Ομοιόμορφη σύγκλιση

Καραδήμας · #1

Μας δίνουν $f:{\mathbb R}\to {\mathbb R}$ συνεχή. Για κάθε $n\in {\mathbb N}$ ορίζουμε $f_n:{\mathbb R}\to {\mathbb R}$ με $\displaystyle{f_n(x)=\int_0^{\pi /2}n\cos t \sin^nt\,f(tx)\,dt.}$ Να εξετάσουμε αν η $\{ f_n\}$ συγκλίνει ομοιόμορφα (στο ${\mathbb R}$ , στα διαστήματα, στην ανάγκη κατά σημείο).

#2

Καραδήμας έγραψε:Μας δίνουν $f:{\mathbb R}\to {\mathbb R}$ συνεχή. Για κάθε $n\in {\mathbb N}$ ορίζουμε $f_n:{\mathbb R}\to {\mathbb R}$ με $\displaystyle{f_n(x)=\int_0^{\pi /2}n\cos t \sin^nt\,f(tx)\,dt.}$ Να εξετάσουμε αν η $\{ f_n\}$ συγκλίνει ομοιόμορφα (στο ${\mathbb R}$ , στα διαστήματα, στην ανάγκη κατά σημείο).

Απάντηση: η $\{ f_n\}$ συγκλίνει κατά σημείο στην $f(\frac{\pi x}{2}).$

Tα κύρια βήματα:

α) Αφού $\int_0^{\pi/2} n \cos t \sin^nt dt = \frac {n}{n+1} \sin^{n+1}(t)\left|\begin{matrix} \pi/2\\ \\ 0 \end{matrix} = \frac{n}{n+1} \rightarrow 1$

αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle{\int_0^{\pi /2}n\cos t \sin^nt\,(f(tx)- f(\frac{\pi}{2}x))\,dt \rightarrow 0 \,\, (*)}$

β) Έστω ε > 0. Επιλέγουμε από την συνέχεια της f ένα δ > 0 τέτοιο ώστε $|t - \pi/2| < \delta \Rightarrow |f(tx) - f(\frac{\pi}{2}x)| < \epsilon$
Κόβουμε το ολοκλήρωμα (*) σε ολοκληρώματα στο $[0, \frac {\pi}{2} - \delta] \,$ και στο $[ \frac {\pi}{2} - \delta, \frac {\pi}{2}] \,$

γ) Για το πρώτο: Αν Μ φράγμα της $|f(tx) - f(\frac{\pi}{2}x)|$ στο $[0, \frac {\pi}{2} - \delta] \,$ , τότε

$\displaystyle{\left |\int_0^{\pi /2- \delta}n\cos t \sin^nt\,(f(tx)- f(\frac{\pi}{2}x))\,dt \right | \le M\int_0^{\pi /2- \delta}n\cos t \sin^nt\,dt = M \frac{n}{n+1} \sin^{n+1} \left (\frac{ \pi}{2} - \delta \right ) \rightarrow 0$
διότι $|\sin \left (\frac{ \pi}{2} - \delta \right ) |< 1$

δ) Για το δεύτερο:

$\displaystyle{\left |\int_{\pi /2- \delta}^ {\pi /2}n\cos t \sin^nt\,(f(tx)- f(\frac{\pi}{2}x))\,dt \right | \le \epsilon \int_{\pi /2- \delta}^{\pi /2}n\cos t \sin^nt\,dt = \epsilon \frac{n}{n+1} \left ( 1 -\sin^{n+1} \left (\frac{ \pi}{2} - \delta) \right ) \le 2 \epsilon$

Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Καραδήμας · #3

Ωραιότατο, αν δεν κάνω λάθος το επιχείρημα δίνει ομοιόμορφη σύγκλιση στα συμπαγή, αφού για κάθε κλειστό και φραγμένο διάστημα $I\subset {\mathbb R}$ η συνάρτηση $F:I\times [0,\pi /2]\to {\mathbb R}$ με F(x,t)=f(tx)

είναι συνεχής και κατ' επέκταση φραγμένη: το

στην απόδειξη είναι M(I)

.

Ομοιόμορφη σύγκλιση

Ομοιόμορφη σύγκλιση

Re: Ομοιόμορφη σύγκλιση

Re: Ομοιόμορφη σύγκλιση

Μέλη σε σύνδεση