ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#61

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 3

Δύο φοιτητές γνωρίζουν ότι οικογένεια του φίλου τους του Δημήτρη έχει δύο παιδιά. Οι φοιτητές αυτοί θέλουν να βρούνε την πιθανότητα ο Δημήτρης να έχει αδερφό. Όσο όμως το σκέφτονται , τόσο δυσκολεύονται !

- Η πρώτη σκέψη είναι ότι στην περίπτωση αυτή ο δειγματικός χώρος είναι : $\Omega = \{ {\rm A}{\rm A},{\rm A}{\rm K},{\rm K}{\rm A}\}$ , διότι ξέρουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον αγόρι στην οικογένεια. Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι $\frac{1}{3}$ .

- Η δεύτερη σκέψη είναι ότι κανονικά η πιθανότητα είναι $\frac{1}{2}$ , διότι το φύλλο του δεύτερου παιδιού δεν εξαρτάται από το πρώτο (η πιθανότητα δεν έχει μνήμη !!!)

Πώς μπορούμε να βοηθήσουμε αυτούς τους δύο φοιτητές να επιλέξουν τη σωστή απάντηση ;

Μπάμπης

( Με παραίνεση του Θανάση, η πληροφορία ότι ο Δημήτρης είναι ο μεγαλύτερος έφυγε.Τον ευχαριστώ πολύ.)

Αυτό το πρόβλημα έχει μεγάλη ιστορία και πολλές δυσκολίες !

- Αν ξέρουμε ότι ο Δημήτρης είναι πχ το μεγαλύτερο παιδί, η πιθανότητα είναι $\frac {1}{2}$

- Αν ξέρουμε μόνο ότι η οικογένεια έχει ένα τουλάχιστον αγόρι, τότε η πιθανότητα είναι $\frac {1}{3}$ .

Αν τη διαφορά την καταλάβετε καλά, , θα ήθελα να ακούσω τη σκέψη σας για να την καταλάβω και γω καλά. Αλλιώς, ας μείνουμε μόνο στον Bayes που δίνει απλή και κατανοητή εξήγηση.

Μπάμπης

#62

See also:
http://mathematica.gr/forum/viewtopic.p ... F%81%CE%B9
http://mathematica.gr/forum/viewtopic.p ... F%81%CE%B9

#63

socrates έγραψε:Άσκηση 21
Πόσα μη κενά υποσύνολα του συνόλου $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ περιέχουν τον αριθμό που είναι ίσος με το πλήθος των στοιχείων του υποσυνόλου αυτού;

Έστω $A=\left\{1,2,3,..,n \right\}$ και $k\in A$ . Τα υποσύνολα του

που περιέχουν το

και έχουν πληθάριθμο

κατασκευάζονται αν σε κάθε υποσύνολο του $A-\left\{k \right\}$ που έχει πληθάριθμο k-1

προσθέσουμε το {k}

.Το πλήθος αυτών των υποσυνόλων είναι $\begin{pmatrix}n-1 \\k-1\end{pmatrix}$ .

Επομένως το ζητούμενο πλήθος είναι $\sum_{k=1}^{n}{\begin{pmatrix}n-1 \\k-1\end{pmatrix}}=2^{n-1}$

ealexiou · #64

Άσκηση 23
Να υπολογισθούν: α) το πλήθος των θετικών ακέραιων λύσεων και β) το πλήθος των μη αρνητικών ακέραιων λύσεων της εξίσωσης $( x_{1}+x_{2}+ x_{3}+x_{4}+x_{5})(y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4})=77$

#65

ealexiou έγραψε:Άσκηση 23
Να υπολογισθούν: α) το πλήθος των θετικών ακέραιων λύσεων και β) το πλήθος των μη αρνητικών ακέραιων λύσεων της εξίσωσης $( x_{1}+x_{2}+ x_{3}+x_{4}+x_{5})(y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4})=77$

Θεωρούμε την εξίσωση $\sum_{i=1}^{k}{x_i}=n$ όπου $k\leq n$ , θετικοί ακέραιοι.

1. Το πλήθος των λύσεών της $\left<x_1, x_2,...,x_k \right>$ , όπου

θετικοί ακέραιοι, είναι ίσο με το πλήθος των διαφορετικών τοποθετήσεων n μονάδων σε k κυψέλες, όπου καμία κυψέλη δεν μένει κενή. ( ν όμοια μπαλάκια σε κ κελιά, και κανένα κελί κενό), επομένως είναι $\begin{pmatrix} n-1\\k-1 \end{pmatrix}.$

2. Το πλήθος των λύσεών της $\left<x_1, x_2,...,x_k \right>$ , όπου

μη αρνητικοί ακέραιοι, είναι ίσο με το πλήθος των διαφορετικών τοποθετήσεων n μονάδων σε k κυψέλες, όπου κάποιες κυψέλες μπορούν να μείνουν κενές. ( ν όμοια μπαλάκια σε κ κελιά και με κενά κελιά), επομένως είναι $\begin{pmatrix} n+k-1\\k-1 \end{pmatrix}$

Τώρα η εξίσωση $\left(x_1+x_2+...x_7 \right)\left(y_1+y_2+y_3+y_4 \right)=77$ είναι ισοδύναμη με τα συστήματα

$x_1+x_2+...x_7=1 \wedge y_1+y_2+y_3+y_4 =77\right$

$x_1+x_2+...x_7=77 \wedge y_1+y_2+y_3+y_4 =1\right$

$x_1+x_2+...x_7=7 \wedge y_1+y_2+y_3+y_4 =11\right$

$x_1+x_2+...x_7=11 \wedge y_1+y_2+y_3+y_4 =7\right$

Από την πολλαπλασιαστική αρχή και τον προσθετικό νόμο βρίσκουμε το ζητούμενο πλήθος:

α. $0+0+ \begin{pmatrix}6\\ 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}10\\ 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}10\\ 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6\\ 3\end{pmatrix}$

β. $\begin{pmatrix}7\\ 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}80\\ 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}83\\ 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\ 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}13\\ 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}14\\ 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}17\\ 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}10\\ 3\end{pmatrix}$

(Υπέθεσα ότι η φράση της εκφώνησης: "... των θετικών ακέραιων λύσεων....", σημαίνει ότι οι τιμές των αγνώστων είναι θετικές και ακέραιες. Αναλόγως και για την φράση: "...μη αρνητικών ακέραιων λύσεων της εξίσωσης...")

ealexiou · #66

rek2 έγραψε:
ealexiou έγραψε:Άσκηση 23
Να υπολογισθούν: α) το πλήθος των θετικών ακέραιων λύσεων και β) το πλήθος των μη αρνητικών ακέραιων λύσεων της εξίσωσης $( x_{1}+x_{2}+ x_{3}+x_{4}+x_{5})(y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4})=77$
Τώρα η εξίσωση $\left(x_1+x_2+...x_7\right)\left(y_1+y_2+y_3+y_4 \right)=77$ είναι ισοδύναμη με τα συστήματα

$x_1+x_2+...x_7=1 \wedge y_1+y_2+y_3+y_4 =77\right$

$x_1+x_2+...x_7=77 \wedge y_1+y_2+y_3+y_4 =1\right$

$x_1+x_2+...x_7=7 \wedge y_1+y_2+y_3+y_4 =11\right$

$x_1+x_2+...x_7=11 \wedge y_1+y_2+y_3+y_4 =7\right$

Από την πολλαπλασιαστική αρχή και τον προσθετικό νόμο βρίσκουμε το ζητούμενο πλήθος:

α. $0+0+ \begin{pmatrix}6\\ 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}10\\ 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}10\\ 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6\\ 3\end{pmatrix}$

β. $\begin{pmatrix}7\\ 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}80\\ 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}83\\ 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\ 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}13\\ 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}14\\ 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}17\\ 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}10\\ 3\end{pmatrix}$

(Υπέθεσα ότι η φράση της εκφώνησης: "... των θετικών ακέραιων λύσεων....", σημαίνει ότι οι τιμές των αγνώστων είναι θετικές και ακέραιες. Αναλόγως και για την φράση: "...μη αρνητικών ακέραιων λύσεων της εξίσωσης...")

