Γεωμετρικός τόπος

ann79 · #1

Αν

είναι σταθερά σημεία, τότε να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων

τέτοιων ώστε $\vec{AB}\vec{AM}=\lambda >0$ είναι ευθεία κάθετη στην

.

#2

ann79 έγραψε:Αν είναι σταθερά σημεία, τότε να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τέτοιων ώστε $\vec{AB}\vec{AM}=\lambda >0$ είναι ευθεία κάθετη στην .

: Γ. τόπος.png (3.03 KiB) Προβλήθηκε 599 φορές

Έστω

η προβολή του

στο

και $\displaystyle{|\overrightarrow {AB} | = a}$ .
$\displaystyle{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AM} = \lambda \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AP} = \lambda \Leftrightarrow a|\overrightarrow {AP} | = \lambda }$ .
Άρα το σημείο

είναι σταθερό για οποιαδήποτε θέση του

, επομένως ο γεωμετρικός τόπος του

είναι ευθεία κάθετη στην

στο σημείο της

.

chris_konst · #3

Χάριν της πολυφωνίας: Μπορούμε επίσης να αντιμετωπίσουμε το θέμα με χρήση συντεταγμένων.

Έστω $\displaystyle{A(a_1,a_2)}$ και $\displaystyle{B(b_1,b_2)}$ σταθερά και διακεκριμένα σημεία, και $\displaystyle{ M(x,y)}$ . Είναι: $\displaystyle{ \overrightarrow{AB}= (b_1-a_1,b_2-a_2) \neq (0,0) }$ και $\displaystyle{\overrightarrow{AM}= (x-a_1,y-a_2)}$ .

Επομένως: $\displaystyle{ \overrightarrow{AB} \cdot \displaystyle{\overrightarrow{AM} = \lambda \Leftrightarrow (b_1-a_1)(x-a_1)+(b_2-a_2)(y-a_2) = \lambda \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(b_1-a_1)x+(b_2-a_2)y -a_1(b_1-a_1)-a_2(b_2-a_2) -\lambda =0 \quad (1)}$

Οι αριθμοί $\displaystyle{b_1-a_1,b_2-a_2}$ δεν μηδενίζονται συγχρόνως διότι $\displaystyle{(b_1-a_1,b_2-a_2) \neq (0,0)}$ , οπότε η $\displaystyle{(1)}$ είναι εξίσωση ευθείας, δηλ. ο γ.τ είναι ευθεία, έστω $\displaystyle{(\epsilon)}$ .

Επιπλέον, ένα κάθετο διάνυσμα αυτής της ευθείας είναι το $\displaystyle{ (b_1-a_1,b_2-a_2) = \overrightarrow{AB} }$ , οπότε η $\displaystyle{(\epsilon)}$ είναι κάθετη στο φορέα του $\displaystyle{ \overrightarrow{AB} }$ , έστω στο $\displaystyle{P}$ και προφανώς όλα τα σημεία $\displaystyle{M}$ της $\displaystyle{(\epsilon)}$ έχουν σταθερή προβολή $\displaystyle{P}$

Υ.Γ. Αν επιπλέον θέλεις και τις συντεταγμένες του $\displaystyle{P}$ , τότε είτε βρίσκεις την εξίσωση της ευθείας $\displaystyle{AB}$ και λύνεις σύστημα με την $\displaystyle{(1)}$ , είτε χρησιμοποιείς (πάλι) το θεώρημα της προβολής:

Έστω $\displaystyle{P(x_P,y_P)}$ . Είναι $\displaystyle{ \overrightarrow{AB} \cdot \displaystyle{\overrightarrow{AP} = \lambda \quad (2) }$ , και $\displaystyle{\overrightarrow{AP} = \xi \overrightarrow{AB} \quad (3) }$ , άρα η $\displaystyle{(2)}$ δίνει: $\displaystyle{\xi \overrightarrow{AB}^2 = \lambda}$

Από αυτήν βρίσκεις το $\displaystyle{\xi}$ , αντικαθιστάς στην $\displaystyle{(3)}$ και βρίσκεις τις συντεταγμένες του $\displaystyle{P}$

Χρήστος

Γεωμετρικός τόπος

Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Μέλη σε σύνδεση