ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

M.S.Vovos · #1

Αγαπητά μέλη του

,
Με αφορμή την αλλαγή της ύλης, που θα διδάσκονται τα παιδιά στα μαθηματικά κατεύθυνσης στη γ'λυκείου, πήρα το θάρρος να προτείνω τη δημιοργία ενός φακέλου με θέματα, για τη νέα ύλη.

Παρακαλώ, για τα θέματα:

1) Να είναι κοντά στο πνεύμα των εξετάσεων.

2) Να μην είναι θέματα εξετάσεων ή ΟΕΦΕ.

3) Προσπάθεια για όσο το δυνατόν πιο αναλυτικές λύσεις.

4) Οι λύσεις, που θα δίνονται να είναι όσο περισσότερο φιλικές προς το μαθητή και αναλυτικές.

5) Να μην συσσωρέυονται άλυτες ασκήσεις.

Ευχαριστώ, θερμά.
Μάριος

M.S.Vovos · #2

...Ας κάνω την αρχή, περιμένοντας να υπάρξουν κι άλλες ασκήσεις...

ΑΣΚΗΣΗ 1

Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x+1)-1}{x}=2$ .

Α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της

, στο σημείο A(1,f(1))

.

B. Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x+f(x)-2}{sin(x-1)}$ .

Γ. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\varrho \in (0,1)$ τέτοιο ώστε να ισχύει $\displaystyle f(\varrho )=\frac{1}{\varrho }-1$ .

Δ. Αν γνωρίζετε ότι η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη, να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi \in (0,1)$ τέτοιο ώστε $f(\xi )+\xi f'(\xi )=1$ .

#3

Α. Στο όριο $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+1)-1}{x}=2$ , θέτουμε $\displaystyle{x+1=u}$ με $\displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,u=1}$ , οπότε γράφεται
$\underset{u\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(u)-1}{u-1}=2$ ή ισοδύναμα : $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-1}{x-1}=2$ (1 )
Έστω $g(x)=\frac{f(x)-1}{x-1}\,\,,\,\,x\ne 1$ με $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,g(x)=2$
Τότε : f(x)=g(x)(x-1)+1

με $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( g(x)(x-1)+1 \right)=2\cdot 0+1=1$
κι αφού η

είναι συνεχής στο

είναι και $f(1)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1$

Τότε το όριο (1) γράφεται : $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=2$ το οποίο από τον ορισμό της παραγώγου μας δίνει άμεσα ότι : {f}'(1)=2

Η εξίσωση της εφαπτομένης δίνεται από τη σχέση y-f(1)={f}'(1)(x-1)

και αντικαθιστώντας τις τιμές που βρήκαμε προκύπτει : $y-1=2(x-1)\Leftrightarrow y=2x-1$

Β. Είναι : $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+f(x)-2}{sin(x-1)}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1+f(x)-1}{sin(x-1)}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{x-1}{x-1}+\frac{f(x)-1}{x-1}}{\frac{sin(x-1)}{x-1}}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\frac{f(x)-1}{x-1}}{\frac{sin(x-1)}{x-1}}$ (2)

Όμως : $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-1}{x-1}=2$ και θέτοντας x-1=u

με $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,u=0$ το $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{sin(x-1)}{x-1}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin u}{u}=1$
Τελικά : $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+f(x)-2}{sin(x-1)}=$ $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\frac{f(x)-1}{x-1}}{\frac{sin(x-1)}{x-1}}=\frac{1+2}{1}=3$

Γ. Ζητούμε ένα $\varrho \in (0,1)$ που να επαληθεύει τη σχέση $f(x)=\frac{1}{x}-1$ και ισοδύναμα την : xf(x)-1+x=0

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{t(x)=xf(x)-1+x}$ , συνεχής στο [0,1]

ως γινόμενο και άθροισμα συνεχών .
Είναι : t(0)=-1<0

και $t(1)=1\cdot 1-1+1=1>0$
Επομένως t(0)t(1)=-1<0

οπότε από θεώρημα Bolzano έπεται ότι υπάρχει
κάποιο $\text{ }\!\!\rho\!\!\text{ }\in \text{(0}\text{,1)}$ , τέτοιο ώστε $t(\text{ }\!\!\rho\!\!\text{ )=0}$ και ισοδύναμα $f(\rho )=\frac{1}{\rho }-1$ .

