f και αντίστροφη

Andreas Kount · #1

Έστω μία συνάρτηση $\displaystyle{f}$ $\displaystyle{"1-1"}$ με πεδίο ορισμού το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ και σύνολο τιμών το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ . Εάν η γραφική παράσταση της

δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα x'x

, ισχύει ότι και η γραφική παράσταση της αντίστροφής της δεν έχει; Εάν ναι πως το αποδεικνύουμε;

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

#2

Andreas Kount έγραψε:Έστω μία συνάρτηση f "1-1" με πεδίο ορισμού το R και σύνολο τιμών το R. Εάν η γραφική παράσταση της f δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα x'x, ισχύει ότι και η γραφική παράσταση της αντίστροφής της δεν έχει; Εάν ναι πως το αποδεικνύουμε;

Δεν ισχύει. Π.χ. η γραφική παράσταση της e^x

δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα των

αλλά η αντίστροφή της ln x

τον τέμνει στο (1,0)

.

Atlas · #3

Υπάρχει αντίφαση στην πρόταση σου.
Δεν είναι δυνατόν η

να έχει σύνολο τιμών το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ και να μην τέμνει τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ η γραφική παράσταση.

Θωμάς Ποδηματάς · #4

Andreas Kount έγραψε:Έστω μία συνάρτηση f "1-1" με πεδίο ορισμού το R και σύνολο τιμών το R. Εάν η γραφική παράσταση της f δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα x'x, ισχύει ότι και η γραφική παράσταση της αντίστροφής της δεν έχει; Εάν ναι πως το αποδεικνύουμε;

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Καλησπέρα. Δε γίνεται να έχει Σύνολο Τιμών το $\mathbb{R}$ και να μην παίρνει την τιμή

... Σίγουρα θα υπάρχει $x_0 \in \mathbb{R}\,\,:\,\,f(x_0)=0$ . Αν λοιπόν μια συνάρτηση έχει Πεδίο Ορισμού και Τιμών το $\mathbb{R}$ και είναι και αντιστρέψιμη, τότε σίγουρα τόσο αυτή (η

) όσο και αντίστροφή της ( $f^{-1}$ ) έχουν μοναδική ρίζα.

Τέλος, αν μια αντιστρέψιμη απλά ορίζεται στο

, τότε :

$f(0)=y_0 \Leftrightarrow f^{-1}(y_0)=0$

οπότε το y_0=f(0)

είναι ρίζα της αντίστροφης...

Ελπίζω να βοήθησα...

Καλό βράδυ στην εκλεκτή παρέα του

Θωμάς

#5

Το ότι η εκφώνηση γράφει "σύνολο τιμών το $\mathbb R$ " το είχα παρατηρήσει και εγώ. Το θεώρησα όμως τυπογραφική αβλεψία λόγω του νεαρού της ηλικίας του ερωτώντα και ότι στην πραγματικότητα ήθελε να γράψει "σύνολο τιμών στο $\mathbb R$ ". Γι' αυτό απάντησα επί της ουσίας.

Μ.

Andreas Kount · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε:Το ότι η εκφώνηση γράφει "σύνολο τιμών το $\mathbb R$ " το είχα παρατηρήσει και εγώ. Το θεώρησα όμως τυπογραφική αβλεψία λόγω του νεαρού της ηλικίας του ερωτώντα και ότι στην πραγματικότητα ήθελε να γράψει "σύνολο τιμών στο $\mathbb R$ ". Γι' αυτό απάντησα επί της ουσίας.

Μ.

Σας ευχαριστώ πολύ για τη βοήθεια. Όντως πρόκειται για "τυπογραφική αβλεψιά" όπως αναφέρατε

Andreas Kount · #7

Σας ευχαριστώ πολύ όλους για τη βοήθειά σας!!

#8

Να το δούμε και έτσι ;

Έστω μια συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ που είναι 1 - 1

και έχει σύνολο τιμών ${\mathbb{R}^*}$ .

Ισχύει ότι η ${C_{{f^{ - 1}}}}$ δεν τέμνει τον οριζόντιο άξονα ;

Νίκος

Atlas · #9

Έστω ότι για κάθε $\displaystyle{y \ne 0}$ είναι $\displaystyle{{{\text{f}}^{ - 1}}{\text{(}}y) \ne 0}$
Τότε για κάθε $\displaystyle{y \ne 0}$ είναι $\displaystyle{y \ne f(0){\text{ }}}$ .Άρα $\displaystyle{{\text{ }}f(0) = 0{\text{ }}}$ .
Άτοπο . Άρα υπάρχει $\displaystyle{{\text{ }}{{\text{y}}_o} \ne 0{\text{ : }}{{\text{f}}^{ - 1}}{\text{(}}{{\text{y}}_o}{\text{)}} = {\text{0}}}$

#10

Doloros έγραψε:Να το δούμε και έτσι ;

Έστω μια συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ που είναι και έχει σύνολο τιμών ${\mathbb{R}^*}$ .

Ισχύει ότι η ${C_{{f^{ - 1}}}}$ δεν τέμνει τον οριζόντιο άξονα ;

Νίκος

Νίκο, θα απαντήσω σκόπιμα ...βιαστικά ,ως μαθητής

, στην ωραία ερώτηση που έθεσες για να γίνει διάλογος σε μια υποθετική τάξη(εδώ το ερώτημα έχει ήδη απαντηθεί) :

'' Κύριε, αφού η αντίστροφη έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού της συνάρτησης , που εδώ είναι όλο το $\mathbb R$ , η γραφική παράσταση της αντίστροφης τέμνει σίγουρα τον άξονα x'x

'' .

Έχει δίκαιο ο μαθητής αυτός ;

#11

Doloros έγραψε:Να το δούμε και έτσι ;

Έστω μια συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ που είναι και έχει σύνολο τιμών ${\mathbb{R}^*}$ .

Ισχύει ότι η ${C_{{f^{ - 1}}}}$ δεν τέμνει τον οριζόντιο άξονα ;

Νίκος

Νίκο, το παράδειγμα που έδωσα παραπάνω απαντά στο ερώτημά σου.

f και αντίστροφη

f και αντίστροφη

Re: f και αντίστροφη

Re: f και αντίστροφη

Re: f και αντίστροφη

Re: f και αντίστροφη

Re: f και αντίστροφη

Re: f και αντίστροφη

Re: f και αντίστροφη

Re: f και αντίστροφη

Re: f και αντίστροφη

Re: f και αντίστροφη

Μέλη σε σύνδεση