Ανίσωση με παράμετρο

maiksoul · #1

Να λυθεί στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ η ανίσωση:

$\displaystyle{\frac{x}{a+1}\geq e^{x(\frac{1}{e}-1)+e^{\frac{x}{e}}}}$

για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου $a\geq0$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

maiksoul έγραψε:Να λυθεί στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ η ανίσωση:

$\displaystyle{\frac{x}{a+1}\geq e^{x(\frac{1}{e}-1)+e^{\frac{x}{e}}}}$

για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου $a\geq0$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Πρόκειται για προσωπική κατασκευή

...Καλησπέρα

... με μιά αντιμετώπιση στην ωραία δημιουργία του Μιχάλη

Προφανώς για $x\le 0$ είναι αδύνατη άρα αναγκαία πρέπει x>0

και από την $\displaystyle{\frac{x}{a+1}\geq e^{x(\frac{1}{e}-1)+e^{\frac{x}{e}}}}$

έχουμε ισοδύναμα

$\ln \frac{x}{a+1}\ge \ln {{e}^{x(\frac{1}{e}-1)+{{e}^{\frac{x}{e}}}}}\Leftrightarrow \ln x-\ln (\alpha +1)\ge (\frac{1}{e}-1)x+{{e}^{\frac{x}{e}}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \ln x-(\frac{1}{e}-1)x-{{e}^{\frac{x}{e}}}\ge \ln (\alpha +1)$ (1)

Θεωρώντας τώρα την συνάρτηση $f(x)=\ln x-(\frac{1}{e}-1)x-{{e}^{\frac{x}{e}}},\,\,\,x>0$ είναι παραγωγίσιμη με

${f}'(x)=\frac{1}{x}-(\frac{1}{e}-1)-\frac{1}{e}{{e}^{\frac{x}{e}}},\,\,\,x>0$ και {f}'(e)=0

και επειδή

${f}''(x)=-\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{{{e}^{2}}}{{e}^{\frac{x}{e}}}<0,\,\,\,x>0$ η {f}'

είναι γνήσια φθίνουσα στο $(0,\,\,+\infty )$

άρα για $0<x<e\Rightarrow {f}'(x)>{f}'(e)=0$ άρα η

είναι γνήσια αύξουσα στο $(0,\,\,e]$ και για

$x>e\Rightarrow {f}'(x)<{f}'(e)=0$ άρα η

είναι γνήσια φθίνουσα στο $[\,e,\,\,\,+\infty )$

και επομένως η

έχει μέγιστη τιμή την f(e)=0

δηλαδή $f(x)\le f(e)=0,\,\,\,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$ (2)

Τώρα αν $\ln (\alpha +1)>0\Leftrightarrow \alpha +1>1\Leftrightarrow \alpha >0$ η (1) είναι αδύνατη.

Αν $\ln (\alpha +1)\le 0\Leftrightarrow \alpha \le 0$ και επειδή $a\geq0$ για a=0

η (1) γίνεται

$\Leftrightarrow \ln x-(\frac{1}{e}-1)x-{{e}^{\frac{x}{e}}}\ge 0\Leftrightarrow f(x)\ge 0$

και λόγω (2) ισοδύναμα $f(x)=0\Leftrightarrow x=e$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

maiksoul · #3

Βασίλη σε ευχαριστώ για την ενασχόληση. Να πω ότι η λύση σου είναι για σεμινάριο!

Δίνω ακόμα μια. Ελπίζω να είναι και αυτή κάπως κομψή.

Αν $x\leq0$ τότε το αριστερό μέλος είναι αρνητικό ή μηδέν , ενώ το δεξί είναι θετικό.Επομένως η ανίσώση τότε δεν έχει ρίζες.

