Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

#121

gbaloglou έγραψε:
*θα έπρεπε άραγε να είχε ζητηθεί από τους διαγωνιζόμενους να αποδείξουν την κυρτότητα της αντί να την υποθέσουν;

Γιώργος Μπαλόγλου

ΕΜΕ 2014 , Θέμα 28 , ΕΔΩ

#122

exdx έγραψε:
gbaloglou έγραψε:
*θα έπρεπε άραγε να είχε ζητηθεί από τους διαγωνιζόμενους να αποδείξουν την κυρτότητα της αντί να την υποθέσουν;

Γιώργος Μπαλόγλου
ΕΜΕ 2014 , Θέμα 28 , ΕΔΩ

Η λύση υπάρχει και στην 1η έκδοση των λύσεων του mathematica.gr ως 5η λύση στο ερώτημα Δ2α.

Αλέξανδρος

Nick1990 · #123

Προσωπικά τα βρήκα πολύ υπολογιστικά, χωρίς να εξετάζουν επαρκώς την κριτική σκέψη. Το είχα πει και πέρσι (όπως και άλλοι συνάδελφοι) ότι σε εξετάσεις που κρίνουν την εισαγωγή στο πανεπιστήμιο, επιβάλλεται να επιβραβεύεται η κριτική σκέψη απέναντι στην απλά καλή γνώση μεθοδολογιών. Είχα πει επίσης ότι δεν είναι υποχρεωτικό να γράφουν όλοι 90+ για να σημαίνει ότι αξίζουν μια θέση ακόμα και στην καλύτερη σχολή της χώρας. Τα αποτελέσματα είναι συγκριτικά και η τοποθέτηση 3-4 δύσκολων ερωτημάτων για 10-15 μονάδες, μόνο θετικά μπορεί να έχει. Θεωρώ ότι με τα περσινά θέματα είχε γίνει ένα σημαντικό βήμα προς τη σωστή κατεύθυνση, και φέτος γυρίσαμε πίσω.

#124

gbaloglou έγραψε:
*θα έπρεπε άραγε να είχε ζητηθεί από τους διαγωνιζόμενους να αποδείξουν την κυρτότητα της αντί να την υποθέσουν;

Γιώργος Μπαλόγλου

Καλύτερα που δόθηκε η κυρτότητα , διότι ο μαθητής απλά θα έπρεπε να επαλαβει μια διαδικασία που την έκανε ήδη στην μονοτονία. Είναι χάσιμο χρόνου,

χωρίς να προσθέτει απολύτως τίποτα στην αξιολόγηση.

Μπάμπης

Ανδρεας · #125

Για το Δ2.α αφού μας λέει ότι η

είναι κυρτή , θα μπορούσαμε να πούμε κατευθείαν ότι $f''(x)\geq 0$ ;

#126

Nick1990 έγραψε:Προσωπικά τα βρήκα πολύ υπολογιστικά, χωρίς να εξετάζουν επαρκώς την κριτική σκέψη. Το είχα πει και πέρσι (όπως και άλλοι συνάδελφοι) ότι σε εξετάσεις που κρίνουν την εισαγωγή στο πανεπιστήμιο, επιβάλλεται να επιβραβεύεται η κριτική σκέψη απέναντι στην απλά καλή γνώση μεθοδολογιών.

Είναι ακριβώς η ίδια σκέψη που έκανα χτες λύνοντας τα στο κέντρο εξέτασης φυσικώς αδυνάτων!!
Στο πρώτο δεκάλεπτο είχα βαρεθεί. Αυτό βέβαια δε λέει τίποτα αφού όλα τα παιδιά έχουν εξασκηθεί
επαρκώς σε μεθοδολογίες και αυτό φάνηκε και στην εξέταση των φυσικώς αδυνάτων.
Τονάρισαν, Ελενάρισαν αλλά δυστυχώς...δε ρολάρισαν!