Σωστά υπέθεσες (εξάλλου έτσι είναι διατυπωμένο και στην βιβλιογραφία, αυτήν τουλάχιστον που έχω ο ίδιος) και σωστά μεν το προσέγγισες το θέμα, αλλά οι άγνωστοι $x_{6}$ και $x_{7}$ τι είναι;
(Υποθέτω ότι γράφτηκαν εκ παραδρομής και συνειρμικά με το

του $7 \times 11=77$ )

thanasis kopadis · #67

Ένα φυλλάδιο στη Συνδυαστική. (Θεωρία , Λυμένα παραδείγματα , Άλυτες ασκήσεις)
Αποθήκευση και από εδώ: http://thanasiskopadis.blogspot.gr/2014 ... -post.html

#68

Άσκηση 24
Το νόµισµα α έχει πιθανότητα $p \ (0<p<1 )$ να φέρει Κ και 1-p

να φέρει Γ, ενώ το νόµισµα β έχει πιθανότητα 1-p

να φέρει Κ και

να φέρει Γ. Τα νοµίσµατα α και β είναι φαινοµενικά όµοια, οπότε ένας παίκτης διαλέγει το ένα νόµισµα στην τύχη και το ρίχνει δύο ανεξάρτητες φορές. Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο παίκτης να φέρει τουλάχιστον µια φορά Κ, και να προσδιορίσετε την τιµή του

για την οποία η πιθανότητα αυτή µεγιστοποιείται.

Άσκηση 25
Κάθε πακέτο του απορρυπαντικού TIDE περιέχει ένα κουπόνι πάνω στο οποίο αναγράφεται ένα από τα γράμματα T,I,D ή Ε. Αν ο πελάτης συγκεντρώσει όλα τα γράμματα της λέξης TIDE, παίρνει ένα πακέτο δωρεάν. Όλα τα γράμματα έχουν την ίδια πιθανότητα να εμφανισθούν σε ένα πακέτο.
α) Να βρείτε την πιθανότητα να κερδίσει

πακέτα

ένας πελάτης που αγοράζει

πακέτα του απορρυπαντικού.
β) Ποιες οι αντίστοιχες πιθανότητες αν ο πελάτης αγοράσει

πακέτα του απορρυπαντικού; Να συγκρίνετε με τα αποτελέσματα του α).
γ) Αν η ίδια ακριβώς προσφορά ισχύει και για το απορρυπαντικό ΟΜΟ, να βρείτε
i) την πιθανότητα να κερδίσει

πακέτα

ένας πελάτης που αγοράζει

πακέτα του απορρυπαντικού.
ii) i) την πιθανότητα να κερδίσει

πακέτα

ένας πελάτης που αγοράζει

πακέτα του απορρυπαντικού. Να συγκρίνετε με τα αποτελέσματα του i).

ealexiou · #69

socrates έγραψε:Άσκηση 24
Το νόµισµα α έχει πιθανότητα $p \ (0<p<1 )$ να φέρει Κ και να φέρει Γ, ενώ το νόµισµα β έχει πιθανότητα να φέρει Κ και να φέρει Γ. Τα νοµίσµατα α και β είναι φαινοµενικά όµοια, οπότε ένας παίκτης διαλέγει το ένα νόµισµα στην τύχη και το ρίχνει δύο ανεξάρτητες φορές. Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο παίκτης να φέρει τουλάχιστον µια φορά Κ, και να προσδιορίσετε την τιµή του για την οποία η πιθανότητα αυτή µεγιστοποιείται..

Η πιθανότητα να επιλέξει τα α, όπως και να επιλέξει το β νόμισμα, αφού είναι φαινομενικά ίδια και η επιλογή νομίσματος γίνεται τυχαία είναι $\dfrac{1}{2}$ .
Μια φορά τουλάχιστον

, είτε με το α είτε με το β νόμισμα σημαίνει να φέρει

ή $K \Gamma$ ή $\Gamma K$
και η πιθανότητα μίας τουλάχιστον κορώνας είναι ίση με

-πιθανότητα να φέρει $\Gamma \Gamma$
Αν επιλέξει το α νόμισμα, η πιθανότητα μίας τουλάχιστον κορώνας είναι $P_{(a)}=1-(1-p)^2=2p-p^2$
Αν επιλέξει το β νόμισμα, η πιθανότητα μίας τουλάχιστον κορώνας είναι $P_{( \beta )}=1-p^2$
Άρα η συνολική πιθανότητα, αθροιστικά, είναι $P_{(a+ \beta )}$ $=\dfrac{1}{2}P_{(a)}+\dfrac{1}{2}P_{( \beta )}=$ $\dfrac{1}{2}(2p-p^2+1-p^2)\Rightarrow$
$P_{ (a+ \beta )}=p-p^2+\dfrac{1}{2}$
Η $P_{(a+ \beta )}$ μεγιστοποιείται όταν $\left(p-p^2+\dfrac{1}{2}\right)'=0 \Rightarrow$ $1-2p=0 \Rightarrow$ $p=\dfrac{1}{2}$
και η μέγιστη πιθανότητα είναι: $P_{(a+ \beta )max}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}$
(και $P_{(a+ \beta )min} \rightarrow \dfrac{1}{2}$ για $p \rightarrow1$ ή $p \rightarrow 0$ )

