Άρρητο σύστημα (4)

hsiodos · #1

Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\sqrt {5x^2 + 2xy + 2y^2 } + \sqrt {2x^2 + 2xy + 5y^2 } = 3(x + y)} \hfill \\\\ {\sqrt {4x + 1} + 2\sqrt[3]{{13x + 15y + 8}} = 2xy + y + 1} \hfill \\ \end{array}} \right. }$

ΔΙΟΡΘΩΣΗ

Στην κυβική ρίζα είναι $\displaystyle{15y}$ αντί για $\displaystyle{16y}$ που είχε γραφτεί από παραδρομή. Ζητώ συγνώμη για την ταλαιπωρία.

#2

hsiodos έγραψε:Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\sqrt {5x^2 + 2xy + 2y^2 } + \sqrt {2x^2 + 2xy + 5y^2 } = 3(x + y)} \hfill \\\\ {\sqrt {4x + 1} + 2\sqrt[3]{{13x + 15y + 8}} = 2xy + y + 1} \hfill \\ \end{array}} \right. }$

Από Minkowski είναι (επειδή $\displaystyle{x+y\geq 0}$ )

$\displaystyle{\sqrt {5x^2 + 2xy + 2y^2 } + \sqrt {2x^2 + 2xy + 5y^2 }=\sqrt{(2x)^2+y^2+(x+y)^2}+\sqrt{(2y)^2+x^2+(x+y)^2}\geq }$

$\displaystyle{\geq \sqrt{(2x+2y)^2+(x+y)^2+(2x+2y)^2}=3(x+y).}$

Άρα ισχύει ως ισότητα. Από την αναλογία των τριάδων

$\displaystyle{(2x,y,x+y),(2y,x,x+y)}$

προκύπτει $\displaystyle{x=y.}$

Απομένει να λύσουμε την εξίσωση

$\displaystyle{2x^2+x+1=\sqrt{4x+1}+2\sqrt[3]{28x+8}.}$

Ίσως δε βλέπω κάτι ευκολότερο, αλλά μια λύση είναι η παρακάτω:

Από ΑΜ-ΓΜ είναι

$\displaystyle{2x^2+x+1=\sqrt{4x+1}+2\sqrt[3]{28x+8}\leq \frac{4x+10}{6}+\frac{28x+136}{24}\implies 12x^2-5x-38\leq 0\stackrel{x\geq 0}{\implies}x\leq 2.}$

Αφού $\displaystyle{x\leq 2}$ είναι επίσης

$\displaystyle{2x^2+x+1=\sqrt{4x+1}+2\sqrt[3]{28x+8}\geq \sqrt{4x+1}+4x}$ (είναι $\displaystyle{28x+8=7\cdot 4x+8\geq 7x^3+x^3=8x^3}$ )

άρα

$\displaystyle{2x^2-3x+1\geq \sqrt{4x+1}\implies (2x^2-3x+1)^2\geq 4x+1\implies x(x-2)(4x^2-4x+5)\geq 0\stackrel{x\geq 0}{\implies}x\geq 2.}$

Άρα τελικά $\displaystyle{x=2,}$ η οποία επαληθεύει.

Συμπέρασμα: Μοναδική λύση του συστήματος είναι η $\displaystyle{(2,2).}$

mathxl · #3

Για $x \geqslant - \frac{1}{4} \wedge 13x + 16y + 8 \geqslant 0$ θέτουμε $a = \sqrt {5{x^2} + 2xy + 2{y^2}} \wedge b = \sqrt {2{x^2} + 2xy + 5{y^2}}$ .
Είναι

${a^2} - {b^2} = 3{x^2} - 3{y^2} = 3\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) \Rightarrow$

$\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = 3\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( * \right)}$

a - b = x - y

αλλά είναι και $a + b = 3\left( {x + y} \right)$ οπότε:

$a = 2x + y \wedge b = x + 2y \Rightarrow {a^2} = {\left( {2x + y} \right)^2} \wedge {b^2} = {\left( {x + 2y} \right)^2} \Rightarrow x = y$

Άρα

$\sqrt {4x + 1} + 2\sqrt[3]{{13x + 15y + 8}} = 2xy + y + 1 \Rightarrow$

$\sqrt {4x + 1} + 2\sqrt[3]{{28x + 8}} = 2{x^2} + x + 1 \Rightarrow$

$\sqrt {4x + 1} - 3 + 2\sqrt[3]{{28x + 8}} - 8 = 2{x^2} + x - 10 \Rightarrow$

$\frac{{4\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {4x + 1} + 3}} + \frac{{56\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{28x + 8}}} \right)}^2} + 4\sqrt[3]{{28x + 8}} + 16}} = \left( {x - 2} \right)\left( {2x + 5} \right) \Rightarrow$

$x = 2 \vee \frac{4}{{\sqrt {4x + 1} + 3}} + \frac{{56}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{28x + 8}}} \right)}^2} + 4\sqrt[3]{{28x + 8}} + 16}} = 2x + 5$

όμως
$\frac{4}{{\sqrt {4x + 1} + 3}} + \frac{{56}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{28x + 8}}} \right)}^2} + 4\sqrt[3]{{28x + 8}} + 16}} < 1 + 2 = 3 < 5 \leqslant 2x + 5$ διότι $x \geqslant 0$ από την $\displaystyle{{\sqrt {5{x^2} + 2xy + 2{y^2}} + \sqrt {2{x^2} + 2xy + 5{y^2}} = 3(x + y) = 6x}}$
άρα x = 2

οπότε και

που επαληθεύουν.

${\left( * \right)}$ εύκολα $x + y \ne 0$ αφού αν y+x=0

τότε $\displaystyle{x = y = 0 \wedge 5 = 1}$

Άρρητο σύστημα (4)

Άρρητο σύστημα (4)

Re: Άρρητο σύστημα (4)

Re: Άρρητο σύστημα (4)

Μέλη σε σύνδεση