους - υπολογισμούς που φαίνονται στα σχέδια μου έχουμε $ST=S'T'=2\sqrt{2}$ και $NC=\sqrt{NN'^2+N'C^2}=$ $\sqrt{\dfrac{63}{2}+(3\sqrt{2}/2+3\sqrt{2})^2}=6\sqrt{2}$ , άρα $\boxed{(CTNS)=\dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}=12}$

edit 2: (Διόρθωση υπολογισμών) Τμήμα $ST=S'T'=\dfrac{2}{3}BD=4\sqrt{2}$ , οπότε $\boxed{(CTNS)=\dfrac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}=24}$

: Ρωσία 2013 - C2(Αξονομετρικό).png (25.72 KiB) Προβλήθηκε 3444 φορές

Προσθέτω, για καλύτερη παρουσίαση του θέματος, το αξονομετρικό της πυραμίδας όπου φαίνεται η τομή CTNS

του επιπέδου του θέματος με την πυραμίδα $M\ ABCD$ , η προβολή της τομής CT'N'S'

στο επίπεδο της βάσης και τα διάφορα μεγέθη που χρειάζονται για την εύρεση του εμβαδού, τα οποία ήδη έχουν υπολογισθεί (δεν ήταν και κάτι δύσκολο

).

Al.Koutsouridis · #17

Στην αρχική ανάρτηση ανέβασα και τα εύκολα θέματα της Β ομάδας καθώς και κάποιες πληροφορίες στο τέλος για τον τρόπο εξέτασης και βαθμολόγησης.

Γενικά πιστεύω είναι καλά θέματα για να εξετάσουμε αν ένας μαθητής γνωρίζει το αντικείμενο των μαθηματικών που διδάσκεται στο σχολείο.

(Ρωσία 2013) Εννιαία Κρατική Εξέταση Στα Μαθηματικά.

(Ρωσία 2013) Εννιαία Κρατική Εξέταση Στα Μαθηματικά.

Re: (Ρωσία 2013) Εννιαία Κρατική Εξέταση Στα Μαθηματικά.

Re: (Ρωσία 2013) Εννιαία Κρατική Εξέταση Στα Μαθηματικά.

Re: (Ρωσία 2013) Εννιαία Κρατική Εξέταση Στα Μαθηματικά.

Re: (Ρωσία 2013) Εννιαία Κρατική Εξέταση Στα Μαθηματικά.

Re: (Ρωσία 2013) Εννιαία Κρατική Εξέταση Στα Μαθηματικά.

Re: (Ρωσία 2013) Εννιαία Κρατική Εξέταση Στα Μαθηματικά.

Re: (Ρωσία 2013) Εννιαία Κρατική Εξέταση Στα Μαθηματικά.

Re: (Ρωσία 2013) Εννιαία Κρατική Εξέταση Στα Μαθηματικά.

Re: (Ρωσία 2013) Εννιαία Κρατική Εξέταση Στα Μαθηματικά.

Re: (Ρωσία 2013) Εννιαία Κρατική Εξέταση Στα Μαθηματικά.

Re: (Ρωσία 2013) Εννιαία Κρατική Εξέταση Στα Μαθηματικά.

Re: (Ρωσία 2013) Εννιαία Κρατική Εξέταση Στα Μαθηματικά.

Re: (Ρωσία 2013) Εννιαία Κρατική Εξέταση Στα Μαθηματικά.

Re: (Ρωσία 2013) Εννιαία Κρατική Εξέταση Στα Μαθηματικά.

Re: (Ρωσία 2013) Εννιαία Κρατική Εξέταση Στα Μαθηματικά.

Re: (Ρωσία 2013) Εννιαία Κρατική Εξέταση Στα Μαθηματικά.

Μέλη σε σύνδεση