#70

Άσκηση 26

Μια εταιρεία θέλει να προσλάβει $\displaystyle{6}$ νέους υπαλλήλους.
Μετά την προκήρυξη των νέων θέσεων υπέβαλαν αίτηση $\displaystyle{8}$ γυναίκες και $\displaystyle{9}$ άνδρες.
Να υπολογιστούν οι διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους μπορεί να
γίνει η επιλογή των $\displaystyle{6}$ νέων υπάλληλων
α. αν δεν υπάρχει κανένας περιορισμός.
β. αν πρέπει να προσληφθούν ακριβώς $\displaystyle{2}$ γυναίκες.
γ. αν πρέπει να προσληφθούν τουλάχιστον $\displaystyle{2}$ άνδρες.
δ. αν υποθέσουμε ότι μεταξύ των υποψηφίων υπάρχει ένα αντρόγυνο και δεν επιτρέπεται η πρόσληψη και των δύο συζύγων συγχρόνως.

#71

socrates έγραψε:
Άσκηση 25
Κάθε πακέτο του απορρυπαντικού TIDE περιέχει ένα κουπόνι πάνω στο οποίο αναγράφεται ένα από τα γράμματα T,I,D ή Ε. Αν ο πελάτης συγκεντρώσει όλα τα γράμματα της λέξης TIDE, παίρνει ένα πακέτο δωρεάν. Όλα τα γράμματα έχουν την ίδια πιθανότητα να εμφανισθούν σε ένα πακέτο.
α) Να βρείτε την πιθανότητα να κερδίσει πακέτα ένας πελάτης που αγοράζει πακέτα του απορρυπαντικού.
β) Ποιες οι αντίστοιχες πιθανότητες αν ο πελάτης αγοράσει πακέτα του απορρυπαντικού; Να συγκρίνετε με τα αποτελέσματα του α).
γ) Αν η ίδια ακριβώς προσφορά ισχύει και για το απορρυπαντικό ΟΜΟ, να βρείτε
i) την πιθανότητα να κερδίσει πακέτα ένας πελάτης που αγοράζει πακέτα του απορρυπαντικού.
ii) i) την πιθανότητα να κερδίσει πακέτα ένας πελάτης που αγοράζει πακέτα του απορρυπαντικού. Να συγκρίνετε με τα αποτελέσματα του i).

Ας ξεκινήσω μια λύση σε... συνέχειες.
α) Ένας δειγματικός χώρος είναι το σύνολο των οχταγράμματων λέξεων που κατασκευάζονται με τα γράμματα T, I, D, E. Αυτός κατά τα γνωστά έχει πληθάριθμο 4^8

Ο πελάτης κερδίζει δύο πακέτα: Οι ευνοικές περιπτώσεις είναι όσες και οι αναγραμματισμοί της λέξης TIDETIDE: $\frac{8!}{(2!)^4}$ , επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι $p(2)=\frac{\frac{8!}{(2!)^4}}{4^4}$

Ο πελάτης κερδίζει ένα πακέτο: Οι ευνοικές περιπτώσεις μπορεί να μετρηθούν ως εξής: Πρέπει στις οκτώ θέσεις να εφανιστεί αναγραμματισμός της λέξης TIDE ( $\frac{8!}{(4!}$ ) και οι υπόλοιπες τέσσερες να συμπληρωθούν με μια διάταξη των γραμμάτων T,I,D,E ( 4^4

) αλλά όχι αναγραμματισμό της λέξης TIDE (

), γιατί ο πελάτης θα κέρδιζε δύο πακέτα. Συνολικά, λοιπόν, έχουμε $\frac{8!}{(4!}\left(4^4-4! \right)$ περιπτώσεις, οπότε $p(1)=\frac{\frac{8!}{(4!}\left(4^4-4! \right)}{4^8}$

