Υπαρξιακό

gradion · #1

Αν για την συνάρτηση

,ισχύει $\int_{6}^{18}f(x)dx=0$ ,να δείξετε ότι υπαρχουν:
α) $x_o \in (6,18): f(x_o)=0$
b) $x_1,x_2 \in(6,18): f(x_1)+f(x_2)=0$
c) $x_3\in(6,18): f(x_3)=2(x_3-12)$

#2

gradion έγραψε:Αν για την συνάρτηση ,ισχύει $\int_{6}^{18}f(x)dx=0$ ,να δείξετε ότι υπαρχουν:
α) $x_o \in (6,18): f(x_o)=0$
b) $x_1,x_2 \in(6,18): f(x_1)+f(x_2)=0$
c) $x_3\in(6,18): f(x_3)=2(x_3-12)$

α) Αν

για κάθε $x \in (6,18)$ τότε και το ολοκλήρωμα θα ήταν γνήσια θετικό (γνωστή άσκηση). Άτοπο. Όμοια αν f(x)<0

. Άρα η συνάρτηση κάπου μηδενίζεται.

β) Μπορούμε να πάρουμε x_1=x_2=x_0

αλλά υποθέτω ότι εννοείς $x_1\ne x_2$ . Προχωράμε με αυτή την προσθήκη. Αν η

δεν είναι ταυτοτικά

, οπότε τελειώσαμε, υπάρχουν $a,b\in (6,18)$ με f(a)>0>f(b)

. Θα ισχύει ένα από τα $0>-f(a)\ge f(b)$ ή $0>f(b)\ge -f(a)$ . Αν ισχύει ισότητα -f(a)=f(b)

, τελειώσαμε. Αλλιώς, η πρώτη περίπτωση γράφεται f(x_0) > -f(a) > f(b)

, οπότε υπάρχει

μεταξύ των των x_0, b

με

. Όμοια στην δεύτερη περίπτωση. Τα a,c

είναι τα ζητούμενα (τα οποία είναι διαφορετικά γιατί $f(a)\ne 0$ .

γ) Αν f(x) - 2(x-12) > 0

για κάθε $x \in (6,18)$ , τότε, όπως στο α), θα είχαμε $\int _6^{18}\left ( {f(x) - 2(x-12)}\right )\,dx > 0$ . Όμως $\int _6^{18} f(x) \,dx = \int _6^{18} 2(x-12)}\,dx = 0$ (το τελευταίο με άμεσο έλεγχο, άλλωστε η x-12

είναι συμμετρική ως προς το μέσο του ${6,\, ,18]) , οπότε θα καταλήγαμε στο άτοπο$ 0>0$ . Όμοια για την ανάποδη ανισότητα, και λοιπά.

M.

gradion · #3

Eυχαριστώ πολύ

#4

α) β τρόπος
Από ΘΜΤΟΛ είναι άμεσο
γ τρόπος
Θεωρούμε την συνάρτηση $F(x)=\int_{6}^{x}{f(t)dt}$ και ROLLE στο [6,18]

.

Grosrouvre · #5

Όλα αυτά, με την προϋπόθεση ότι η

είναι συνεχής στο [6,8]

.

Ή η καταγραφή του ολοκληρώματος και μόνον κάνει την

συνεχή;

#6

Grosrouvre έγραψε:Όλα αυτά, με την προϋπόθεση ότι η είναι συνεχής στο .

Ή η καταγραφή του ολοκληρώματος και μόνον κάνει την συνεχή;

Σε μαθήματα π.χ. στο Πανεπιστήμιο, η συνέχεια της

δεν έπεται: Στα Μαθηματικά Τμήματα
ορίζεται το ολοκλήρωμα σε μία ευρύτερη οικογένεια συναρτήσεων (τις Riemann ολοκληρώσιμες) που περιλαμβάνει
τις συνεχείς. Όμως στα Μαθηματικά του Σχολείου, το ολοκλήρωμα ορίζεται μόνο στις συνεχείς. Έτσι, αν η άσκηση απευθύνεται
σε μαθητές (όπως π.χ. ο παρών φάκελος) τότε η ολοκληρωσιμότητα εμπεριέχει στα συμφραζόμενα την συνέχεια.

#7

gradion έγραψε:Αν για την συνάρτηση ,ισχύει $\int_{6}^{18}f(x)dx=0$ ,να δείξετε ότι υπαρχουν:
α) $x_o \in (6,18): f(x_o)=0$
b) $x_1,x_2 \in(6,18): f(x_1)+f(x_2)=0$
c) $x_3\in(6,18): f(x_3)=2(x_3-12)$

Επανέρχομαι με την παρατήρηση ότι τα b), c) μπορούν να γίνουν εύκολα με χρήση του αποδεικτέου στο a). Ακριβέστερα, έστω οτι δείξαμε πως αν $\int_{a}^{b}f(x)dx=0$ τότε υπάρχει x_o

με

. Υπάρχουν πολλές αποδείξεις αυτού, για παράδειγμα οι απλές που προτείνει ο Χρήστος παραπάνω, και άλλες.

Tο c) έπεται από το παραπάνω: Η απόδειξη που έκανα στο προηγούμενο ποστ μου το δείχνει, όπου η συνάρτηση που το εφαρμόζουμε είναι η f(x)-2(x-12)

.

Ας δούμε απόδειξη του b).

Εφαρμόζουμε το παραπάνω στο $\int _6^{12}(f(x) + f(6+x))\, dx$ . Πράγματι, η αλλαγή μεταβλητής y=6+x

στο δεύτερο δίνει

$\int _6^{12}(f(x) + f(6+x))\, dx = \int _6^{12}f(x) dx + \int _6^{12} f(6+x)\, dx$

$= \int _6^{12}f(x) dx + \int _{12}^{18} f(y)\, dy= \int _6^{12}f(x) dx + \int _{12}^{18} f(x)\, dx =0$

Άρα υπάρχει $x_0\in (6, 12)$ με f(x_0) + f(6+x_0)=0

, όπως θέλαμε (με δώρο το x_2-x_1=6

).

Φιλικά,

Μιχάλης

Υπαρξιακό

Υπαρξιακό

Re: Υπαρξιακό

Re: Υπαρξιακό

Re: Υπαρξιακό

Re: Υπαρξιακό

Re: Υπαρξιακό

Re: Υπαρξιακό

Μέλη σε σύνδεση