Δ. Η

είναι παραγωγίσιμη στο

άρα και στο [0,1]

άρα συνεχής στο [0,1]

και παραγωγίσιμη στο (0,1)

Αναζητούμε κάποιο $\text{ }\!\!\xi\!\!\text{ }\in (0,1)$ που να επαληθεύει τη σχέση f(x)+x{f}'(x)=1

και ισοδύναμα την :
${{\left( xf(x) \right)}^{\prime }}=(x{)}'\Leftrightarrow {{\left( xf(x)-x \right)}^{\prime }}=0$
Έστω K(x)=xf(x)-x

συνεχής στο [0,1]

και παραγωγίσιμη στο (0,1)

ως γινόμενο και διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων .
Ακόμα : K(0)=0

και $K(1)=1\cdot 1-1=0$ οπότε K(0)=K(1)

Επομένως από θεώρημα Rolle υπάρχει κάποιο $\text{ }\!\!\xi\!\!\text{ }\in (0,1)$ ώστε $K(\text{ }\!\!\xi\!\!\text{ )=0}$ και ισοδύναμα $f(\xi )+\xi {f}'(\xi )=1$

M.S.Vovos · #4

ΑΣΚΗΣΗ 2

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν f(0)=0

, καθώς και ότι
$\displaystyle 2x\leq f'(x)\leq 2x+1-f(1)$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

A. Να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (0,1)$ , τέτοιο ώστε $f'(\xi )=2\xi +f(1)-1$ .

B. Να δείξετε ότι ισχύει $\displaystyle f(x)=x^{2}$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Γ. Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

που απέχει την ελάχιστη απόσταση από το σημείο A(3,0)

.

Δ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

και τις ευθείες $\displaystyle (\varepsilon _{1}):y=a^{2}$ και $\displaystyle (\varepsilon _{2}):y=(a+1)^{2}$ με a> 0

.

Πηγή: Μαθηματικά Γ' Λυκείου 3ο και 4ο Θέμα / Εκδόσεις Ελληνοεκδοτική.

alexandrosvets · #5

M.S.Vovos έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν , καθώς και ότι
$\displaystyle 2x\leq f'(x)\leq 2x+1-f(1)$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

A. Να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (0,1)$ , τέτοιο ώστε $f'(\xi )=2\xi +f(1)-1$ .

B. Να δείξετε ότι ισχύει $\displaystyle f(x)=x^{2}$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Γ. Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης που απέχει την ελάχιστη απόσταση από το σημείο .

Δ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης και τις ευθείες $\displaystyle (\varepsilon _{1}):y=a^{2}$ και $\displaystyle (\varepsilon _{2}):y=(a+1)^{2}$ με .

Πηγή: Μαθηματικά Γ' Λυκείου 3ο και 4ο Θέμα / Εκδόσεις Ελληνοεκδοτική.

Καλησπέρα

.Καλησπέρα Μάριε.

Μια αντιμετώπιση για τα τρία πρώτα ερωτήματα.

A. Να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (0,1)$ , τέτοιο ώστε $f'(\xi )=2\xi +f(1)-1$ .

Θεωρούμε την $h(x)=f(x)-x^2-x(f(1)-1),x\epsilon [0,1]$
$\bullet$ Η h(x)

είναι παραγωγίσιμη ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων
$\bullet$ Η h(x)

είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων
$\bullet h(0)=h(1)$

$Rolle \Rightarrow$ υπάρχει $\xi \epsilon (0,1):h'(\xi)$ \displaystyle{=0\Leftrightarrow f'(\xi)=2\xi +f(1)-1 <strong class="text-strong">B.</strong> Να δείξετε ότι ισχύει

\displaystyle f(x)=x^{2} , για κάθε

x\in \mathbb{R}

\displaystyle 2x\leq f'(x)\leq 2x+1-f(1) ,σχέση

(1)

2x\leq f'(x),\vee x\epsilon \mathbb R, σχέση

(2)

f'(x)\leq 2x+1-f(1),\vee x\epsilon \mathbb R, σχέση

(3).

(2) x=\xi

f(1)\geq 1, σχέση

(4)

(3) x=\xi έχουμε:

f(1)\leq 1, σχέση

(5)

4,5\Rightarrow f(1)=1. Άρα

2x\leq f'(x)\leq 2x\Rightarrow f'(x)=2x,\vee x\epsilon \mathbb R.

f(x)=x^2+c.(6) Για

x=0,(6)\Rightarrow c=0. Άρα

f(x)=x^2,x\epsilon \mathbb R Για το Γ ερώτημα.

Έστω το τυχαίο σημείο Μ

(x_0,y_0)

:y-x_0^2=2x_0(x-x_0). Η ελάχιστη απόσταση είναι όταν ισχύει

\lambda _{\varepsilon \varphi _M}} $\lambda _{AM}=-1\Leftrightarrow$

$2x_0\frac{x_0^2}{x_0-3}=-1\Leftrightarrow$ 2x_0^3+x_0-3=0

.Παρατηρούμε ότι για x=1

επαληθεύεται η εξίσωση,η οποία λύση είναι και

μοναδική καθώς αν θεωρήσουμε την $t(x)=2x^3+x-3,x\in\mathbb R,t'(x)=6x^2+1>0...$

Άρα το σημείο M(1,1)

Φιλικά,
Αλέξανδρος.

M.S.Vovos · #6

ΑΣΚΗΣΗ 3

Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση

για την οποία ισχύει η σχέση $\displaystyle f(x)=e^x-\int_{0}^{1}e^{1-x}f(x)dx$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

A. Να δείξετε ότι $\displaystyle f(x)=e^{x}-1$ .

B. Να δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle f\left ( \frac{f(x)}{x}-f(x) \right )=0$ έχει ακριβώς μία ρίζα την οποία και να βρείτε.