Thanasis Tasoulas · #127

Συμφωνώ απόλυτα με τον Nick1990 και θα ήθελα επιπλέον να πω ότι με τέτοιου είδους θέματα αποθαρρύνουμε τον σκεπτόμενο μαθητή και δεν προάγουμε τη σκέψη αλλά τις μεθοδολογίες που κατά τι γνώμη μου αποτελούν ένα ελάχιστο μέρος των μαθηματικών. Οπότε πιστεύω ότι είναι καλύτερο να μπαίνουν δύσκολα θέματα και πάνω από 15 να γράφουν αυτοί που σκέφτονται. Έτσι και αλλιώς δεν μπορώ να καταλάβω γιατί σε αυτοί τη χώρα θέλουμε εύκολα θέματα αφού ότι και να μπει κατά κανόνα όσοι είναι να περάσουν θα περάσουν απλά το μόνο που καταφέρνουμε με τέτοια θέματα είναι να κάνουμε δυσκολότερη τη ζωή ενός έξυπνου μαθητή.

Επίσης καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά!

#128

Το πρόβλημα ξεκινάει από το ότι οι εξετάσεις είναι και απολυτήριες και εισαγωγικές. Άλλος όμως ο σκοπός των μεν και άλλος των δε. Δεν μπορεί μια επιτροπή θεμάτων να ικανοποιεί όλα τα γούστα. Αλλιώς θα μοιάσουμε με την γνωστή ιστορία του φούρνου του Χότζα.

Αν θέλουμε να έχουμε σωστές απολυτήριες και σωστές εισαγωγικές εξετάσεις πρέπει να γίνονται δυο διαφορετικές εξετάσεις.

Επεξεργασία: Κάνω την απαραίτητη διόρθωση αφού όπως με ενημέρωσαν με π.μ. αυτό θα ξεκινήσει να συμβαίνει σε δυο χρόνια με τους μαθητές της σημερινής Α' Λυκείου.

efakop · #129

Το είχα γράψει και εδώ αλλά ας το γράψω και με κώδικα.
Μια άλλη λύση για το Δ2 (α) είναι:

Αφού f(x)

κυρτή στο $\mathbb{R}$ τότε η f'(x)

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ . Ακόμα:

$\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^x-1}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} (e^x-1) = 0\cdot(0-1)=0 }$
$\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x-1}{x} \stackrel{ \left( \frac{0}{0} \right) }{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{1} = +\infty }$

Από Δ1 έχουμε οτι η f(x)

είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής άρα $f(\mathbb{R}) = (0,+\infty)$ . Δηλαδή f(x)>0

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Έτσι το ολοκλήρωμα $\int_{1}^{2f'(x)} f(u) du$ θα μηδενίζεται αν και μόνο αν τα άκρα ολοκλήρωσης είναι ίσα. Δηλαδή:

$2f'(x)=1 \Leftrightarrow f'(x)=\frac{1}{2} \stackrel{f'(0)=1/2}{\Longleftrightarrow} f'(x)=f'(0) \stackrel{f' \gamma\nu.\alpha\upsilon\xi.}{\Longleftrightarrow} x=0$

S.E.Louridas · #130

Θέματα Μαθηματικών ... και άλλα.
Δύο είναι οι βασικές κατά την άποψη μου αρχές για ένα Μαθηματικό θέμα:
1η) Να είναι επιστημονικά άρτιο κλιμακούμενης δυσκολίας που από ένα σημείο και ύστερα να αναδεικνύει και την προσωπική σφραγίδα του εξεταζόμενου Μαθητή μέσω της ανάδειξης της κριτικής του ικανότητας, 2η) Να είναι απόλυτα συμβατό με την διδαχθείσα και όχι την διδακτέα ύλη. Σχόλιο: Τέτοια θέματα ας μου επιτραπεί να εκφράσω την άποψη ότι δεν είναι και το ευκολότερο των πραγμάτων να κατασκευαστούν. Για τούτο ας εξασφαλίζεται σίγουρα η 2η Αρχή, η επιστημονική αρτιότητα και η κλιμακούμενη δυσκολία, λόγω της εμπλοκής με τις έννοιες στις οποίες αναφερόμαστε και βλέπουμε...

