Όχι ΘΜΤ

#1

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f:R\to R}$ , δυο φορές παραγωγίσιμη με την ιδιότητα :
υπάρχει $\displaystyle{c\in R}$ ώστε για κάθε $\displaystyle{a,b\in R}$ με $\displaystyle{a\ne b}$ να ισχύει : $\displaystyle{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\ne {f}'(c)}$ .
Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{f}''(c)=0}$ .

#2

exdx έγραψε:Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f:R\to R}$ , δυο φορές παραγωγίσιμη με την ιδιότητα :
υπάρχει $\displaystyle{c\in R}$ ώστε για κάθε $\displaystyle{a,b\in R}$ με $\displaystyle{a\ne b}$ να ισχύει : $\displaystyle{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\ne {f}'(c)}$ .
Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{f}''(c)=0}$ .

Χωρίς βλάβη στην γενικότητα υπάρχουν a<b

τέτοια ώστε $\displaystyle{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}> {f}'(c)}$ (για την ανάποδη ανισότητα εργαζόμαστε όμοια).

Έστω d > a

. Θα δείξω πρώτα ότι ισχύει $\displaystyle{\frac{f(d)-f(a)}{d-a}> {f}'(c)}$ . Πράγματι, έστω $\displaystyle{\frac{f(d)-f(a)}{d-a} < {f}'(c)}$ (η ισότητα αποκλείεται από την υπόθεση). Τότε από το Θ.Μ.Τ. στην $\displaystyle{\frac{f(x)-f(a)}{x-a} }$ θα υπήρχε $\xi$ στο μεσοδιάστημα των b,d

με $\displaystyle{\frac{f(\xi)-f(a)}{\xi-a}= {f}'(c)}$ , που αντιβαίνει στην υπόθεση.

Όμοια, αν d<b

, ισχύει $\displaystyle{\frac{f(d)-f(b)}{d-b}> {f}'(c)}$ . Στη αντίθετη περίπτωση θα οδηγηθούμε σε άτοπο καθώς από το Θ.Μ.Τ. στην $\displaystyle{\frac{f(x)-f(b)}{x-b} }$ θα υπήρχε $\xi$ στο μεσοδιάστημα των a,d

με $\displaystyle{\frac{f(\xi)-f(b)}{\xi-b}= {f}'(c)}$ , που πάλι αντιβαίνει στην υπόθεση.

Έστω τώρα

τυχαίο. Διακρίνοντας περιπτώσεις όπου d>a

ή

(που εξαντλούν όλες τις εκδοχές αφού $(-\infty, b) \cup (a,+\infty) = \mathbb R$ ) και με παρόμοιο συλλογισμό μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι για οποιοδήποτε

που ικανοποιεί e>a

ή, αντίστοιχα, e<b

, ισχύει $\displaystyle{\frac{f(d)-f(e)}{d-e}> {f}'(c)}$ .

Παίρνοντας όριο $e\to d$ στην τελευταία, έπεται $f'(d)\ge f'(c),\, \forall d \in \mathbb R$ . Αυτό σημαίνει ότι το f'(c)

είναι ολικό ελάχιστο της

. Συμπεραίνουμε ότι f''(c)=0

, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Ωραία και άμεση λύση σε αντίθεση με την παρακάτω :

Η δοσμένη σχέση γράφεται :

$\displaystyle \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} \ne f'(c) \Leftrightarrow f(b) - f(a) \ne bf'(c) - af'(c) \Leftrightarrow f(b) - bf'(c) \ne f(a) - af'(c){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (1)$

Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f(x)-x{f}'(c)

οπότε από την (1)

έχουμε ότι :
$a\ne b\Rightarrow g(a)\ne g(b)$ άρα η $\,g$ είναι 1-1

και αφού είναι συνεχής θα είναι γνησίως μονότονη
(αυτό απαιτεί απόδειξη , πχ. εδώ)
‘Αρα η