Γ. Να βρείτε την εφαπτόμενη της $C_{f}$ , η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Δ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle g(x)=\frac{\int_{0}^{x}f(t)dt}{x-1}-\frac{\int_{1}^{x}f(t)dt}{x}$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα $\left ( 0,1 \right )$ .

M.S.Vovos · #7

ΑΣΚΗΣΗ 4

Θεωρούμε τη παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει η σχέση:

$\displaystyle f(x)=e^{x-k}-k(x-k)-1\geq 0$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ και $k\in \mathbb{R}$ .

A. Να δείξετε ότι $\displaystyle f(x)=e^{x-1}-x$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

B. Να βρείτε τις ασύμπτωτες ευθείες της γραφικής παράστασης της

και να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x+1)}{\eta \mu f(x^{2}+1)}$ .

Γ. Να δείξετε ότι $\displaystyle e^{x}f(e^{x})+f(e^{3x})> (e^{x}+1)f(e^{2x})$ , για κάθε x> 0

.

#8

ΑΣΚΗΣΗ 5

Έστω

συνεχής συνάρτηση στο [0,1] με την ιδιότητα: $\displaystyle{f({{x}^{2}})+\sqrt{x}f({{x}^{2}}\sqrt{x})={{e}^{x}}}$ , για κάθε $\displaystyle{x\in [0,\,\,1]}$ .

α) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{A=\int_0^1 xe^x dx}$ .

β) Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\int_0^1 xf(x^2)dx=\frac{1}{2}\int_{\,\,0}^{\,\,1}{\,f(x)dx}}$ .

γ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{\,\,0}^{\,\,1}{\,f(x)dx}}$ .

*** Διορθώθηκε ένα typo στο πρώτο ερώτημα, ώστε να έχει συνοχή το θέμα.

Γιώργος Απόκης · #9

M.S.Vovos έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 3
Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση για την οποία ισχύει η σχέση $\displaystyle f(x)=e^x-\int_{0}^{1}e^{1-x}f(x)dx$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .
A. Να δείξετε ότι $\displaystyle f(x)=e^{x}-1$ .

Kαλημέρα. Για το Α)

Θέτουμε $\displaystyle{\int_{0}^{1}e^{1-x}f(x)dx=A\in\mathbb R}$ και η δοσμένη σχέση γίνεται $\displaystyle{f(x)=e^x-A}$ . Συνδυάζοντας έχουμε :

$\displaystyle{\int_0^1e^{1-x}(e^x-A)dx=A\Leftrightarrow \int_0^1(e-Ae^{1-x})dx=A\Leftrightarrow [ex+Ae^{1-x}]_0^1=A\Leftrightarrow e+A-0-Ae=A\Leftrightarrow A=1}$

και άρα $\displaystyle{f(x)=e^x-1,~x\in\mathbb R}$

GMANS · #10

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 5

Έστω συνεχής συνάρτηση στο [0,1] με την ιδιότητα: $\displaystyle{f({{x}^{2}})+\sqrt{x}f({{x}^{2}}\sqrt{x})={{e}^{x}}}$ , για κάθε $\displaystyle{x\in [0,\,\,1]}$ .

α) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{A=\int_0^1 xe^x dx}$ .

β) Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\int_0^1 xf(x^2)dx=\frac{1}{2}\int_{\,\,0}^{\,\,1}{\,f(x)dx}}$ .

γ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{\,\,0}^{\,\,1}{\,f(x)dx}}$ .

*** Διορθώθηκε ένα typo στο πρώτο ερώτημα, ώστε να έχει συνοχή το θέμα.

α) $\int_{0}^{1}xe^xdx= \int_{0}^{1}x(e^x)'dx=[xe^x]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^xdx=[xe^x]_{0}^{1}-[e^x]_{0}^{1}=e-(e-1)=1$

β) Για το
$\displaystyle{\int_0^1 xf(x^2)dx=\frac{1}{2}\int_{\,\,0}^{\,\,1}{\,f(x)dx}}$ .
Θέτω
u=x^2

τότε $du=2xdx\rightarrow \frac{1}{2}du=xdx$
για $x=1\rightarrow u=1$
για $x=0\rightarrow u=0$
τότε
$\int_0^1 xf(x^2)dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}f(u)du=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}f(x)dx$
για το $I_2=\int_{0}^{1}x\sqrt{x}f(x^2\sqrt{x})dx$
θέτω $u=x^2\sqrt{x} \rightarrow du=\frac{5}{2}x\sqrt{x}dx\rightarrow \frac{2}{5}du=x\sqrt{x}dx$
για
$x=1\rightarrow u=1$
$x=0\rightarrow u=0$
οπότε:
$I_2=\frac{2}{5}\int_{0}^{1}f(u)du=\frac{2}{5}\int_{0}^{1}f(x)dx$

γ) η δοσμένη σχέση γίνεται

$xf(x^2)+x\sqrt{x}f(x^2\sqrt{x})=xe^x\rightarrow \int_{0}^{1}xf(x^2)dx+\int_{0}^{1}x\sqrt{x}f(x^2\sqrt{x})dx= \int_{0}^{1}xe^xdx=1$

επομένως :
$\frac{1}{2} \int_{0}^{1}f(x)dx+\frac{2}{5} \int_{0}^{1}f(x)dx=1\Leftrightarrow \int_{0}^{1}f(x)dx=\frac{10}{9}$

(προσάρμοσα την λύση στην διορθωμένη εκφώνηση )

Γιώργος Απόκης · #11

M.S.Vovos έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 3

B. Να δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle f\left ( \frac{f(x)}{x}-f(x) \right )=0$ έχει ακριβώς μία ρίζα την οποία και να βρείτε.