#131

gbaloglou έγραψε: *θα έπρεπε άραγε να είχε ζητηθεί από τους διαγωνιζόμενους να αποδείξουν την κυρτότητα της αντί να την υποθέσουν;

Γιώργος Μπαλόγλου

Δεν νομίζω ότι θα εξυπηρετούσε σε κάτι αυτό. Ήδη τα φετινά θέματα, απαιτούσαν περισσότερες πράξεις απ' ό,τι σκέψη. Ένα επιπλέον υπολογιστικό ερώτημα θα ήταν απλώς χρονοβόρο.

nikolaos p. · #132

Demetres έγραψε:Το πρόβλημα ξεκινάει από το ότι οι εξετάσεις είναι και απολυτήριες και εισαγωγικές. Άλλος όμως ο σκοπός των μεν και άλλος των δε. Δεν μπορεί μια επιτροπή θεμάτων να ικανοποιεί όλα τα γούστα. Αλλιώς θα μοιάσουμε με την γνωστή ιστορία του φούρνου του Χότζα.

Αν θέλουμε να έχουμε σωστές απολυτήριες και σωστές εισαγωγικές εξετάσεις πρέπει να γίνονται δυο διαφορετικές εξετάσεις.

Επεξεργασία: Κάνω την απαραίτητη διόρθωση αφού όπως με ενημέρωσαν με π.μ. αυτό θα ξεκινήσει να συμβαίνει σε δυο χρόνια με τους μαθητές της σημερινής Α' Λυκείου.

Επιτέλους, ας δούμε αυτό τον διαχωρισμό και ίσως μέχρι τότε αλλάξουμε και άποψη για την Τράπεζα Θεμάτων (αν εξακολουθεί να ισχύει...)

baz333g · #133

Καλησπέρα. Μήπως γνωρίζει κάποιος αν ο μαθητής στο Δ3 ερώτημα αποδείξει ότι έχει δύο τοποικά ελάχιστα με τον εξής τρόπο πόσα μόρια θα πάρει;
Αφού $\displaystyle{1,2}$ ρίζες της $\displaystyle{g}$ και χρησιμοποιήσει τον ορισμό του ολικού ελαχίστου πόσα μόρια θα πάρει από τα 7;

Δημήτρης Μπούζας · #134

Καλησπέρα και από εμένα συνάδελφοι.
Μια παρατήρηση μικρής σημασίας για τις λύσεις:
Στο Δ2 β πρέπει το πρώτο σύμβολο "ισοδυναμίας" να αντικαταστεί με "συνεπάγεται"

Καλή δύναμη και καλή τύχη σε όλα τα παιδιά!

siobaras · #135

Πάλι τα ίδια και φέτος με τη θεωρία...
Γράφει κάποιος το κριτήριο για να είναι κοίλη αντί για τον ορισμό. Τι του δίνουμε; 0,1,2 μόρια;
Εγώ τείνω προς το 1, γιατί "κάτι έγραψε,κλπ", αλλά δεν μπορώ να πω και τίποτα σε κάποιον που θα βάλει 0.

Και, δεδομένου ότι ο συγκεκριμένος "ορισμός" δεν είναι ο σωστός ορισμός της κοίλης (είναι κι αυτό ένα κριτήριο, που καλύπτει κάποιες υποπεριπτώσεις), γιατί τον βάζουν στις εξετάσεις και μας βάζουν σε αυτή τη θέση, όσους από εμάς θα κληθούμε να διορθώσουμε;

Είχα μαθητή φέτος που μου εξέφρασε την εξής απορία:

"Στο θεώρημα ολοκληρωτικού λογισμού το βιβλίο λέει ότι η $\int_{a}^{x}{f(t)dt}$ είναι παραγωγίσιμη στο Δ, αλλά η διεθνής βιβλιογραφία λέει ότι είναι παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Τι παίζει;"
Του εξήγησα ότι στο βιβλίο δεν υπάρχει η έννοια της δεξιάς ή αριστερής παραγώγου, απλά ταυτίζεται με την έννοια της παραγώγου σε άκρο.
Και καλά αυτός, που είναι γάτος, θα τα ξεκαθαρίσει εύκολα του χρόνου που θα είναι Πολυτεχνείο.
Ένας μέτριος, που θα περάσει π.χ. στο Μαθηματικό Πάτρας, γιατί να κουβαλάει στρεβλή γνώση με δική μας υπαιτιότητα;

Τόσες και τόσες επιτροπές έχουν φτιαχτεί για αναμορφώσεις προγραμμάτων, cut & paste κεφαλαίων από βιβλίο σε βιβλίο, κλπ.
Δεν μπορεί να κάτσει κάποιος/κάποιοι να αναθεωρήσει 5-10 προβληματικά σημεία που έχουν εντοπιστεί εδώ και χρόνια;
Και αν αυτό είναι αδύνατο, δεν μπορούν απλά να τα εξαιρέσουν από υποψήφια για θεματοδοσία;