O πελάτης δεν κερδίζει: p(0)=1-p(2)-p(1)=...
....

ealexiou · #72

exdx έγραψε:Άσκηση 26

Μια εταιρεία θέλει να προσλάβει $\displaystyle{6}$ νέους υπαλλήλους.
Μετά την προκήρυξη των νέων θέσεων υπέβαλαν αίτηση $\displaystyle{8}$ γυναίκες και $\displaystyle{9}$ άνδρες.
Να υπολογιστούν οι διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους μπορεί να
γίνει η επιλογή των $\displaystyle{6}$ νέων υπάλληλων
α. αν δεν υπάρχει κανένας περιορισμός.
β. αν πρέπει να προσληφθούν ακριβώς $\displaystyle{2}$ γυναίκες.
γ. αν πρέπει να προσληφθούν τουλάχιστον $\displaystyle{2}$ άνδρες.
δ. αν υποθέσουμε ότι μεταξύ των υποψηφίων υπάρχει ένα αντρόγυνο και δεν επιτρέπεται η πρόσληψη και των δύο συζύγων συγχρόνως.

α) Η επιλογή γίνεται ανεξάρτητα φύλλου, άρα μπορεί να γίνει με $\begin{pmatrix} 8+9\\6\end{pmatrix}=12376$ διαφορετικούς τρόπους.

β) Πρέπει να προσληφθούν ακριβώς

γυναίκες, άρα και ακριβώς

άνδρες. Η επιλογή των δύο γυναικών γίνεται με $\begin{pmatrix} 8\\2\end{pmatrix}$ τρόπους και των ανδρών με $\begin{pmatrix} 9\\4\end{pmatrix}$ τρόπους, άρα συνολικά η επιλογή των

νέων υπαλλήλων μπορεί να γίνει με $\begin{pmatrix} 8\\2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 9\\4\end{pmatrix}=28 \times126=3528$ τρόπους.

γ) Από το πλήθος των $\begin{pmatrix} 17\\6\end{pmatrix}=12376$ επιλογών πρόσληψης αφαιρούμε τις περιπτώσεις

και

άνδρες., ήτοι $\begin{pmatrix} 17\\6\end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 9\\0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 8\\6\end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 9\\1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 8\\5\end{pmatrix}=11844$ τρόποι πρόσληψης.

δ) Από το πλήθος των $\begin{pmatrix} 17\\6\end{pmatrix}=12376$ επιλογών πρόσληψης αφαιρούμε το πλήθος των περιπτώσεων που επιλέγονται και οι δύο σύζυγοι $\left(\begin{pmatrix} 15\\4\end{pmatrix}=1365\right)$ περιπτώσεις άρα με $\begin{pmatrix} 17\\6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 15\\4\end{pmatrix}=$ 12376-1365=11011

διαφορετικούς τρόπους.

#73

ΑΣΚΗΣΗ 27

Σε τελείως μαθητικά πλαίσια για να έχει ενδιαφέρον !

Πέντε αντρόγυνα κάθονται σε ένα παγκάκι.
α) Με πόσους τρόπους μπορούν να καθήσουν τα δέκα αυτά άτομα στο παγκάκι ;

β) Ποια είναι η πιθανότητα να καθήσουν στο παγκάκι εναλλάξ άνδρες-γυναίκες ή γυναίκες- άνδρες ;

γ) Ποια είναι η πιθανότητα κάθε άνδρας να κάθεται δίπλα στη γυναίκα του;

#74

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 27

Σε τελείως μαθητικά πλαίσια για να έχει ενδιαφέρον !

Πέντε αντρόγυνα κάθονται σε ένα παγκάκι.
α) Με πόσους τρόπους μπορούν να καθήσουν τα δέκα αυτά άτομα στο παγκάκι ;

β) Ποια είναι η πιθανότητα να καθήσουν στο παγκάκι εναλλάξ άνδρες-γυναίκες ή γυναίκες- άνδρες ;

γ) Ποια είναι η πιθανότητα κάθε άνδρας να κάθεται δίπλα στη γυναίκα του;

α) Όσες οι μεταθέσεις των $\displaystyle{\,10}$ αντικειμένων , δηλαδή $\displaystyle{10! = 3628800}$
β) Οι άνδρες κάθονται στις περιττές θέσεις με $\displaystyle{5!}$ και οι γυναίκες στις άρτιες με $\displaystyle{5!}$ τρόπους , άρα συνολικά $\displaystyle{5! \cdot 5!}$
Αν γίνει το αντίστροφο οι τρόποι είναι ίδιοι .
Συνολικά είναι $\displaystyle{2 \cdot 5! \cdot 5!}$
Επομένως η πιθανότητα είναι $\displaystyle{\frac{{2 \cdot 5! \cdot 5!}}{{10!}} = \frac{1}{{126}}}$
γ) Αντιμετωπίζουμε κάθε ζευγάρι σαν ένα άτομο που έχει $\displaystyle{5!}$ τρόπους για να καθήσει και επίσης το κάθε ζευγάρι κάθεται με δύο τρόπους , σαν Α-Γ ή Γ-Α
Οι συνολικοί τρόποι είναι $\displaystyle{5! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! = 3840}$
Η πιθανότητα είναι : $\displaystyle{\frac{{3840}}{{3628800}} = \frac{1}{{945}}}$

Να προσθέσω δύο ερωτήματα

δ) Ποια είναι η πιθανότητα , ένα συγκεκριμένο ζευγάρι να κάθονται μαζί ;
ε) Ποια είναι η πιθανότητα , δυο συγκεκριμένοι άνθρωποι να μην κάθονται μαζί ;

ealexiou · #75

exdx έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 27

Σε τελείως μαθητικά πλαίσια για να έχει ενδιαφέρον !

Πέντε αντρόγυνα κάθονται σε ένα παγκάκι.
α) Με πόσους τρόπους μπορούν να καθήσουν τα δέκα αυτά άτομα στο παγκάκι ;

β) Ποια είναι η πιθανότητα να καθήσουν στο παγκάκι εναλλάξ άνδρες-γυναίκες ή γυναίκες- άνδρες ;

γ) Ποια είναι η πιθανότητα κάθε άνδρας να κάθεται δίπλα στη γυναίκα του;
Να προσθέσω δύο ερωτήματα
δ) Ποια είναι η πιθανότητα , ένα συγκεκριμένο ζευγάρι να κάθονται μαζί ;
ε) Ποια είναι η πιθανότητα , δυο συγκεκριμένοι άνθρωποι να μην κάθονται μαζί ;

δ) Ένα συγκεκριμένο ζευγάρι μπορεί να καθήσει μαζί σε

θέσεις με

τρόπους στην κάθε μία θέση και οι υπόλοιποι

, για την κάθε μία θέση του συγκεκριμένου ζευγαριού, να καθήσουν με

τρόπους. Συνολικά με $9 \times2 \times8!=725760$ τρόπους
Η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι $\dfrac{725760}{3628800}=\dfrac{1}{5}$
ε) Η πιθανότητα δυο συγκεκριμένοι άνθρωποι να κάθονται μαζί είναι ομοίως με παραπάνω $\dfrac{1}{5}$ . Δύο συγκεκριμένοι άνθρωποι ή θα κάθονται μαζί ή δεν θα κάθονται μαζί, άρα η πιθανότητα να μην κάθονται μαζί είναι $1- \dfrac{1}{5}= \dfrac{4}{5}$

#76

ealexiou έγραψε:
exdx έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 27

Σε τελείως μαθητικά πλαίσια για να έχει ενδιαφέρον !

Πέντε αντρόγυνα κάθονται σε ένα παγκάκι.
α) Με πόσους τρόπους μπορούν να καθήσουν τα δέκα αυτά άτομα στο παγκάκι ;

β) Ποια είναι η πιθανότητα να καθήσουν στο παγκάκι εναλλάξ άνδρες-γυναίκες ή γυναίκες- άνδρες ;

γ) Ποια είναι η πιθανότητα κάθε άνδρας να κάθεται δίπλα στη γυναίκα του;
Να προσθέσω δύο ερωτήματα
δ) Ποια είναι η πιθανότητα , ένα συγκεκριμένο ζευγάρι να κάθονται μαζί ;
ε) Ποια είναι η πιθανότητα , δυο συγκεκριμένοι άνθρωποι να μην κάθονται μαζί ;