Μετά την αλλαγή:

Παρατηρούμε ότι : $\displaystyle{f(0)=0}$ και ότι η $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ άρα η $\displaystyle{f}$ έχει μοναδική ρίζα το $\displaystyle{0}$ .

Eπομένως, για $\displaystyle{x\ne 0}$ η εξίσωση γράφεται :

$\displaystyle{f\left ( \frac{f(x)}{x}-f(x) \right )=f(0)\overset{f:1-1}\Leftrightarrow \frac{f(x)}{x}-f(x)=0\Leftrightarrow f(x)-xf(x)=0\Leftrightarrow f(x)(1-x)=0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{f(x)=0~\acute{\eta}~1-x=0\Leftrightarrow x=0~\acute{\eta}~x=1}$ . Όμως, $\displaystyle{x\ne 0}$ άρα $\displaystyle{x=1}$ (μοναδική)

Γιώργος Απόκης · #12

M.S.Vovos έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 3

Γ. Να βρείτε την εφαπτόμενη της $C_{f}$ , η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Δ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle g(x)=\frac{\int_{0}^{x}f(t)dt}{x-1}-\frac{\int_{1}^{x}f(t)dt}{x}$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα $\left ( 0,1 \right )$ .

Γ. Έστω $\displaystyle{M(x_0,f(x_0))}$ το σημείο επαφής. Tότε η εφαπτομένη έχει εξίσωση :

$\displaystyle{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\Leftrightarrow y-(e^{x_0}-1)=e^{x_0}(x-x_0)}$ . Διέρχεται από την αρχή των αξόνων, άρα για $\displaystyle{x=y=0}$ έχουμε

$\displaystyle{-e^{x_0}+1=-x_0e^{x_0}\Leftrightarrow x_0e^{x_0}-e^{x_0}+1}$ . Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{k(x)=xe^{x}-e^{x}+1,~x\in\mathbb R}$ .

Η $\displaystyle{k}$ έχει προφανή ρίζα το $\displaystyle{0}$ και παράγωγο $\displaystyle{k'(x)=e^x+xe^x-e^x=xe^x}$ .

$\displaystyle{k'(x)=0\Leftrightarrow x=0,~~~~k'(x)>0\Leftrightarrow x>0,~~~~k'(x)<0\Leftrightarrow x<0}$ επομένως $\displaystyle{k(x)\ne 0\Leftrightarrow x\ne 0}$

Δηλαδή $\displaystyle{x_0=0}$ και η εφαπτομένη έχει εξίσωση $\displaystyle{y=x}$ .

Δ. Για $\displaystyle{x\ne 0,~x\ne 1}$ η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{x\int_0^x f(t)dt-(x-1)\int_1^x f(t)dt=0}$

H συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=x\int_0^x f(t)dt-(x-1)\int_1^x f(t)dt}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{[0,1]}$

$\displaystyle{g(0)=\int_1^0 f(t)dt=-\int_0^1 f(t)dt}$ και $\displaystyle{g(1)=\int_0^1 f(t)dt}$ .

Επομένως $\displaystyle{g(0)g(1)=-\left(\int_0^1 f(t)dt\right)^2=-(e-2)^2<0}$ (υπολογίζουμε το $\displaystyle{\int_0^1 (e^t-1)dt=e-2}$ )

Από το θεώρημα Bolzano η $\displaystyle{g(x)=0}$ (άρα και η ισοδύναμη αρχική) έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο $\displaystyle{(0,1)}$

Γιώργος Απόκης · #13

M.S.Vovos έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 3

Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση για την οποία ισχύει η σχέση $\displaystyle f(x)=e^x-\int_{0}^{1}e^{1-x}f(x)dx$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

A. Να δείξετε ότι $\displaystyle f(x)=e^{x}-1$ .

B. Να δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle f\left ( \frac{f(x)}{x}-f(x) \right )=0$ έχει ακριβώς μία ρίζα την οποία και να βρείτε.

Γ. Να βρείτε την εφαπτόμενη της $C_{f}$ , η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Δ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle g(x)=\frac{\int_{0}^{x}f(t)dt}{x-1}-\frac{\int_{1}^{x}f(t)dt}{x}$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα $\left ( 0,1 \right )$ .