Ίσως βγήκα λίγο εκτός θέματος, αλλά μόνο σε αυτό το φόρουμ νιώθω ότι μπορώ να μοιραστώ τους προβληματισμούς μου επί του συγκεκριμένου.

thete · #136

Καλησπέρα συνάδελφοι , αφού υποκλιθώ στο συνάδελφο που πρότεινε τη λύση με ΘΜΕΤ για το Δ3 , να προτείνω κάποιες εναλλακτικές λύσεις ,( αν δεν έχουν ήδη ειπωθεί ) .
Για το Δ1 το όριο θα μπορούσε να γραφεί $\displaystyle{ \frac{{d\left( {e^x } \right)}}{{dx}}\left| \begin{array}{l} \\ _{x = 0} \\ \end{array} \right. = e^0 = 1 }$
Για το Δ2 , όσον αφορά το πρόσημο της $\displaystyle{f}$ θα μπορούσε να βρεθεί και ως εξής :
Για $\displaystyle{x \ne 0}$ έστω $\displaystyle{f\left( x \right) = 0 \Rightarrow ... \Rightarrow x = 0}$ αδύνατη , επίσης $\displaystyle{f\left( 0 \right) = 1 \ne 0}$ , άρα $\displaystyle{f\left( x \right) \ne 0}$ για καθε $\displaystyle{x \in }$ $\displaystyle{R}$ και αφού $\displaystyle{f}$ (προφανώς) συνεχής διατηρεί πρόσημο στο $\displaystyle{R}$ , με $\displaystyle{f\left( 0 \right) = 1 > 0 \Rightarrow f\left( x \right) > 0}$ .

Επίσης στη 5η λύση που δίνετε για το ερώτημα Δ2 (α) μπορεί να δουλευτεί ως εξής αρχικά να δείξουμε ότι $\displaystyle{f\left(x \right) \ne 0}$ (χωρίς να μας ενδιαφέρει το πρόσημο) και στο στο τέλος να υποθέσουμε ότι έχουμε τουλάχιστον δύο ρίζες τις $\displaystyle{0}$ και $\displaystyle{\rho }$ και με $\displaystyle{\Theta .{\rm}Rolle}$ στα $\displaystyle{\left[ {0,\rho } \right]}$ και $\displaystyle{\left[ {\rho ,0} \right]}$ να οδηγηθούμε σε άτοπο.

Τέλος στο Δ3 αφού παραγωγίσουμε τη $\displaystyle{g}$ ορίζουμε συνάρτηση την $\displaystyle{r\left( x \right) = xe^x - e^x - e}$ την μελετάμε και αφού βρούμε ολικό ελάχιστο στο $\displaystyle{0}$ , παρατηρούμε ότι $\displaystyle{r\left( 0 \right) = - 1 - e < 0}$ . Από $\displaystyle{\Theta .{\rm E}.{\rm T}.}$ στο $\displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)}$ και λόγω μονοτονίας , η $\displaystyle{q}$ έχει ακριβώς μια ρίζα $\displaystyle{\rho }$ και επειδή $\displaystyle{q\left( 1 \right) \ne 0 \ne q\left( 2 \right) \Rightarrow \rho \in \left( {0, + \infty } \right) - \left\{ {1,2} \right\}}$ και η οποία σε οποιοδήποτε διάστημα κι αν ανήκει οδηγεί σε δύο τοπικά ελάχιστα και ένα τοπικό μέγιστο.

Επίσης τρείς παρατηρήσεις για την 1η εκδοση ,
(α) η τέταρτη λύση για το Δ2 αναφέρεται στο Γ2 ερώτημα
(β) η πέμπτη λύση για το Δ2 (α) αναφέρει πως η $\displaystyle{2f'\left( x \right)}$ είναι παραγωγίσιμη σε όλο το $\displaystyle{R}$ με δικαιολόγηση << παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R^* }$ και στο $\displaystyle{x_0 = 0}$ ισχύει $\displaystyle{f'\left( 0 \right) = \frac{1}{2}}$ >> , ενώ χρειάζεται το $\displaystyle{f''\left( 0 \right)}$ . Άλλωστε δεν χρειάζεται να δουλευτεί στο $\displaystyle{R}$
(γ) Αν παρατήρησα καλά σε καμία λύση δεν έχει βρεθεί το π.ο. του ολοκληρώματος στο ερώτημα Δ2 (α) .