δ) Ένα συγκεκριμένο ζευγάρι μπορεί να καθήσει μαζί σε θέσεις με τρόπους στην κάθε μία θέση και οι υπόλοιποι , για την κάθε μία θέση του συγκεκριμένου ζευγαριού, να καθήσουν με τρόπους. Συνολικά με $9 \times2 \times8!=725760$ τρόπους
Η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι $\dfrac{725760}{3628800}=\dfrac{1}{5}$
ε) Η πιθανότητα δυο συγκεκριμένοι άνθρωποι να κάθονται μαζί είναι ομοίως με παραπάνω $\dfrac{1}{5}$ . Δύο συγκεκριμένοι άνθρωποι ή θα κάθονται μαζί ή δεν θα κάθονται μαζί, άρα η πιθανότητα να μην κάθονται μαζί είναι $1- \dfrac{1}{5}= \dfrac{4}{5}$

Γιώργο και Ευθύμη, καλησπέρα !

Ακριβώς έτσι θέλω να οργανώσω το μάθημα των πιθανοτήτων : Πέντε το πολύ πιθανοθεωρητικά μοντέλα με όλα τα δυνατά ερωτήματα !

Αν από το 15 κάνουμε πιθανότητες , εκεί θα είναι τα θέματα !

Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις !

Μπάμπης

#77

exdx έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 27

Σε τελείως μαθητικά πλαίσια για να έχει ενδιαφέρον !

Πέντε αντρόγυνα κάθονται σε ένα παγκάκι.
α) Με πόσους τρόπους μπορούν να καθήσουν τα δέκα αυτά άτομα στο παγκάκι ;

β) Ποια είναι η πιθανότητα να καθήσουν στο παγκάκι εναλλάξ άνδρες-γυναίκες ή γυναίκες- άνδρες ;

γ) Ποια είναι η πιθανότητα κάθε άνδρας να κάθεται δίπλα στη γυναίκα του;
α) Όσες οι μεταθέσεις των $\displaystyle{\,10}$ αντικειμένων , δηλαδή $\displaystyle{10! = 3628800}$
β) Οι άνδρες κάθονται στις περιττές θέσεις με $\displaystyle{5!}$ και οι γυναίκες στις άρτιες με $\displaystyle{5!}$ τρόπους , άρα συνολικά $\displaystyle{5! \cdot 5!}$
Αν γίνει το αντίστροφο οι τρόποι είναι ίδιοι .
Συνολικά είναι $\displaystyle{2 \cdot 5! \cdot 5!}$
Επομένως η πιθανότητα είναι $\displaystyle{\frac{{2 \cdot 5! \cdot 5!}}{{10!}} = \frac{1}{{126}}}$
γ) Αντιμετωπίζουμε κάθε ζευγάρι σαν ένα άτομο που έχει $\displaystyle{5!}$ τρόπους για να καθήσει και επίσης το κάθε ζευγάρι κάθεται με δύο τρόπους , σαν Α-Γ ή Γ-Α
Οι συνολικοί τρόποι είναι $\displaystyle{5! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! = 3840}$
Η πιθανότητα είναι : $\displaystyle{\frac{{3840}}{{3628800}} = \frac{1}{{945}}}$

Να προσθέσω δύο ερωτήματα

δ) Ποια είναι η πιθανότητα , ένα συγκεκριμένο ζευγάρι να κάθονται μαζί ;
ε) Ποια είναι η πιθανότητα , δυο συγκεκριμένοι άνθρωποι να μην κάθονται μαζί ;

Καλημέρα !

Και επειδή ...τρώγοντας έρχεται η όρεξη, να προσθέσω ακόμα δύο ερωτήματα :

στ) Να βρεθεί η πιθανότητα όλες οι γυναίκες να κάθονται μαζί , δίπλα-δίπλα.

ζ) Να βρεθεί η πιθανότητα τόσο οι άνδρες όσο και οι γυναίκες να κάθονται μαζί, δηλαδή να μην παρεμβάλεται άνδρας ανάμεσα σε δύο γυναίκες και το αντίστροφο.

#78

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
exdx έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 27

Σε τελείως μαθητικά πλαίσια για να έχει ενδιαφέρον !