"Μαζεύω" τα ερωτήματα της άσκησης

Α. Θέτουμε $\displaystyle{\int_{0}^{1}e^{1-x}f(x)dx=A\in\mathbb R}$ και η δοσμένη σχέση γίνεται $\displaystyle{f(x)=e^x-A}$ . Συνδυάζοντας έχουμε :

$\displaystyle{\int_0^1e^{1-x}(e^x-A)dx=A\Leftrightarrow \int_0^1(e-Ae^{1-x})dx=A\Leftrightarrow [ex+Ae^{1-x}]_0^1=A\Leftrightarrow e+A-0-Ae=A\Leftrightarrow A=1}$

και άρα $\displaystyle{f(x)=e^x-1,~x\in\mathbb R}$

Β. Παρατηρούμε ότι : $\displaystyle{f(0)=0}$ και ότι η $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ άρα η $\displaystyle{f}$ έχει μοναδική ρίζα το $\displaystyle{0}$ .

Eπομένως, για $\displaystyle{x\ne 0}$ η εξίσωση γράφεται :

$\displaystyle{f\left ( \frac{f(x)}{x}-f(x) \right )=f(0)\overset{f:1-1}\Leftrightarrow \frac{f(x)}{x}-f(x)=0\Leftrightarrow f(x)-xf(x)=0\Leftrightarrow f(x)(1-x)=0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{f(x)=0~\acute{\eta}~1-x=0\Leftrightarrow x=0~\acute{\eta}~x=1}$ . Όμως, $\displaystyle{x\ne 0}$ άρα $\displaystyle{x=1}$ (μοναδική)

Γ. Έστω $\displaystyle{M(x_0,f(x_0))}$ το σημείο επαφής. Tότε η εφαπτομένη έχει εξίσωση :

$\displaystyle{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\Leftrightarrow y-(e^{x_0}-1)=e^{x_0}(x-x_0)}$ . Διέρχεται από την αρχή των αξόνων, άρα για $\displaystyle{x=y=0}$ έχουμε

$\displaystyle{-e^{x_0}+1=-x_0e^{x_0}\Leftrightarrow x_0e^{x_0}-e^{x_0}+1}$ . Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{k(x)=xe^{x}-e^{x}+1,~x\in\mathbb R}$ .

Η $\displaystyle{k}$ έχει προφανή ρίζα το $\displaystyle{0}$ και παράγωγο $\displaystyle{k'(x)=e^x+xe^x-e^x=xe^x}$ .

$\displaystyle{k'(x)=0\Leftrightarrow x=0,~~~~k'(x)>0\Leftrightarrow x>0,~~~~k'(x)<0\Leftrightarrow x<0}$ επομένως $\displaystyle{k(x)\ne 0\Leftrightarrow x\ne 0}$

Δηλαδή $\displaystyle{x_0=0}$ και η εφαπτομένη έχει εξίσωση $\displaystyle{y=x}$ .

Δ. Για $\displaystyle{x\ne 0,~x\ne 1}$ η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{x\int_0^x f(t)dt-(x-1)\int_1^x f(t)dt=0}$

H συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=x\int_0^x f(t)dt-(x-1)\int_1^x f(t)dt}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{[0,1]}$

$\displaystyle{g(0)=\int_1^0 f(t)dt=-\int_0^1 f(t)dt}$ και $\displaystyle{g(1)=\int_0^1 f(t)dt}$ .

Επομένως $\displaystyle{g(0)g(1)=-\left(\int_0^1 f(t)dt\right)^2=-(e-2)^2<0}$ (υπολογίζουμε το $\displaystyle{\int_0^1 (e^t-1)dt=e-2}$ )

Από το θεώρημα Bolzano η $\displaystyle{g(x)=0}$ (άρα και η ισοδύναμη αρχική) έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο $\displaystyle{(0,1)}$

M.S.Vovos · #14

ΑΣΚΗΣΗ 6

Θεωρούμε τη παραγωγίσιμη συνάρτηση

για την οποία ισχύει:

$\displaystyle f(x)\left ( f(x)(1-x)+2xf'(x) \right )=1$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , καθώς και ότι f(0)>0

.

A. Να βρείτε τη συνάρτηση

.

Β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα.

Γ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες ευθείες της συνάρτησης

και την εξίσωση της εφαπτομένης της

στο σημείο A(0,f(0))

.

Δ. Αν η συνάρτηση

είναι κυρτή, να δείξετε ότι $\displaystyle f\left ( \frac{a+\beta }{2} \right )\leq \frac{f(a)+f(\beta )}{2}$ , με $a,\beta \in \mathbb{R}$ .

Ε. Να βρείτε το εμβδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $\displaystyle g(x)=f^{2}(x)-\frac{e^{x}}{x}$ , τη συνάρτηση $\displaystyle h(x)=ln(x+1)$ και τις ευθείες x=1

και

.

Λάμπρος Μπαλός · #15

Αν μου επιτρέπεις Μάριε, μια επαναληπτική από Ε.Μ.Ε.