Αν x>0

τότε τα μέλη είναι θετικά και η ανίσωση γράφεται ισοδύναμα:

$\displaystyle{lnx-ln(a+1)=x/e-x+e^{\frac{x}{e}}\Leftrightarrow lnx-\frac{x}{e}+x-e^{\frac{x}{e}}-ln(a+1) =0\Leftrightarrow}$

$lnx-lne^{\frac{x}{e}} +x-e^{\frac{x}{e}}-ln(a+1)=0\;\;\;\;(*)$

έχουμε τώρα πως :

$\displaystyle{a\geq 0\Leftrightarrow -ln(a+1)\leq ln1=0}$ με την ισότητα να συμβαίνει για $\displaystyle{a=0}$

Οι αριθμοί $x-e^{\frac{x}{e}}$ και $lnx-lne^{\frac{x}{e}}$ είναι ομόσημοι, ειδικότερα έχουμε:

Αν $f(x)=x-e^{\frac{x}{e}}\;\;\;\;x>0$ τότε

$f'(x)=1-\frac{1}{e}e^\frac{x}{e}$ και $\displaystyle{f'(x)=0\Leftrightarrow x=e \;\;,f'(x)> 0\Leftrightarrow 0< x< e\;\;\;,f'(x)< 0\Leftrightarrow x> e}$

επομένως ισχύει

$\displaystyle{\forall x> 0:f(x)\leq f(e)=0\Leftrightarrow x-e^{\frac{x}{e}}\leq 0}$ με την ισότητα μόνο για x=e

,

άρα και $\displaystyle{lnx-lne^{\frac{x}{e}}\leq 0}$

Επομένως και οι 3 αριθμοί $-ln(a+1)\;\;\;,\;\;x-e^{\frac{x}{e}}\;\;\;lnx-lne^{\frac{x}{e}$ που αποτελούν το πρώτο μέλος της (*)

είναι αρνητικοί ή μηδέν

Συνεπώς η (*) αληθεύει όταν μόνο όλοι είναι

δηλαδή όταν μόνον:

$\displaystyle{x=e\;\;\;\wedge \;\;\;a=0}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

makisman · #4

άλλη μια λύση

για

<

αδύνατη,
για x>0

θέτω

οπότε έχω $\frac{e}{a+1}u \geq e^{u-eu+e^u}$

έστω $f(u)=e^{u-eu+e^u},u>0$
$f'(u)=(1-e+e^u)e^{u-eu+e^u}$
$f''(u)=[(1-e+e^u)^2+e^u]e^{u-eu+e^u}>0$ άρα

κυρτή στο $(0,+\infty)$

η εφαπτόμενη της

στο

είναι η

. Αναζητώντας αυτή που διέρχεται από την αρχή των αξόνων θα έχω $f(k)=kf'(k) \Leftrightarrow 1=k(1-e+e^k)$ .Η τελευταία εύκολα δίνει μοναδική λύση k=1

άρα η εφαπτόμενη είναι η y=eu

οπότε $f(u)\geq eu$

σε συνδυασμό με την αρχική ανισότητα έχω $\frac{e}{a+1}u \geq e^{u-eu+e^u}\geq eu$ .

όμως η ανισότητα $\frac{e}{a+1}u \geq eu$ ισχύει μόνο για a=0

και η αντίστοιχη ισότητα της κυρτότητας ισχύει μόνο για το σημείο επαφής δηλαδη u=1

άρα

.

gradion · #5

H λύση του makisman μεταφέρει μια πιο ισχυρή ανισότητα ,αλλά
η άσκηση ζητάει να λυθεί μια εξίσωση και οχι να αποδείξουμε μια
ανισοισοτητα,ακόμη και αν αποδείξω τις ισότητες .Ετσι δεν μπορω να την δεχτώ.

makisman · #6

gradion έγραψε:H λύση του makisman μεταφέρει μια πιο ισχυρή ανισότητα ,αλλά
η άσκηση ζητάει να λυθεί μια εξίσωση και οχι να αποδείξουμε μια
ανισοισοτητα,ακόμη και αν αποδείξω τις ισότητες .Ετσι δεν μπορω να την δεχτώ.

gradion ,τι ακριβώς δε δέχεσαι ,υπάρχει καποιο λάθος στη λύση ;

Ανίσωση με παράμετρο

Ανίσωση με παράμετρο

Re: Ανίσωση με παράμετρο

Re: Ανίσωση με παράμετρο

Re: Ανίσωση με παράμετρο

Re: Ανίσωση με παράμετρο

Re: Ανίσωση με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση