Ασκήσεις στην Ανάλυση!

#61

Άσκηση 20
Έστω $f : [0, 1] \to [0, 1]$ συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε $y \in [0, 1]$ και κάθε $\varepsilon > 0$ υπάρχει $x \in [0, 1]$ ώστε $|f(x) − y| < \varepsilon.$
α) Αν η

είναι συνεχής στο [0, 1],

να δείξετε ότι είναι επί.
β) Ισχύει το ίδιο αν δεν υποθέσουμε τη συνέχεια της

opener · #62

socrates έγραψε:Άσκηση 20
Έστω $f : [0, 1] \to [0, 1]$ συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε $y \in [0, 1]$ και κάθε $\varepsilon > 0$ υπάρχει $x \in [0, 1]$ ώστε $|f(x) − y| < \varepsilon.$
α) Αν η είναι συνεχής στο να δείξετε ότι είναι επί.
β) Ισχύει το ίδιο αν δεν υποθέσουμε τη συνέχεια της

Μια προσπάθεια, ελπίζω σωστή.(μιας και είναι περασμένη η ώρα)

α)
Έστω $x_0 \in [0,1]$ . Θα δείξουμε ότι υπάρχει $a \in [0,1]:f(a)=x_0$ .
Θέτοντας y=x_0

και $\epsilon = \frac{1}{n}$ διαδοχικά έχουμε ότι υπάρχουν $x_n \in [0,1] :|f(x_n)-x_0|< \epsilon=\frac{1}{n}, \forall n \in \mathbb{N}$ , άρα $f(x_n) \rightarrow x_0$ .

Αφού η x_n

είναι φραγμένη από Bolzano-Weierstrass υπάρχει υπακολουθία $x_{k_n}$ της x_n

ώστε $x_{k_n} \rightarrow a \in [0,1]$ . Αφού η f είναι συνεχής(στο a) από αρχή μεταφοράς έπεται: $f(x_{k_n}) \rightarrow f(a)$ . Όμως η $f(x_{k_n})$ είναι υπακολουθία της f(x_n)

, επομένως $f(x_{k_n}) \rightarrow x_0$ . Από μοναδικότητα ορίου έχουμε ότι f(a)=x_0

. Αφού το

ήταν τυχόν, η f είναι επί.

β)
Όχι.
Πχ. $f(x)=x,\forall x \in [0,1]-\{\frac{1}{2} \}$ και $f(\frac{1}{2})=0$ . Προφανώς η f ικανοποιεί όλα τα δεδομένα αλλά δεν είναι επί(δεν παίρνει την τιμή $\frac{1}{2}$ ).

nikoszan · #63

AlexandrosG έγραψε:Άσκηση 19

Να δείξετε ότι $\displaystyle{\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+...+\frac{x^2}{2!}+x+1 >0}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Μια άλλη προσέγγιση:
... $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{{x^{2n}}}}{{(2n)!}} + \frac{{{x^{2n - 1}}}}{{(2n - 1)!}} + ... + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + x + 1 > 0,x \in R.}$ .Είναι $\displaystyle{f'\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{{{x^{2n}}}}{{(2n)!}},\forall x \in R}$ $\displaystyle{:\left( 1 \right)}$

Eπειδή η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{R}$ και είναι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = + \infty }$ έπεται ότι η $\displaystyle{f}$ έχει ολικό ελάχιστο και έστω ότι $\displaystyle{\min f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)}$ ,
τότε σύμφωνα με το θ.Fermat ισχύει $\displaystyle{f'\left( {{x_0}} \right) = 0}$ .Είναι φανερό ότι $\displaystyle{{x_0} \ne 0}$ (αφού είναι $\displaystyle{{f'\left( 0 \right) = 1 \ne 0}}$ ).Έχουμε
$\displaystyle{f'\left( {{x_0}} \right) = 0\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} f\left( {{x_0}} \right) - \frac{{{x_0}^{2n}}}{{(2n)!}} = 0 \Rightarrow f\left( {{x_0}} \right) = \frac{{{x_0}^{2n}}}{{(2n)!}} > 0}$ .Επομένως για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ ισχύει
$\displaystyle{f\left( x \right) \ge \min f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) = \frac{{{x_0}^{2n}}}{{(2n)!}} > 0 \Rightarrow \frac{{{x^{2n}}}}{{(2n)!}} + \frac{{{x^{2n - 1}}}}{{(2n - 1)!}} + ... + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + x + 1 > 0}$
Ν.Ζ.

AlexandrosG · #64

Ακριβώς αυτές τις δύο αποδείξεις γνώριζα για την άσκηση 19!

Το παρακάτω πρόβλημα μάλλον το έχουμε ξαναδεί αλλά είναι πολύ ωραίο.

Άσκηση 21

Να δείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς a_1,a_2,...,a_k

ισχύει ότι $\displaystyle{\sum_{m,n=1}^k \frac{a_ma_n}{m+n} \geq 0}$ .

#65

AlexandrosG έγραψε: Άσκηση 21

Να δείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς ισχύει ότι $\displaystyle{\sum_{m,n=1}^k \frac{a_ma_n}{m+n} \geq 0}$ .

Είναι

$\displaystyle{\sum\limits_{m,n = 1}^k {\frac{{{a_m}{a_n}}}{{m + n}}} = \sum\limits_{m,n = 1}^k {\int\limits_0^1 {{a_m}{a_n}{t^{m + n - 1}}dt} } = \int\limits_0^1 {\left( {\sum\limits_{m,n = 1}^k {{a_m}{a_n}{t^{m + n - 1}}} } \right)dt} = \int\limits_0^1 {{{\left( {\sum\limits_{m = 1}^k {{a_m}{t^{m - \frac{1}{2}}}} } \right)}^2}} dt \ge 0}$

και το συμπέρασμα έπεται άμεσα.

AlexandrosG · #66

Πολύ ωραίο Βαγγέλη. Ένας φίλος μου όταν του είπα το πρόβλημα αυτό βρήκε μια επίσης υπέροχη λύση παρατηρώντας ότι αυτή η ανισότητα λέει ακριβώς ότι ο πίνακας $\displaystyle{\Big[\frac{1}{m+n}\Big]_{m,n=1}^k}$ είναι θετικά ημιορισμένος! Αυτό είναι πρόβλημα Γραμμικής Άλγεβρας τώρα το οποίο αφήνω σαν μια ακόμα άσκηση να την σκεφτεί όποιος θέλει. Αυτό δείχνει και ένα ακόμα ισχυρότερο αποτέλεσμα μάλιστα διότι οι μοναδικές ιδιότητες του πίνακα που χρειάζονται για να είναι θετικά ημιορισμένος είναι ότι έχει θετικά στοιχεία και ότι τα στοιχεία σε κάθε αντιδιαγώνιο είναι ίσα και φθίνουν από πάνω αριστερά εώς κάτω δεξιά.

AlexandrosG · #67

Το παρακάτω πρόβλημα μου αρέσει πάρα πολύ. Έχει κάποια ορολογία Άλγεβρας αλλά νομίζω ότι είναι κατάλληλο για αυτό το θέμα. Ελπίζω να σας αρέσει.

Άσκηση 22

Έστω R=C[0,1]

ο δακτύλιος των συνεχών συναρτήσεων στο [0,1]

. Ένα υποσύνολο

του

λέγεται ιδεώδες αν είναι υποδακτύλιος και έχει την ιδιότητα $f\cdot g \in I$ για κάθε $f \in R$ και $g \in I$ . Δείξτε ότι αν $I\neq R$ είναι ένα ιδεώδες του

τότε όλα τα στοιχεία του

έχουν κοινή ρίζα.

#68

Ως γνήσιος αλγεβριστής, δεν μπορώ να το αφήσω αναπάντητο ...

Το αποτέλεσμα ισχύει γενικότερα αν $\displaystyle{R = C\left( X \right)}$ είναι ο χώρος των συνεχών συναρτήσεων $\displaystyle{f:X \to \mathbb{R}}$ όπου

συμπαγής τοπολογικός χώρος.

Έστω $\displaystyle{I}$ ένα γνήσιο ιδεώδες του δακτυλίου

. Για κάθε $\displaystyle{f \in I,}$ θέτουμε

$\displaystyle{V\left( f \right): = \left\{ {x \in X:f\left( x \right) = 0} \right\}}$

και παρατηρούμε ότι το $\displaystyle{V\left( f \right)}$ είναι ένα μη κενό και κλειστό υποσύνολο του

. (Πράγματι, αν το $\displaystyle{V\left( f \right) =\varnothing, }$ τότε το

είναι αντιστρέψιμο στοιχείο του

και άρα $\displaystyle{I = R,}$ πράγμα άτοπο).

Αν ήταν $\displaystyle{\bigcap\limits_{f \in I} {V\left( f \right) = \varnothing} ,}$ τότε θέτοντας $\displaystyle {{X_f}: = X \setminus V\left( f \right) } }$ θα είχαμε ότι το $\displaystyle{{{X_f}}}$ είναι γνήσιο ανοικτό υποσύνολο του

για κάθε $\displaystyle{f \in I}$ και ότι

$\displaystyle{\bigcup\limits_{f \in I} {{X_f}} = X.}$

Επειδή ο

είναι συμπαγής, υπάρχουν θετικός ακέραιος

και $\displaystyle{{f_1},{f_2}, \ldots ,{f_n} \in I}$ ώστε να ισχύει

$\displaystyle{\bigcup\limits_{i = 1}^n {{X_{{f_i}}}} = X,}$

ή ισοδύναμα

$\displaystyle{\bigcap\limits_{i = 1}^n {V\left( {{f_i}} \right)} = \varnothing }$ .

Αλλά τότε είναι

$\displaystyle{V\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {f_i^2} } \right) = \bigcap\limits_{i = 1}^n {V\left( {{f_i}} \right)} = \varnothing,}$

οπότε το στοιχείο $\displaystyle{{\sum\limits_{i = 1}^n {f_i^2} }}$ του ιδεώδους

είναι αντιστρέψιμο, πράγμα άτοπο αφού $\displaystyle{I \ne R.}$

Επομένως, είναι $\displaystyle{\bigcap\limits_{f \in I} {V\left( f \right) \ne \varnothing} ,}$ οπότε υπάρχει $\displaystyle{{x \in X}}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{{f\left( x \right) = 0}}$ για κάθε $\displaystyle{f \in I.}$

BAGGP93 · #69

Γεια σας κύριε Μουρούκο.

Ένα τέτοιο ιδεώδες, που προτείνεται στην άσκηση του $\displaystyle{\rm{Alexandros G}}$ είναι το ακόλoυθο :

Αν $\displaystyle{Y\in \mathbb{P}(X)-\left\{\varnothing\right\}}$ , τότε το

$\displaystyle{I=\left\{f\in C\,(X,\mathbb{R}): f(x)=0\,,\forall\,x\in Y\right\}}$ είναι ιδέωδες του $\displaystyle{\left(C\,(X,\mathbb{R}),+,\cdot\right)}$ .

Κύριε Μουρούκο, μια απορία για την κλειστότητα του $\displaystyle{V(f)}$ : Το σύνολο αυτό είναι κλειστό υποσύνολο του

$\displaystyle{\left(X,\mathbb{T}\right)}$ , όπου $\displaystyle{\mathbb{T}}$ η τοπολογία του $\displaystyle{X}$

διότι $\displaystyle{V(f)=f^{-1}(\left\{0\right\})}$ , το $\displaystyle{\left\{0\right\}}$ είναι κλειστό στον

τοπολογικό χώρο $\displaystyle{\left(\mathbb{R},\left|\cdot\right|\right)}$ και η $\displaystyle{f}$ είναι

συνεχής απεικόνιση μεταξύ αυτών των τοπολογικών χώρων, σωστά ;

Αλέξανδρε, διόρθωσε στον ορισμό που δίνεις τη λέξη υποδακτύλιος με τη φράση υποομάδα της αβελιανής ομάδας $\displaystyle{\left(R,+\right)}$ .

AlexandrosG · #70

BAGGP93 έγραψε: Αλέξανδρε, διόρθωσε στον ορισμό που δίνεις τη λέξη υποδακτύλιος με τη φράση υποομάδα της αβελιανής ομάδας $\displaystyle{\left(R,+\right)}$ .

Γειά σου Βαγγέλη. Κάθε ιδέωδες είναι δακτύλιος άρα δεν υπάρχει λάθος στο πως έδωσα τον ορισμό. Αλλά καταλαβαίνω το σχόλιο σου, η κλειστότητα του πολλαπλασιασμού εμπεριέχεται στην ιδιότητα για κάθε $f \in I,g \in R$ ισχύει ότι $f\codt g\in I$ .

Το σύνολο V(f)

που όρισε ο Βαγγέλης είναι κλειστό ακριβώς για τον λόγο που γράφεις.

BAGGP93 · #71

Άσκηση 23

Μια άσκηση παρόμοια με την Άσκηση 22 του Αλέξανδρου.

Έστω ένας τοπολογικός χώρος $\displaystyle{\left(X,\mathbb{T}\right)}$ . Θεωρούμε τον δακτύλιο $\displaystyle{\left(C(X,\mathbb{R}),+,\cdot\right)}$ των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων επί

του $\displaystyle{X}$ . Να δείξετε ότι ο τοπολογικός χώρος $\displaystyle{\left(X,\mathbb{T}\right)}$ είναι συνεκτικός αν, και μόνο αν, ο δακτύλιος $\displaystyle{\left(C(X,\mathbb{R}),+,\cdot\right)}$

είναι συνεκτικός.

Σημείωση

Ένας δακτύλιος (προσεταιριστικός με μονάδα) καλείται συνεκτικός αν τα μόνα κεντρικά και ταυτοδύναμα στοιχεία του είναι τα τετριμμένα, τα $\displaystyle{0_{R},1_{R}}$ . Ένα στοιχείο το καλούμε κεντρικό

αν μετατίθεται με οποιοδήποτε άλλο στοιχείο του δακτυλίου.

AlexandrosG · #72

BAGGP93 έγραψε:Άσκηση 23

Μια άσκηση παρόμοια με την Άσκηση 22 του Αλέξανδρου.

Έστω ένας τοπολογικός χώρος $\displaystyle{\left(X,\mathbb{T}\right)}$ . Θεωρούμε τον δακτύλιο $\displaystyle{\left(C(X,\mathbb{R}),+,\cdot\right)}$ των σσυνεχών πραγματικών συναρτήσεων επί

του $\displaystyle{X}$ . Να δείξετε ότι ο τοπολογικός χώρος $\displaystyle{\left(X,\mathbb{T}\right)}$ είναι συνεκτικός αν, και μόνο αν, ο δακτύλιος $\displaystyle{\left(C(X,\mathbb{R}),+,\cdot\right)}$

είναι συνεκτικός.

Σημείωση

Ένας δακτύλιος (προσεταιριστικός με μονάδα) καλείται συνεκτικός αν τα μόνα κεντρικά και ταυτοδύναμα στοιχεία του είναι τα τετριμμένα, τα $\displaystyle{0_{R},1_{R}}$ . Ένα στοιχείο το καλούμε κεντρικό

αν μετατίθεται με οποιοδήποτε άλλο στοιχείο του δακτυλίου.

Πολύ ωραίο. Κατ'αρχάς ο δακτύλιος είναι αντιμεταθετικός οπότε όλα τα στοιχεία του είναι κεντρικά. Επίσης μια συνάρτηση είναι ταυτοδύναμη εδώ αν f^2=f

οπότε αν το σύνολο τιμών της είναι υποσύνολο του $\{0,1\}$ . Μετά από αυτή τη μετάφραση είναι φανερό τι ακριβώς γίνεται και η ισοδυναμία του προβλήματος είναι ο εξής γνωστός χαρακτηρισμός της συνεκτικότητας:

Πρόταση

Ένα τοπολογικός χώρος

είναι συνεκτικός αν και μόνο αν κάθε συνεχής συνάρτηση $f:X \to \{0,1\}$ είναι σταθερή.

Απόδειξη

Έστω ότι ο

είναι συνεκτικός και έστω μια τέτοια συνάρτηση

. Αν δεν είναι σταθερή τότε τα δύο σύνολα $f^{-1}(\{0\}),f^{-1}(\{1\})$ είναι μη κενά ανοικτά και διαμερίζουν τον

. Άτοπο αφού ο

είναι συνεκτικός.

Αντίστροφα, έστω μη διαμέριση $X=A \cup B$ του

σε δύο μη κενά ανοικτά υποσύνολα. Θεωρούμε τη συνάρτηση $f:X \to \{0,1\}$ που είναι

στο

και

στο

. Είναι άμεσο ότι αυτή η συνάρτηση είναι συνεχής. Άτοπο από την υπόθεση. Άρα δεν υπάρχει τέτοια διαμέριση και άρα ο

είναι συνεκτικός.

Αυτό είναι κυρίως πρόβλημα Τοπολογίας όπως το παραπάνω που έβαλα. Οπότε ας βάζουμε από εδώ και πέρα και προβλήματα Τοπολογίας εκτός από Απειροστικό Λογισμό και Θεωρία Μετρικών Χώρων. Επίσης προβλήματα Θεωρίας Μέτρου πιστεύω ότι ταιριάζουν. Αν διαφωνείτε μπορούμε να ανοίξουμε ένα ακόμα θέμα για τέτοια προβλήματα.

AlexandrosG · #73

Άσκηση 24

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\limsup_{n \to +\infty} \Bigg( \frac{a_1+a_{n+1}}{a_n}\Bigg)^n \geq e}$ για οποιαδήποτε ακολουθία θετικών αριθμών $(a_n)_{\in \mathbb{N}}$ .

#74

AlexandrosG έγραψε:Άσκηση 24

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\limsup_{n \to +\infty} \Bigg( \frac{a_1+a_{n+1}}{a_n}\Bigg)^n \geq e}$ για οποιαδήποτε ακολουθία θετικών αριθμών $(a_n)_{\in \mathbb{N}}$ .

Δύσκολη άσκηση! Θα είχε ενδιαφέρον μια λύση πιο βατή από εκείνη που έχει ο M.Hata στη σελίδες 8-9

του βιβλίου του Problems and solutions in real analysis.

#75

AlexandrosG έγραψε:Άσκηση 24

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\limsup_{n \to +\infty} \Bigg( \frac{a_1+a_{n+1}}{a_n}\Bigg)^n \geq e}$ για οποιαδήποτε ακολουθία θετικών αριθμών $(a_n)_{\in \mathbb{N}}$ .

Δίχως βλάβη της γενικότητας (αντικαθιστώντας την ακολουθία $\displaystyle{\left( {{a_n}} \right)}$ με την $\displaystyle{\left( {\frac{{{a_n}}}{{{a_1}}}} \right)}$ ), μπορούμε να υποθέσουμε ότι $\displaystyle{{a_1} = 1.}$

Θα δείξουμε το ζητούμενο με απαγωγή σε άτοπο. Έστω, λοιπόν, ότι

$\displaystyle{\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{1 + {a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right)^n} < e.}$

Επιλέγουμε έναν αριθμό $\displaystyle{t}$ τέτοιον, ώστε $\displaystyle{\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{1 + {a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right)^n} < t < e.}$

Επειδή $\displaystyle{\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{1 + {a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right)^n} < t}$ υπάρχει θετικός ακέραιος n_1

τέτοιος, ώστε για κάθε ακέραιο $\displaystyle{n \ge {n_1}}$ να ισχύει $\displaystyle{{\left( {\frac{{1 + {a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right)^n} < t.}$

Επειδή η ακολουθία $\displaystyle{\left( {{b_n}} \right)}$ με $\displaystyle{{b_n} = {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}}$ είναι γνησίως αύξουσα με $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = e,}$ υπάρχει θετικός ακέραιος n_2

τέτοιος, ώστε για κάθε ακέραιο $\displaystyle{n \ge {n_2}}$ να ισχύει $\displaystyle{t < {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}.}$

Αν, λοιπόν, θέσουμε $\displaystyle{{n_0} = \max \left\{ {{n_1},{n_2}} \right\}}$ τότε για κάθε ακέραιο $\displaystyle{n \ge {n_0}}$ θα ισχύει

$\displaystyle{{\left( {\frac{{1 + {a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right)^n} < {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} \Rightarrow \frac{{1 + {a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} < 1 + \frac{1}{n} = \frac{{n + 1}}{n} \Rightarrow \frac{1}{{n + 1}} + \frac{{{a_{n + 1}}}}{{n + 1}} < \frac{{{a_n}}}{n} \Rightarrow \frac{{{a_{n + 1}}}}{{n + 1}} - \frac{{{a_n}}}{n} < - \frac{1}{{n + 1}}.}$

Επομένως, αθροίζοντας τηλεσκοπικά την τελευταία ανισότητα, προκύπτει ότι για κάθε θετικό ακέραιο

ισχύει ότι

$\displaystyle{\frac{{{a_{{n_0} + m}}}}{{{n_0} + m}} < \frac{{{a_{{n_0}}}}}{{{n_0}}} - \sum\limits_{k = 1}^m {\frac{1}{{{n_0} + k}}} .}$

Επειδή $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^m {\frac{1}{{{n_0} + k}}} = + \infty }$ (αρμονική σειρά), υπάρχει θετικός ακέραιος

τέτοιος, ώστε $\displaystyle{\frac{{{a_{{n_0} + m}}}}{{{n_0} + m}} < 0,}$ οπότε και $\displaystyle{{{a_{{n_0} + m}} < 0}.}$ Αυτό, όμως, είναι άτοπο, οπότε το ζητούμενο δείχθηκε.

BAGGP93 · #76

Άσκηση 25 (Έυκολη αλλά ωραία)

Ας είναι $\displaystyle{\left(X,\mathbb{T}\right)}$ ένας τοπολογικός χώρος και $\displaystyle{f:X\longrightarrow X}$

μια συνάρτηση. Θεωρούμε την οικογένεια υποσυνόλων του $\displaystyle{X}$ , $\displaystyle{\mathbb{T}(f)=\left\{A\in\mathbb{P}(X): f(A)\subseteq A^{0}\right\}}$ .

1. Να δείξετε ότι η $\displaystyle{\mathbb{T}(f)}$ είναι μια τοπολογία στο σύνολο $\displaystyle{X}$ .

2. Αν $\displaystyle{f=Id_{X}}$ , τότε $\displaystyle{\mathbb{T}(f)=\mathbb{T}}$ .

3. Αν η $\displaystyle{f}$ είναι σταθερή, βρείτε την $\displaystyle{\mathbb{T}(f)}$ .

4. Αν $\displaystyle{f\circ f=Id_{X}}$ , τότε $\displaystyle{\mathbb{T}(f)\susbeteq \mathbb{T}}$ .

5. Αν $\displaystyle{x_1\,,x_2\in X\,,x_1\neq x_2}$ ( $\displaystyle{|X|\geq 3}$ ) και $\displaystyle{f:X\longrightarrow X}$

με $\displaystyle{f(x)=\begin{cases} x\,\,\,\,\,\,\,\,,x\in X-\left\{x_1\,,x_2\right\}\\ x_1\,\,\,\,\,,x=x_2\\ x_2\,\,\,\,\,,x=x_1 \end{cases}$

να βρείτε την $\displaystyle{\mathbb{T}(f)}$ .