ΑΣΚΗΣΗ 7

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: R \rightarrow R$ , η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις :

f (1)+f (-1)=0

και

$f'(x)= \sqrt {16+f^{2}(x)}$ , για κάθε $x \in R$

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $(f'(x)+f (x))e^{-x}$ είναι σταθερή στο

.

β) Να αποδείξετε ότι $\int_{-1}^{1} f (x)dx=0$

γ) Αν επιπλέον ισχύει f (0)=0

, να αποδείξετε ότι $f (x)=2 (e^{x}-e^{-x})$ , $x \in R$

δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της

και την αντίστροφη συνάρτηση της

ε) Να αποδείξετε ότι $\int_{0}^{3} ln \frac {x+ \sqrt {x^{2}+16}}{4} dx =3ln2-1$

...άντε, καλό μας κουράγιο..

M.S.Vovos · #16

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Αν μου επιτρέπεις Μάριε, μια επαναληπτική από Ε.Μ.Ε.

ΑΣΚΗΣΗ 7

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: R \rightarrow R$ , η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις :

και

$f'(x)= \sqrt {16+f^{2}(x)}$ , για κάθε $x \in R$

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $(f'(x)+f (x))e^{-x}$ είναι σταθερή στο .

β) Να αποδείξετε ότι $\int_{-1}^{1} f (x)dx=0$

γ) Αν επιπλέον ισχύει , να αποδείξετε ότι $f (x)=2 (e^{x}-e^{-x})$ , $x \in R$

δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της και την αντίστροφη συνάρτηση της

ε) Να αποδείξετε ότι $\int_{0}^{3} ln \frac {x+ \sqrt {x^{2}+16}}{4} dx =3ln2-1$

...άντε, καλό μας κουράγιο..

...Μια λύση...

α) Η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη, άρα και η συνάρτηση $\displaystyle \sqrt{16+f^{2}(x)}$ είναι παραγωγίσιμη. Κατα συνέπεια, η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη. Άρα, η

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη. Με δεύτερη παράγωγο ίση με:

$\displaystyle f''(x)=\frac{2f'(x)f(x)}{2\sqrt{16+f^{2}(x)}}=\frac{f(x)f'(x)}{f'(x)}=f(x)$

Επομένως, f''(x)=f(x)

, για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Ομοίως, η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις μεταξύ παραγωγισίμων συναρτήσεων με παράγωγο:

$\displaystyle g'(x)=\left [ f''(x)+f'(x) \right ]e^{-x}-\left [ f'(x)+f(x) \right ]e^{-x}=e^{-x}\left [ f''(x)-f(x) \right ]$

Από τη προηγούμενη σχέση όμως, f''(x)-f(x)=0

.

Άρα, g'(x)=0

και

σταθερή.

β) Έχουμε ότι:

$\displaystyle \int_{-1}^{1}f(x)dx=\int_{-1}^{1}f''(x)dx=\left [ f'(x) \right ]_{-1}^{1}=f'(1)-f'(-1)=\sqrt{16+f^{2}(1)}-\sqrt{16+f^{2}(-1)}=\frac{f^{2}(1)-f^{2}(-1)}{\sqrt{16+f^{2}(1)}+\sqrt{16+f^{2}(-1)}}=\frac{\left [f(1)-f(-1) \right ]\left [ f(1)+f(-1) \right ]}{\sqrt{16+f^{2}(1)}+\sqrt{16+f^{2}(-1)}}=0$

Αφού, f(1)+f(-1)=0

.

γ) Η συνάρτηση

είναι σταθερή, άρα θα ισχύει ότι g(x)=c

, όπου

μια τυχαία σταθερά.

$\displaystyle \left ( f'(x)+f(x) \right )e^{-x}=c\Leftrightarrow f'(x)+f(x)=ce^{x}$ .

Για x=0

και επειδή f(0)=0

και

, έχουμε ότι c=4

.

Άρα, θα είναι $f'(x)+f(x)=4e^{x}$ .

$\displaystyle \left (f'(x)+f(x) \right )e^{x}=4e^{2x}\Leftrightarrow f(x)e^{x}=2e^{2x}+m\Leftrightarrow f(x)=2e^{x}+me^{-x}$

Ακολουθώντας την παραπάνω διαδικασία, βρίσκουμε ότι m=-2

. Συνεπώς:

$\displaystyle f(x)=2\left (e^{x}-e^{-x} \right ),\forall x\in \mathbb{R}$

δ) Ισχύει ότι $\displaystyle f'(x)=2\left ( e^{x}+e^{-x} \right )> 0$ .

