Ένα ολοκλήρωμα!

#1

Να υπολογισθεί το

$\displaystyle{ \rm J=\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{\arctan x}{x}dx.}$

Tolaso J Kos · #2

matha έγραψε:Να υπολογισθεί το

$\displaystyle{ \rm J=\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{\arctan x}{x}dx.}$

Γεια σου Θάνο,

Γενικότερα, για a>0

έχουμε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{1/a}^{a}\frac{\arctan x}{x}\, {\rm d}x &\;\overset{u=1/x}{=\! =\! =\! =\!} \int_{1/a}^{a}\frac{\arctan \frac{1}{x}}{1/x}\cdot \frac{1}{x^2}\, {\rm d}x \\ &= \int_{1/a}^{a}\frac{\frac{\pi}{2}-\arctan x}{x}\, {\rm d}x\\ &=\frac{\pi}{2}\int_{1/a}^{a}\frac{{\rm d}x}{x}- \int_{1/a}^{a}\frac{\arctan x}{x}\, {\rm d}x \\ &=\pi \ln a - \int_{1/a}^{a}\frac{\arctan x}{x}\, {\rm d}x \end{aligned}}$ Οπότε:
$\displaystyle{\int_{1/a}^{a}\frac{\arctan x}{x}\, {\rm d}x = \frac{\pi \ln a}{2} \overset{a=2}{=\! =\! =\! \Rightarrow}\int_{1/2}^{2}\frac{\arctan x}{x}\, {\rm d}x = \frac{\pi \ln 2}{2}}$

Ένα ολοκλήρωμα!

Ένα ολοκλήρωμα!

Re: Ένα ολοκλήρωμα!

Μέλη σε σύνδεση