Έχω προτείνει την ίδια άσκηση και στο $\displaystyle{\rm{mathimatikoi.org}}$ http://www.mathimatikoi.org/index.php/e ... n-topology

BAGGP93 · #77

Άσκηση 26

Έστω $\displaystyle{f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}}$ μια συνεχής συνάρτηση. Για $\displaystyle{a>0}$ ,

θεωρούμε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{0}^{\sqrt{a}}\dfrac{a\,f(x)}{x^2+a^2}\,\mathrm{d}x$ . Να υπολογίσετε,

αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{a\to 0^{+}}\int_{0}^{\sqrt{a}}\dfrac{a\,f(x)}{x^2+a^2}\,\mathrm{d}x$ .

#78

BAGGP93 έγραψε:Άσκηση 26

Έστω $\displaystyle{f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}}$ μια συνεχής συνάρτηση. Για $\displaystyle{a>0}$ ,

θεωρούμε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{0}^{\sqrt{a}}\dfrac{a\,f(x)}{x^2+a^2}\,\mathrm{d}x$ . Να υπολογίσετε,

αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{a\to 0^{+}}\int_{0}^{\sqrt{a}}\dfrac{a\,f(x)}{x^2+a^2}\,\mathrm{d}x$ .

Αν $m_a, \, M_a$ η ελάχιστη και, αντίστοιχα, η μέγιστη τιμή της

στο $[0, \sqrt a]$ τότε το δοθέν είναι μεταξύ του

$\displaystyle{\int_{0}^{\sqrt{a}}\dfrac{a\,M_a}{x^2+a^2}\,\mathrm{d}x = M_a \arctan \frac {1}{\sqrt a}$ και του
$\displaystyle{m_a \arctan \frac {1}{\sqrt a}$ . Όμως, καθώς $a\to 0+$ έχουμε $\displaystyle{\arctan \frac{1}{\sqrt a}\to \frac {\pi}{2}}$ , $\displaystyle{M_a\to f(0)}$ και $\displaystyle{m_a\to f(0)}$ .

Από ισοσυγκλίνουσες, το ζητούμενο όριο είναι $\displaystyle{\frac {1}{2}\pi f(0)}$ .

BAGGP93 · #79

Άσκηση 27

Την έχω προτείνει στον ίδιο φάκελο. Για να μην ξεχαστεί, την προτείνω και εδώ. Ελπίζω να αρέσει.

Έστω $\displaystyle{f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}}$ μια $\displaystyle{C^{1}}$ και $\displaystyle{2\,\pi}$ περιοδική συνάρτηση.

Αν $\displaystyle{\int_{0}^{2\,\pi}f(x)\,\mathrm{d}x=0}$ , τότε να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\int_{0}^{2\,\pi}\left(f^\prime(x)\right)^2\,\mathrm{d}x\geq \int_{0}^{2\,\pi}f^2(x)\,\mathrm{d}x$

με την ισότητα να ισχύει αν, και μόνο αν, υπάρχουν πραγματικές σταθερές $\displaystyle{a\,,b}$ τέτοιες, ώστε

$\displaystyle{f(x)=a\,\cos\,x+b\,\sin\,x}$ .

#80

BAGGP93 έγραψε:Άσκηση 27

Την έχω προτείνει στον ίδιο φάκελο. Για να μην ξεχαστεί, την προτείνω και εδώ. Ελπίζω να αρέσει.

Έστω $\displaystyle{f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}}$ μια $\displaystyle{C^{1}}$ και $\displaystyle{2\,\pi}$ περιοδική συνάρτηση.

Αν $\displaystyle{\int_{0}^{2\,\pi}f(x)\,\mathrm{d}x=0}$ , τότε να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\int_{0}^{2\,\pi}\left(f^\prime(x)\right)^2\,\mathrm{d}x\geq \int_{0}^{2\,\pi}f^2(x)\,\mathrm{d}x$

με την ισότητα να ισχύει αν, και μόνο αν, υπάρχουν πραγματικές σταθερές $\displaystyle{a\,,b}$ τέτοιες, ώστε

$\displaystyle{f(x)=a\,\cos\,x+b\,\sin\,x}$ .

Σίγουρα την έχουμε κάπου λυμένη στο φόρουμ, αλλά βλέπε εδώ για εξωτερική αναφορά.

Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μέλη σε σύνδεση