Πέντε αντρόγυνα κάθονται σε ένα παγκάκι.
α) Με πόσους τρόπους μπορούν να καθήσουν τα δέκα αυτά άτομα στο παγκάκι ;

β) Ποια είναι η πιθανότητα να καθήσουν στο παγκάκι εναλλάξ άνδρες-γυναίκες ή γυναίκες- άνδρες ;

γ) Ποια είναι η πιθανότητα κάθε άνδρας να κάθεται δίπλα στη γυναίκα του;
α) Όσες οι μεταθέσεις των $\displaystyle{\,10}$ αντικειμένων , δηλαδή $\displaystyle{10! = 3628800}$
β) Οι άνδρες κάθονται στις περιττές θέσεις με $\displaystyle{5!}$ και οι γυναίκες στις άρτιες με $\displaystyle{5!}$ τρόπους , άρα συνολικά $\displaystyle{5! \cdot 5!}$
Αν γίνει το αντίστροφο οι τρόποι είναι ίδιοι .
Συνολικά είναι $\displaystyle{2 \cdot 5! \cdot 5!}$
Επομένως η πιθανότητα είναι $\displaystyle{\frac{{2 \cdot 5! \cdot 5!}}{{10!}} = \frac{1}{{126}}}$
γ) Αντιμετωπίζουμε κάθε ζευγάρι σαν ένα άτομο που έχει $\displaystyle{5!}$ τρόπους για να καθήσει και επίσης το κάθε ζευγάρι κάθεται με δύο τρόπους , σαν Α-Γ ή Γ-Α
Οι συνολικοί τρόποι είναι $\displaystyle{5! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! = 3840}$
Η πιθανότητα είναι : $\displaystyle{\frac{{3840}}{{3628800}} = \frac{1}{{945}}}$

Να προσθέσω δύο ερωτήματα

δ) Ποια είναι η πιθανότητα , ένα συγκεκριμένο ζευγάρι να κάθονται μαζί ;
ε) Ποια είναι η πιθανότητα , δυο συγκεκριμένοι άνθρωποι να μην κάθονται μαζί ;
Καλημέρα !

Και επειδή ...τρώγοντας έρχεται η όρεξη, να προσθέσω ακόμα δύο ερωτήματα :

στ) Να βρεθεί η πιθανότητα όλες οι γυναίκες να κάθονται μαζί , δίπλα-δίπλα.

ζ) Να βρεθεί η πιθανότητα τόσο οι άνδρες όσο και οι γυναίκες να κάθονται μαζί, δηλαδή να μην παρεμβάλεται άνδρας ανάμεσα σε δύο γυναίκες και το αντίστροφο.

στ)
Αντιμετωπίζουμε τις 5 γυναίκες σαν ένα άτομο, οι τρόποι που μπορούν να καθίσουν είναι $6! \cdot 5!$ ,άρα η πιθανότητα είναι $\dfrac{6!\cdot 5!}{10!}$

ζ)

ένα άτομο όλοι οι άντρες κι ένα οι γυναίκες ,κάθονται με $2! \cdot 5! \cdot 5!$ τρόπους ,άρα η πιθανότητα είναι $\dfrac{2! \cdot 5! \cdot 5! }{10!}$

ealexiou · #79

ΑΣΚΗΣΗ 28

Σε ένα δοχείο υπάρχουν

άσπρα και

μαύρα σφαιρίδια. Παίρνουμε τυχαία

σφαιρίδια. Ποια η πιθανότητα:
α) Να πάρουμε τουλάχιστον

άσπρα;
β) Να πάρουμε

άσπρα και

μαύρα;
γ) Να πάρουμε τουλάχιστον "δύο άσπρα και ένα μαύρο";
δ) Είναι τα γεγονότα A, B

ανεξάρτητα, όπου

{ τουλάχιστον δύο άσπρα},

{ τουλάχιστον δύο άσπρα και ένα μαύρο};

Έγινε διόρθωση στο β) ερώτημα

#80

ealexiou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 28

Σε ένα δοχείο υπάρχουν άσπρα και μαύρα σφαιρίδια. Παίρνουμε τυχαία σφαιρίδια. Ποια η πιθανότητα:
α) Να πάρουμε τουλάχιστον άσπρα;
β) Να πάρουμε άσπρα και μαύρο;
γ) Να πάρουμε τουλάχιστον "δύο άσπρα και ένα μαύρο";
δ) Είναι τα γεγονότα ανεξάρτητα, όπου { τουλάχιστον δύο άσπρα}, { τουλάχιστον δύο άσπρα και ένα μαύρο};

Μια ερώτηση: Τι εννοούμε στο (γ); Τα εισαγωγικά μπερδεύουν κάπως...

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Μέλη σε σύνδεση