Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

M.S.Vovos · #1

Ένα διαγώνισμα δικιάς μου κατασκευής, από μηδενική βάση. Λόγω αυτού, σχόλια είναι απαραίτητα και ιδέες αναγκαίες

.
Αφιερωμένο στον αγαπητό μαθηματικό και εξαιρετικό λύτη, Κακαβά Βασίλη!

erxmer · #2

To A3β είναι ασαφές (κρύβει θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής αλλα θέλει καλυτερη διατύπωση) και το Β4 είναι ασύνδετο με το θέμα Β (μεμονωμένο ερώτημα). Η συνάρτηση του θέματος Γ ως εκθετική θυμίζει αρκετά την προηγούμενη τάξη και θεωρώ απίθανο να την δούμε ποτε σε πανελλήνιες.

M.S.Vovos · #3

1) Το ασαφές δεν καταλαβαίνω που είναι.

2) Το ερώτημα Β4 συνδέεται απόλυτα με το θέμα Β.

3) Παρόμοια συνάρτηση έχει πέσει στις πανελλήνιες εξετάσεις τον Ιούνιου του 2004.

#4

To

πρέπει να είναι $\displaystyle{{\mathop{\rm Im}\nolimits} (z) = - 1 + \sqrt {|z{|^2} + 1} }$

M.S.Vovos · #5

Μπορείτε να εξηγήσετε, γιατί προκύπτει το

. Προσωπικά, μέσω τετραγωνισμού βγάζω ακριβώς αυτή τη σχέση που έχω δώσει.
Ευχαριστώ.

irakleios · #6

M.S.Vovos έγραψε:Μπορείτε να εξηγήσετε, γιατί προκύπτει το . Προσωπικά, μέσω τετραγωνισμού βγάζω ακριβώς αυτή τη σχέση που έχω δώσει.
Ευχαριστώ.

Aν θέσεις

τότε από την πρώτη σχέση έχεις a^2 = 2b - 1

.

Η τελευταία σου σχέση δίνει (b-1)^2 = a^2 + b^2 + 2

δηλαδή

. Άρα πρέπει να τοποθετήσεις -1 .

M.S.Vovos · #7

irakleios έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:Μπορείτε να εξηγήσετε, γιατί προκύπτει το . Προσωπικά, μέσω τετραγωνισμού βγάζω ακριβώς αυτή τη σχέση που έχω δώσει.
Ευχαριστώ.
Aν θέσεις τότε από την πρώτη σχέση έχεις .

Η τελευταία σου σχέση δίνει δηλαδή . Άρα πρέπει να τοποθετήσεις

Ας παραθέσω αυτό που έχω στο μυαλό μου (χωρίς να θέσω):

Είναι $\left | z-i \right |=Im(z)\Leftrightarrow \left | z-i \right |^{2}=\left (Im(z) \right )^{2}\Leftrightarrow (z-i)(\overline{z}+i)=Im^{2}(z)\Leftrightarrow |z|^{2}-i(\overline{z}-z)+1=Im^{2}(z)\Leftrightarrow 2Im(z)+1+|z|^{2}=Im^{2}(z)\Leftrightarrow \left (Im(z)-1 \right )^{2}=|z|^{2}+2\Leftrightarrow Im(z)=\pm \sqrt{|z|^{2}+1}+1$ .

Όμως, ισχύει ότι Im(z)> 0

και:

1η περίπτωση να είναι (+)

$|z|^{2}> 0\Leftrightarrow |z|^{2}+2> 1\Leftrightarrow \sqrt{|z|^{2}+2}> 1\Leftrightarrow \sqrt{|z|^{2}+2}+1> 2> 0\Leftrightarrow Im(z)> 0$

2η περίπτωση να είναι (-)

Προκύπτει ότι Im(z)< 0

που είναι άτοπο.

Άρα, τελικά, $Im(z)=1+\sqrt{|z|^{2}+2}$ .

irakleios · #8

M.S.Vovos έγραψε:
irakleios έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:Μπορείτε να εξηγήσετε, γιατί προκύπτει το . Προσωπικά, μέσω τετραγωνισμού βγάζω ακριβώς αυτή τη σχέση που έχω δώσει.
Ευχαριστώ.
Aν θέσεις τότε από την πρώτη σχέση έχεις .

Η τελευταία σου σχέση δίνει δηλαδή . Άρα πρέπει να τοποθετήσεις
Ας παραθέσω αυτό που έχω στο μυαλό μου (χωρίς να θέσω):

Είναι $\left | z-i \right |=Im(z)\Leftrightarrow \left | z-i \right |^{2}=\left (Im(z) \right )^{2}\Leftrightarrow (z-i)(\overline{z}+i)=Im^{2}(z)\Leftrightarrow |z|^{2}-i(\overline{z}-z)+1=Im^{2}(z)\Leftrightarrow 2Im(z)+1+|z|^{2}=Im^{2}(z)\Leftrightarrow \left (Im(z)-1 \right )^{2}=|z|^{2}+2\Leftrightarrow Im(z)=\pm \sqrt{|z|^{2}+1}+1$ .

Όμως, ισχύει ότι και:

1η περίπτωση να είναι
$|z|^{2}> 0\Leftrightarrow |z|^{2}+2> 1\Leftrightarrow \sqrt{|z|^{2}+2}> 1\Leftrightarrow \sqrt{|z|^{2}+2}+1> 2> 0\Leftrightarrow Im(z)> 0$

2η περίπτωση να είναι
Προκύπτει ότι που είναι άτοπο.

Άρα, τελικά, $Im(z)=1+\sqrt{|z|^{2}+2}$ .

Νομίζω ότι το λάθος βρίσκεται στις πράξεις . Είναι $-i(\overline{z}-z) = - 2Im(z)$ και όχι 2Im(z)

M.S.Vovos · #9

Σωστό... Δικιά μου απροσεξία

M.S.Vovos · #10

Επαναφορά, μετά από συζήτηση με το χρήστη erxmer. Παρακαλώ, τα μέλη του

να συμμετάσχουν στη λύση του διαγωνίσματος. Το ίδιο ισχύει και για τους μαθητές, που υπάρχουν εδώ

.
Ευχαριστώ θερμά,
Μάριος

Λάμπρος Μπαλός · #11

Θα ήταν εύκολο να δώσεις μόνο τα αποτελέσματα για τη συνάρτηση στο Γ θέμα περί μονοτονίας και ακροτάτων;

Επίσης στο Γ πάλι, το $a \in R$ είναι βέβαιο;

M.S.Vovos · #12

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Θα ήταν εύκολο να δώσεις μόνο τα αποτελέσματα για τη συνάρτηση στο Γ θέμα περί μονοτονίας και ακροτάτων;

Επίσης στο Γ πάλι, το $a \in R$ είναι βέβαιο;

Η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση $x_{0}=0$ . To α να είναι πραγματικός είναι βέβαιο.

Λάμπρος Μπαλός · #13

Α δουλεύουμε στο $[0,+ \infty)$ , τώρα το είδα.

Το

το τόνισα όχι μήπως και είναι μιγαδικός αλλά μήπως θετικό διάφορο του

.
Θα πρέπει δηλαδή να εξετάσουμε τί συμβαίνει αν είναι αρνητικό;
Τέλος, να ρωτήσω. Μήπως θέλει να το προσδιορίσουμε;
Δεν καταλαβαίνω πώς ακριβώς μπορούμε να το βρούμε. Εμένα και το a=7

μου κάνει.

M.S.Vovos · #14

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Α δουλεύουμε στο $[0,+ \infty)$ , τώρα το είδα.

Το το τόνισα όχι μήπως και είναι μιγαδικός αλλά μήπως θετικό διάφορο του .
Θα πρέπει δηλαδή να εξετάσουμε τί συμβαίνει αν είναι αρνητικό;
Τέλος, να ρωτήσω. Μήπως θέλει να το προσδιορίσουμε;
Δεν καταλαβαίνω πώς ακριβώς μπορούμε να το βρούμε. Εμένα και το μου κάνει.

Ζητάμε να βρούμε το πραγματικό αριθμό

, ώστε να ικανοποιείται η σχέση $g(x)\geq 0$ . Μέσω Fermat, δείχνουμε ότι a=6

(δείτε ξανά τις πράξεις σας), σαφώς, λοιπόν, φαίνεται ότι, για να ικανοποιείται η σχέση θα πρέπει το

να είναι θετικό και συγκεκριμένα 6. Άρα, δε χρειάζεται να μελετηθεί το

.

Λάμπρος Μπαλός · #15

Ποτέ Fermat σε άκρο διαστήματος.
Βασικά πώς σε λένε, για να μιλάω πιο άνετα;

M.S.Vovos · #16

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Ποτέ Fermat σε άκρο διαστήματος.
Βασικά πώς σε λένε, για να μιλάω πιο άνετα;

Ναι σωστά. Περιμένετε να γίνει μια διόρθωση και θα το συζητήσουμε.
Μάριος

Λάμπρος Μπαλός · #17

Οκ. Καλύτερα με προσωπικά μηνύματα. Μην πάρουμε τη στήλη των δημοσιεύσεων επ' ώμου.
Πάντως προς αποφυγή παρεξηγήσεων γράψε ότι a>0

και διάφορο του

.
Και επίσης πρόσεχε. Αν αλλάξεις το πεδίο ορισμού από $[0, + \infty)$ σε όλο το

, τσουλάει, αλλά να ξέρεις επηρεάζεται το επόμενο ερώτημα με μονοτονία και ακρότατα.
Δεν είμαι σίγουρος αλλά πρέπει να μετατρέπεται σε αγγούρι.

#18

Το

δεν λύνεται. Πρέπει να αλλάξει το σημείο K(1,0)

, π. χ σε

.

M.S.Vovos · #19

george visvikis έγραψε:Το δεν λύνεται. Πρέπει να αλλάξει το σημείο , π. χ σε .

Λύνεται, αλλά τα νούμερα δεν βγαίνουν καλά. Ψάχνω για καλύτερα νούμερα.

#20

M.S.Vovos έγραψε:
george visvikis έγραψε:Το δεν λύνεται. Πρέπει να αλλάξει το σημείο , π. χ σε .
Λύνεται, αλλά τα νούμερα δεν βγαίνουν καλά. Ψάχνω για καλύτερα νούμερα.

Δεν λύνεται γιατί πώς θα λύσεις την εξίσωση x^3+3x-2=0

;
Αν όμως βάλεις K(2,0)

, η εξίσωση λύνεται.

Επίσης το διαγώνισμα έχει αλλάξει τόσες φορές, ώστε κάποιες προηγούμενες αναρτήσεις δικές μου, δικές σου και του irakleios στο τότε

, είναι σαν μην έχουν κανένα νόημα.
Κάποιος που θα κατεβάσει τώρα το διαγώνισμα και θα διαβάσει τις προηγούμενες δημοσιεύσεις, θα νομίζει ότι έχουμε τρελαθεί όλοι.

Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Re: Προτεινόμενο Διαγώνισμα 2015

Μέλη σε σύνδεση