Άρα, η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ και είναι και συνεχής σ' αυτό. Επομένως:

$f(\mathbb{R})=(-\infty ,+\infty )=\mathbb{R}$ . Επειδή:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=-\infty$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty$

Η συνάρτηση

είναι γνησίως μονότονη, άρα και "1-1"

, οπότε αντιστρέφεται. Επίσης, ισχύει ότι:

$\displaystyle f(x)=y$ και $f^{-1}(y)=x$

$\displaystyle y=2\left ( e^{x}-e^{-x} \right )\Leftrightarrow 2(e^{x})^{2}-ye^{x}-2=0\Leftrightarrow e^{x}=\frac{y+\sqrt{y^{2}+16}}{4}\Leftrightarrow x=ln\left ( \frac{y+\sqrt{y^{2}+16}}{4} \right )$

Επομένως:

$\displaystyle f^{-1}(x)=ln\left ( \frac{x+\sqrt{x^{2}+16}}{4} \right ),x\in \mathbb{R}$

ε) Δείτε τη λύση του Tolaso J Kos

Tolaso J Kos · #17

Χαλό Λάμπρο,

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Αν μου επιτρέπεις Μάριε, μια επαναληπτική από Ε.Μ.Ε.

ΑΣΚΗΣΗ 7

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: R \rightarrow R$ , η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις :

και

$f'(x)= \sqrt {16+f^{2}(x)}$ , για κάθε $x \in R$

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $(f'(x)+f (x))e^{-x}$ είναι σταθερή στο .

β) Να αποδείξετε ότι $\int_{-1}^{1} f (x)dx=0$

γ) Αν επιπλέον ισχύει , να αποδείξετε ότι $f (x)=2 (e^{x}-e^{-x})$ , $x \in R$

δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της και την αντίστροφη συνάρτηση της

ε) Να αποδείξετε ότι $\int_{0}^{3} ln \frac {x+ \sqrt {x^{2}+16}}{4} dx =3ln2-1$

...άντε, καλό μας κουράγιο..

α)Θεωρούμε τη συνάρτηση

με τύπο $\displaystyle{g(x)= \left ( f'(x)+f(x) \right )e^{-x}, \; x \in \mathbb{R}}$ η οποία εύκολα βλέπουμε ότι είναι παραγωγίσιμη. Τότε:

$\displaystyle{\begin{aligned} g'(x) &=\left [ \left ( f'(x)+f(x) \right )e^{-x} \right ]' \\ &= \left [ \left ( \sqrt{16+f^2(x)}+f(x) \right )e^{-x} \right ]'\\ &=\left ( \frac{f'(x)f(x)}{\sqrt{16+f^2(x)}}+f'(x) \right )e^{-x}- \left ( \sqrt{16+f^2(x)}+f(x) \right )e^{-x}\\ &\overset{f'(x)= \sqrt{16+f^2(x)}}{=\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\!} \cancel{\left ( f(x)+f'(x) \right )e^{-x}} - \cancel{\left ( f'(x)+f(x) \right )e^{-x}} \\ &=0 \end{aligned}}$

Άρα η

είναι όντως σταθερή στο $\mathbb{R}$ .

β)Εφαρμόζουμε παράγοντες και έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{-1}^{1}f(x)\, {\rm d}x &= \left [ x f(x) \right ]_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1}x f'(x)\, {\rm d}x\\ &=\cancelto{0}{ f(1) + f(-1)}- \int_{-1}^{1}x \sqrt{16 +f^2(x)}\, {\rm d}x\\ &=0 \end{aligned}}$

και το δεύτερο ολοκλήρωμα κάνει

λόγω της περιττότητας της υπό ολοκλήρωσης συνάρτησης.

γ)Από το ερώτημα α) έχουμε:

$\displaystyle{\left ( f'(x)+f(x) \right )e^{-x} = c \overset{f(0)=0\Rightarrow c =4}{=\! =\! =\! =\! \Longrightarrow} \left ( f'(x)+ f(x) \right )e^{-x}=4 \Rightarrow f '(x) + f(x) =4e^x}$

Οπότε κατά τα κλασσικά (πολλαπλασιασμό με e^x

και στα δύο μέλη ) βγάζουμε ότι: $\displaystyle{f(x)=2(e^x -e^{-x})}$ .

δ)Το σύνολο τιμών είναι το $\mathbb{R}$ ενώ η αντίστροφη έχει τύπο: $\displaystyle{f^{-1}(x)= \ln \frac{x + \sqrt{16+x^2}}{4}, \; x \in \mathbb{R}}$ (έχουμε δει πολλάκις πώς βγαίνει η συγκεκριμένη συνάρτηση οπότε δεν υπάρχει λόγος να τα ξανά γράψω)

ε)Έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{3}\ln \frac{x+\sqrt{16+x^2}}{4} \, {\rm d}x&= \int_0^3 f^{-1}(x)\, {\rm d}x\\ &\overset{u=f^{-1}(x)}{=\! =\! =\! =\! =\!}\int_{0}^{\ln 2}xf'(x)\, {\rm d}x \\ &= \left [ x f(x) \right ]_0^{\ln 2} - \int_{0}^{\ln 2}f(x)\, {\rm d}x\\ &= \ln 2f(\ln 2) - 2\int_{0}^{\ln 2} \left ( e^x - e^{-x} \right )\, {\rm d}x \\ &= 3\ln 2-1 \end{aligned} }$

M.S.Vovos · #18

...Μια λύση για το Δ ερώτημα της άσκησης 2...

