Ψηφία σε κορυφές 45γωνου

#1

Δίνεται ένα κανονικό 45γωνο. Μπορούμε να τοποθετήσουμε σε κάθε κορυφή ένα από τα ψηφία $0,1,2,\ldots,9$ με τέτοιο τρόπο ώστε για κάθε ζεύγος διαφορετικών ψηφίων να υπάρχει μια πλευρά του πολυγώνου ώστε οι κορυφές της να έχουν αυτά τα δύο ψηφία;

Πηγή: Σοβιετική Ένωση 1963

#2

Έστω ότι μια τέτοια τοποθέτηση είναι δυνατή. Θεωρούμε τυχαίο $\displaystyle{k \in \left\{ {0,1,2, \ldots ,9} \right\}}$ . Τότε, υπάρχουν

ζεύγη $\displaystyle{\left\{ {k,\ell } \right\}}$ με $\displaystyle{\ell \in \left\{ {0,1,2, \ldots ,9} \right\} \setminus \left\{ k \right\},}$ καθένα από τα οποία τοποθετείται στα άκρα μιας πλευράς του

-γώνου. Άρα, το

πρέπει να έχει τοποθετηθεί σε τουλάχιστον

κορυφές του

-γώνου. Αλλά τότε για τα

ψηφία του συνόλου $\displaystyle{\left\{ {0,1,2, \ldots ,9} \right\}}$ θα χρειαζόμασταν

κορυφές, πράγμα άτοπο. Επομένως, δεν υπάρχει τοποθέτηση που να ικανοποιεί τη συνθήκη του προβλήματος.

#3

Ας δούμε και την εξής γενίκευση:

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη φυσικών (n,m)

ώστε να μπορούμε να τοποθετήσουμε σε κάθε κορυφή ενός κανονικού

-γώνου ένα από

σύμβολα με τέτοιο τρόπο ώστε για κάθε ζεύγος διαφορετικών συμβόλων να υπάρχει ακριβώς μία πλευρά του πολυγώνου ώστε οι κορυφές της να έχουν αυτά τα δύο σύμβολα.

Ψηφία σε κορυφές 45γωνου

Ψηφία σε κορυφές 45γωνου

Re: Ψηφία σε κορυφές 45γωνου

Re: Ψηφία σε κορυφές 45γωνου

Μέλη σε σύνδεση