θα είναι γνησίως αύξουσα οπότε ${g}'(x)\ge 0$ (το οποίο επίσης θέλει απόδειξη . Δείτε μια σχετική συζήτηση εδώ )
Ομοίως αν η $\,g$ είναι γνησίως φθίνουσα τότε ${g}'(x)\le 0$
Αυτό συνεπάγεται ${{\left( f(x)-x{f}'(c) \right)}^{\prime }}\ge 0\Leftrightarrow {f}'(x)\ge {f}'(c)$ , για κάθε $x\in R$
είτε ${{\left( f(x)-x{f}'(c) \right)}^{\prime }}\le 0\Leftrightarrow {f}'(x)\le {f}'(c)$ , για κάθε $x\in R$
Σε κάθε περίπτωση η {f}'

έχει ακρότατο για x=c

οπότε από το θεώρημα Fermat προκύπτει ότι {f}''(c)=0

Ερώτηση (χωρίς απάντηση ) : Είναι αρκετά τα δεδομένα για να ισχυριστούμε ότι η

παρουσιάζει σημείο καμπής για x=c

;

#4

Ωραίο θέμα! Το είδαμε κι εδώ:
http://artofproblemsolving.com/community/c267h243992

Κω.Κωνσταντινίδης · #5

Λίγο άκυρος χρονικά. Γράφω μια λύση η οποία πιστεύω αναδεικνύει μια χρήσιμη ιδέα:

Η ιδέα είναι να θεωρήσουμε την παρακάτω συνάρτηση, η οποία πληροί τις παρακάτω ενδιαφέρουσες ιδιότητες: Ορίζουμε

$g(x)\left\{\begin{matrix} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}, x\in (-\infty,c)\cup(c,\infty)& & & & & \\ f'(c), x=c& & & & \end{matrix}\right.$

Ιδιότητα 1: g συνεχής (άμεσο, αφού f παραγωγίσιμη).

Ιδιότητα 2: g παραγωγίσιμη
Πράγματι,

παραγωγίσιμη στο $(-\infty,c)$ και στο $(c,\infty)$ ως πηλίκο παραγωγίσιμων και

$g'(c)=\lim_{x\to c}\frac{g(x)-g(c)}{x-c}=\lim_{x\to c} \frac{f(x)-f(c)-(x-c)f'(c)}{(x-c)^{2}}\overset{\mathrm{\frac{0}{0},DLH}}{=}\lim_{x\to c}=\frac{f'(x)-f'(c)}{2(x-c)}=\frac{f''(c)}{2}$ , και η ιδιότητα αποδείχτηκε.

Ισχυρισμός: ή g(x)>g(c)

για κάθε $x\in R$ .
Απόδειξη: Η h(x)=g(x)-g(c)

είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών και δεν μηδενίζεται ποτέ, άρα διατηρεί πρόσημο.

Αν x<c=>g(x)<g(c)

και

το θεώρημα Fermat εξασφαλίζει $g'(c)=0=>\frac{f''(c)}{2}=0=>f''(c)=0$ , όπως θέλαμε. Ομοίως και στην άλλη περίπτωση.

Το ζητούμενο έπεται.

Ορέστης Λιγνός · #6

Ένα μικρό σχόλιο στην όμορφη λύση του Κώστα: Η χρήση της παραπάνω συνάρτησης υπάρχει στις σημειώσεις Απειροστικού Λογισμού Ι του κ. Γιαννόπουλου εδώ, στη σελίδα 110, και συγκεκριμένα αναγράφεται η ονομασία της ως Παρατήρηση του Καραθεοδωρή.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 29, 2015 5:04 pm

exdx έγραψε:Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f:R\to R}$ , δυο φορές παραγωγίσιμη με την ιδιότητα :
υπάρχει $\displaystyle{c\in R}$ ώστε για κάθε $\displaystyle{a,b\in R}$ με $\displaystyle{a\ne b}$ να ισχύει : $\displaystyle{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\ne {f}'(c)}$ .
Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{f}''(c)=0}$ .
Χωρίς βλάβη στην γενικότητα υπάρχουν τέτοια ώστε $\displaystyle{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}> {f}'(c)}$ (για την ανάποδη ανισότητα εργαζόμαστε όμοια).