#137

Ανδρεας έγραψε:Για το Δ2.α αφού μας λέει ότι η είναι κυρτή , θα μπορούσαμε να πούμε κατευθείαν ότι $f''(x)\geq 0$ ;

Ναι, θα μπορούσαμε ... αλλά δεν θα μας έφτανε η $f''(x)\geq 0$ , χρειαζόμαστε την f''(x)>0

-- βλέπε πχ εδώ.

[Κλασικό παράδειγμα κυρτής συνάρτησης που δεν ικανοποιεί την αυστηρή ανισότητα η f(x)=x^4

.]

Γιώργος Μπαλόγλου

Ανδρεας · #138

gbaloglou έγραψε:
Ανδρεας έγραψε:Για το Δ2.α αφού μας λέει ότι η είναι κυρτή , θα μπορούσαμε να πούμε κατευθείαν ότι $f''(x)\geq 0$ ;

gbaloglou έγραψε:Ναι, θα μπορούσαμε ... αλλά δεν θα μας έφτανε η $f''(x)\geq 0$ , χρειαζόμαστε την

Αν θεωρήσουμε ότι $K(x) =\int_{1}^{2f'(x)}{f(u)du}$ τότε K'(x) = 2f(2f'(x))f''(x)

για την οποία ισχύει ότι $K'(x)\geq 0$ . Αρκεί αυτό για να πούμε ότι η K είναι αύξουσα άρα η ρίζα που έχει θα είναι μοναδική;

xrimak · #139

Ανδρεας έγραψε:
gbaloglou έγραψε:
Ανδρεας έγραψε:Για το Δ2.α αφού μας λέει ότι η είναι κυρτή , θα μπορούσαμε να πούμε κατευθείαν ότι $f''(x)\geq 0$ ;

gbaloglou έγραψε:Ναι, θα μπορούσαμε ... αλλά δεν θα μας έφτανε η $f''(x)\geq 0$ , χρειαζόμαστε την
Αν θεωρήσουμε ότι $K(x) =\int_{1}^{2f'(x)}{f(u)du}$ τότε για την οποία ισχύει ότι $K'(x)\geq 0$ . Αρκεί αυτό για να πούμε ότι η K είναι αύξουσα άρα η ρίζα που έχει θα είναι μοναδική;

είναι δυο φορες παραγωγισιμη; σε όλα τα σημεια;

#140

Ανδρεας έγραψε:
gbaloglou έγραψε:
Ανδρεας έγραψε:Για το Δ2.α αφού μας λέει ότι η είναι κυρτή , θα μπορούσαμε να πούμε κατευθείαν ότι $f''(x)\geq 0$ ;

gbaloglou έγραψε:Ναι, θα μπορούσαμε ... αλλά δεν θα μας έφτανε η $f''(x)\geq 0$ , χρειαζόμαστε την
Αν θεωρήσουμε ότι $K(x) =\int_{1}^{2f'(x)}{f(u)du}$ τότε για την οποία ισχύει ότι $K'(x)\geq 0$ . Αρκεί αυτό για να πούμε ότι η K είναι αύξουσα άρα η ρίζα που έχει θα είναι μοναδική;

Μμμ, είναι ένα μη παραβλέψιμο , αυθαίρετο και σοβαρό κενό. Ο ισχυρισμός αυτός είναι λάθος από μαθηματική σκοπιά.

Μια μονότονη συνάρτηση μπορεί να έχει άπειρες λύσεις !Μόνο η γνησίως μονότονη έχει το πολύ μία λύση.

Ανεξάρτητα όμως από αυτό, στην περίπτωσή μας, αυτή η προσπάθεια οδηγεί μεν σε λύση(και εκτιμάται θετικά στη βαθμολόγηση), αλλά δεν είναι ολοκληρωμένη.

Συμπέρασμα : Θα δοθεί κάτι(δεν σου λέω πόσο) , αλλά όχι πάνω από τις μισές μονάδες

!

Καλή συνέχεια και καλά αποτελέσματα!

Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Μέλη σε σύνδεση