δ) Η ευθεία $y=a^{2}$ τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

στα σημεία E,Z

, των οποίων οι τετμημένες είναι οι ρίζες της εξίσωσης $f(x)=a^{2}\Leftrightarrow x^{2}=a^{2}\Leftrightarrow x=\pm a$ .

Η ευθεία $y=(a+1)^{2}$ τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

στα σημεία H,T

, των οποίων οι τετμημένες είναι οι ρίζες της εξίσωσης $f(x)=(a+1)^{2}\Leftrightarrow x^{2}=(a+1)^{2}\Leftrightarrow x=\pm (a+1)$ .

Έστω $E_{1}$ το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη $C_{f}$ και την ευθεία $y=a^{2}$ , τότε:

Θεωρώ τη συνεχή συνάρτηση $H(x)=a^{2}-x^{2}$ , άρα και συνεχή στο διάστημα $[-a,a]\subseteq \mathbb{R}$ , με $H(x)\geq 0$ .

$\displaystyle E_{1}=\int_{-a}^{a}\left | H(x) \right |dx=\int_{-a}^{a}\left | a^{2}-x^{2} \right |dx=\int_{-a}^{a}\left (a^{2}-x^{2} \right )dx=\left [ a^{2}x-\frac{x^{3}}{3} \right ]_{-a}^{a}=\frac{4}{3}a^{2}$

Έστω $E_{2}$ το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη $C_{f}$ και την ευθεία $y=(a+1)^{2}$ , τότε:

$\displaystyle E_{2}=\int_{-(a+1)}^{a+1}\left | W(x) \right |dx$ , όπου $W(x)=(a+1)^{2}-f(x)=(a+1)^{2}-x^{2}$ .

Η συνάρτηση

είναι συνεχής στο [-(a+1),a+1]

, ως διαφορά συνεχών και ισχύει $W(x)\geq 0$ στο διάστημα αυτό.

Επομένως ,θα έχουμε:

$\displaystyle E_{2}=\int_{-(a+1)}^{a+1}\left ( (a+1)^{2}-x^{2} \right )dx=\left [ (a+1)^{2}x-\frac{x^{3}}{3} \right ]_{-(a+1)}^{(a+1)}=\frac{4}{3}(a+1)^{3}$

Το ζητούμενο εμβαδόν είναι το $E=E_{2}-E_{1}\Leftrightarrow$

$\displaystyle E=\frac{4}{3}(a+1)^{3}-\frac{4}{3}a^{3}=\frac{4}{3}\left ( 3a^{2}+3a+1 \right )$

Λάμπρος Μπαλός · #19

ΑΣΚΗΣΗ 8 (μία του Χρήστου Πατήλα )

Δίνεται η συνεχής στο

συνάρτηση

ώστε για κάθε $x \in R$ να ισχύει :

f (x)-f (x-1)=2x-4

(1) και $lim_{x \rightarrow 0} \frac {f (x)-cosx}{x^{2}} =-3$ (2)

α) Να υπολογίσετε τα f (0)

και

β) Να υπολογίσετε τα f'(0)

και

γ) Να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (0,1)$ ώστε $4f (\xi)=f (x_{1})+f (x_{2})+f (x_{3})$ για κάθε

$x_{1},x_{2},x_{3} \in [0,1]$

δ) Αν m,M

είναι αντίστοιχα το min

και το

της

στο διάστημα [0,1]

, να δείξετε ότι :

$4m+1 \leq f (x_{1})+f (x_{2})+f (x_{3}) \leq 4M-1$

Grosrouvre · #20

alexandrosvets έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2

Γ. Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης που απέχει την ελάχιστη απόσταση από το σημείο .

Για το Γ ερώτημα.

Έστω το τυχαίο σημείο Μ.Η εφαπτομένη στο σημείο αυτό είναιΗ ελάχιστη απόσταση είναι όταν ισχύει $\lambda _{\varepsilon \varphi _M}$ \displaystyle{\lambda _{AM}=-1\Leftrightarrow2x_0\frac{x_0^2}{x_0-3}=-1\Leftrightarrow}.Παρατηρούμε ότι για επαληθεύεται η εξίσωση,η οποία λύση είναι και

μοναδική καθώς αν θεωρήσουμε την $t(x)=2x^3+x-3,x\in\mathbb R,t'(x)=6x^2+1>0...$

Άρα το σημείο

Φιλικά,
Αλέξανδρος.

Μία ακόμη αντιμετώπιση του ερωτήματος Γ της Άσκησης 2

Θεωρούμε τη συνάρτηση

, με τύπο $g(x) = \sqrt{(x - 3)^2 + x^4}$ , για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Η συνάρτηση αυτή, ουσιαστικά μας δίνει την απόσταση κάθε σημείου M (x, y)

της παραβολής y = x^2

από το σημείο A (3,0)

Με τις γνωστές τεχνικές της ανάλυσης, αποδεικνύεται ότι η

παρουσιάζει ελάχιστο στο x =1

. Άρα, το ζητούμενο σημείο είναι το M (1,1)

.

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Μέλη σε σύνδεση