Έστω . Θα δείξω πρώτα ότι ισχύει $\displaystyle{\frac{f(d)-f(a)}{d-a}> {f}'(c)}$ . Πράγματι, έστω $\displaystyle{\frac{f(d)-f(a)}{d-a} < {f}'(c)}$ (η ισότητα αποκλείεται από την υπόθεση). Τότε από το Θ.Μ.Τ. στην $\displaystyle{\frac{f(x)-f(a)}{x-a} }$ θα υπήρχε $\xi$ στο μεσοδιάστημα των με $\displaystyle{\frac{f(\xi)-f(a)}{\xi-a}= {f}'(c)}$ , που αντιβαίνει στην υπόθεση.

Όμοια, αν , ισχύει $\displaystyle{\frac{f(d)-f(b)}{d-b}> {f}'(c)}$ . Στη αντίθετη περίπτωση θα οδηγηθούμε σε άτοπο καθώς από το Θ.Μ.Τ. στην $\displaystyle{\frac{f(x)-f(b)}{x-b} }$ θα υπήρχε $\xi$ στο μεσοδιάστημα των με $\displaystyle{\frac{f(\xi)-f(b)}{\xi-b}= {f}'(c)}$ , που πάλι αντιβαίνει στην υπόθεση.

Έστω τώρα τυχαίο. Διακρίνοντας περιπτώσεις όπου ή (που εξαντλούν όλες τις εκδοχές αφού $(-\infty, b) \cup (a,+\infty) = \mathbb R$ ) και με παρόμοιο συλλογισμό μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι για οποιοδήποτε που ικανοποιεί ή, αντίστοιχα, , ισχύει $\displaystyle{\frac{f(d)-f(e)}{d-e}> {f}'(c)}$ .

Παίρνοντας όριο $e\to d$ στην τελευταία, έπεται $f'(d)\ge f'(c),\, \forall d \in \mathbb R$ . Αυτό σημαίνει ότι το είναι ολικό ελάχιστο της . Συμπεραίνουμε ότι , όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

Η πρώτη παρατήρηση είναι ότι δεν χρειάζεται η συνάρτηση να είναι δυο φορές παραγωγίσημη.
Αρκεί να υπάρχει η $\displaystyle{{f}''(c)}$ .
Η ακόμα καλύτερα μπορεί να ζητηθεί ότι η

έχει ολικό ακρότατο στο

.

Η ουσία στην απόδειξη του Μιχάλη είναι ότι αν για κάποια a,b

είναι $\displaystyle{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}> {f}'(c)}$
τότε είναι για όλα.
Εστω ότι υπάρχουν c,d

με $\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}> {f}'(c)>\frac{f(d)-f(c)}{d-c}$
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι b>a,d>c

Θεωρούμε την
$\displaystyle g:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$
με
$\displaystyle g(t)=\frac{f((1-t)b+td)-f((1-t)a+tc)}{((1-t)b+td)-((1-t)a+tc)}$
που προφανώς είναι συνεχής
Είναι $\displaystyle g(0)> {f}'(c)>g(1)$
Aπό Θ.Ε.Τ υπάρχει t_0

με $\displaystyle g(t_0)= {f}'(c)$
ΑΤΟΠΟ.

Όχι ΘΜΤ

Όχι ΘΜΤ

Re: Όχι ΘΜΤ

Re: Όχι ΘΜΤ

Re: Όχι ΘΜΤ

Re: Όχι ΘΜΤ

Re: Όχι ΘΜΤ

Re: Όχι ΘΜΤ

Μέλη σε σύνδεση