Εξίσωση

orestisgotsis · #1

Περιττό

#2

Θέτουμε $\displaystyle{x=2\cos a,}$ οπότε η εξίσωση γίνεται

$\displaystyle{4\cos ^3 a-3\cos a=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \cos 3a=\cos \frac{\pi}{6}\iff 3a=2k\pi \pm \frac{\pi}{6},~k\in \mathbb{Z}.}$

Άρα

$\displaystyle{a=\frac{2k\pi}{3}\pm \frac{\pi}{18}}$

Διακρίνοντας περιπτώσεις για τους ακέραιους $\displaystyle{k}$ βλέπουμε ότι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί

$\displaystyle{2\cos \frac{\pi}{18},~-2\cos \frac{7\pi}{18}, ~-2\cos \frac{5\pi}{18}}$

και επειδή η αρχική εξίσωση δεν μπορεί να έχει περισσότερες ρίζες από τρεις (αφού είναι πολυωνυμική τρίτου βαθμού),

αυτές είναι οι ρίζες της εξίσωσης.

*Edit* Συμπλήρωσα τα δύο " $\displaystyle{-}$ " στις ρίζες, τα οποία είχα ξεχάσει.

AIAS · #3

Να συμπληρώσω:

Η εξίσωση δεν έχει ρίζα το

. αν θέσω $y = x + \dfrac{1}{x}$ , έχω ${y^3} + \dfrac{1}{{{y^3}}} - \sqrt 3 = 0$ .

Εδώ πάλι αν ονομάσω ${y^3} = z$ έχω την δευτεροβάθμια : ${z^2} - \sqrt 3 z + 1 = 0$ με ρίζες μιγαδικές και

επανακάμπτοντας στην αρχική κάνουμε την τριγωνομετρική αντικατάσταση του αξιότιμου κ. Μάγκου .

AIAS

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση