Ισότητες εντός του κύκλου μας

KARKAR · #1

: Ισότητες εντός του κύκλου μας.png (12.16 KiB) Προβλήθηκε 641 φορές

Το ισοκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC , (AB=AC)$ , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και από το αντιδιαμετρικό

του

,

φέραμε ευθεία παράλληλη προς την

, η οποία τέμνει τις BC,AC

και τον κύκλο κατά σειρά στα T,S,P

.

α) Δείξτε ότι TS=SP

. β) Αν η κάθετη προς την A'P

στο

, τέμνει την

στο

, δείξτε ότι AS=QB

Ηλιας Φραγκάκος · #2

ΑΥΤΗ Η ΛΥΣΗ ΕΙΝΑΙ ΤΟΥ ΚΥΡΙΑΚΟΥ ΦΡΑΓΚΑΚΟΥ
β) ερώτημα: Το BQSA'

είναι ορθογώνιο (η γ.

βαίνει σε διάμετρο, ενώ οι BA'

και

είναι παράλληλες ως κάθετες στην ίδια ευθεία, την

). Άρα η

είναι ίση με την SA'

. Όμως οι γωνίες BAA'

και

είναι ίσες ως εντός εναλλάξ και μάλιστα είναι ίσες με BAC/2

. Όμως

είναι και η γ. A'AC

. Άρα το τρίγωνο ASA'

είναι ισοσκελές. Άρα AS=SA'

όμως

. Άρα και

.
α) ερώτημα: Μιας και AB=AC

και

(το αποδείξαμε στο β ερώτημα) τότε και QA=SC

Επίσης,

γιατί ορθογώνιο είναι και το APSQ

. Οπότε

. Επειδή το τρ. PCT

είναι ορθογώνιο στη

η

είναι διάμεσος (και ισούται με PT/2

)

#3

KARKAR έγραψε:
Ισότητες εντός του κύκλου μας.png
Το ισοκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC , (AB=AC)$ , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και από το αντιδιαμετρικό του ,

φέραμε ευθεία παράλληλη προς την , η οποία τέμνει τις και τον κύκλο κατά σειρά στα .

α) Δείξτε ότι . β) Αν η κάθετη προς την στο , τέμνει την στο , δείξτε ότι

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ChrisVlachos · #4

α)Φερνουμε τις

και

καθώς και την {A}'A

η οποία στο τρίγωνο ABC

είναι και διχοτόμος της γωνίας $\hat{A}$ .
Η γωνία $P\hat{A}S$ είναι ίση με την $C\hat{{A}'}S$ διότι βαίνουν στο ίδιο τόξο.
Είναι $C\hat{A}{A}'=B\hat{A}{A}'$ και $B\hat{A}{A}'=P\hat{{A}'}A$ ως εντός εναλλάξ. Αρα $C\hat{A}{A}'=P\hat{{A}'}A$ , οπότε θα είναι και PA=C{A}'

Από τα παραπάνω προκύπτει οτι τα ορθογώνια τρίγωνα APS

και

είναι ίσα διότι έχουν PA=C{A}'

και $C\hat{{A}'}S=PAS$ , άρα $SC=SP\,\,(1)$
Επισης το τρίγωνο TSC

είναι ισοσκελές με TS=SC

$\left( 2 \right)$ ( αφού η γωνία του, $S\hat{T}C$ ίση με $A\hat{B}C$ ως εντος εκτος και επι τα αυτα και αυτή ίση με την $A\hat{C}B$
Aπό (1) και (2) το ζητούμενο

β) Το QS{A}'B

είναι ορθογώνιο διότι έχει τρεις γωνίες ορθες ( η $\hat{B}$ ορθή αφού το τρίγωνο AB{A}'

εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο )
Άρα QB=S{A}'

η οποία με τη σειρά της ίση με την

από τα ίσα ορθογώνια τρίγωνα του ερωτήματος α)

#5

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ισότητες εντός του κύκλου μας.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το ισοκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC , (AB=AC)$ , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και από το αντιδιαμετρικό του ,

φέραμε ευθεία παράλληλη προς την , η οποία τέμνει τις και τον κύκλο κατά σειρά στα .

α) Δείξτε ότι . β) Αν η κάθετη προς την στο , τέμνει την στο , δείξτε ότι

: Ισότητες εντός του κύκλου μας.png (16.4 KiB) Προβλήθηκε 503 φορές

α) Επειδή η AA'

είναι διάμετρος του κύκλου και A'P||BA

, το τετράπλευρο APA'B

είναι ορθογώνιο. Άρα και η

είναι διάμετρος, οπότε $\displaystyle{P\widehat CT = {90^0}}$ .

$\displaystyle{ST||AB\mathop \Leftrightarrow \limits^{AB = AC} {\widehat T_1} = {\widehat C_1} \Leftrightarrow ST = SC}$ .

Αλλά, $\displaystyle{{\widehat T_1} = {90^0} - {\widehat P_1}}$ , $\displaystyle{{\widehat C_1} = {90^0} - {\widehat C_2}}$ . Δηλαδή, $\displaystyle{{\widehat C_2} = {\widehat P_1} \Leftrightarrow SC = SP}$ .

Οπότε: $\boxed{TS = SP}$

β) Το APSQ

είναι ορθογώνιο.

$\displaystyle{AS = AC - SC = AB - SP = AB - AQ \Leftrightarrow }$ $\boxed{AS = QB}$

Ισότητες εντός του κύκλου μας

Ισότητες εντός του κύκλου μας

Re: Ισότητες εντός του κύκλου μας

Re: Ισότητες εντός του κύκλου μας

Re: Ισότητες εντός του κύκλου μας

Re: Ισότητες εντός του κύκλου μας

Μέλη σε σύνδεση