Διαφορι-Κούλα 5

mathxl · #1

Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες στο R συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει $(f'(x))^{2}=f(x)$ για κάθε πραγματικό αριθμό χ
Νομίζω έχει ενδιαφέρον. ΄

Ας κάνω την αρχή, μια προφανής λύση η μηδενική συνάρτηση. Νώθω ότι έλυσα την μισή άσκηση αφού η αρχή είναι το ήμιση το παντός (ας χαλαρώσω)

#2

Edit: Μετά από PM του εξαιρετικού μέλους Ροδόλφου, η λύση αποσύρεται, έχει πολλά κενά στην διερεύνηση.

#3

Έστω ότι η y δεν είναι η μηδενική συνάρτηση
Θα υπάρχει $\displaystyle{(a,b): y(x)>0 ,x\in (a,b)}$
αν η y είχε τουλάχιστον δυο ρίζες που μπορούμε να υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι είναι τα a,b τότε από Rolle η y' άρα και η y θα είχε ρίζα στο (a,b) άτοπο
Συνεπώς η y έχει το πολύ μια ρίζα κ
Αν $\displaystyle{y(k)=0}$
Για $\displaystyle{x>k |y'|=\sqrt{y}>0}$ άρα η (συνεχής) y' διατηρεί σταθερό πρόσημο οπότε εύκολα
$\displaystyle{2\sqrt{y}=x+c_1,x>k}$ ή $\displaystyle{-2\sqrt{y}=x+c_2,x>k}$ αλλά και στις 2 περιπτώσεις λόγω συνέχειας στο κ προκύπτει $\displaystyle{c_1=c_2=-k}$
έτσι δεκτή μόνον η $\displaystyle{c_1}$ γιατί η άλλη δίνει (-)=(+) δηλαδή $\displaystyle{y(x)=1/4(x-k)^2 , x\ge k}$
Για $\displaystyle{x<k}$ αντίστοιχα δεκτή μόνο η $\displaystyle{c'_2}$ που τελικά δίνει την ίδια λύση
Άρα $\displaystyle{y(x)=\frac{1}{4}(x-k)^2 , x\in R}$
Αν $\displaystyle{y(x)\ne 0 ,x\in R}$ παρόμοια καταλήγουμε σε άτοπο (λόγω συνέχειας κλπ η y θα είχε ρίζα)
Θεώρησα την y' συνεχή για να μείνει η άσκηση εντός ύλης αλλιώς Darboux

gbag · #4

Σεραφείμ, η πρώτη παράγωγος είναι στο τετράγωνο και όχι δύο φορές παραγωγίσιμη
φιλικά
Γιώργος

gbag · #5

Το τετράγωνο γίνεται ρίζα στο 2ο μέλος και μετά όλα μπροστά οπότε έχουμε την παράγωγο της
"τετραγωνική ρίζα f(x)" =1/2
με ολοκλήρωση εχω f(x) = (1/2 x+c)^2

mathxl · #6

Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας.Η λύση του Ροδόλφου αρκετά ίδια στο pdf. Μία λύση στην αρχική μορφή της άσκησης εδώ http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t ... 61f0a0ab4f (η σωστή είναι από jmerry)

Διέγραψα το pdf λόγω μη πληρότητας λύσης

gbag · #7

Αγαπητέ mathxl,
η σωστή είναι η δική μου και του Dr Sonnahard

εγώ δεν ανέφερα το +,- γιατί στο τέλος γίνονται +

Φιλικά
Γιώργος

#8

mathxl έγραψε:Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας.Η λύση του Ροδόλφου αρκετά ίδια στο pdf. Μία λύση στην αρχική μορφή της άσκησης εδώ http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t ... 61f0a0ab4f (η σωστή είναι από jmerry)

Σε αναμονή της έναρξης του Θρύλου, νομίζω ότι η εντός του pdf λύση είναι ελλιπής!

mathxl · #9

Γιώργο νομίζω ότι η λύση του σονχαρντ δεν είναι σωστή από την άποψη ότι δίνει κάποιες λύσεις και όχι όλες. Για παράδειγμα την $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{x^2}}}{4},x \le 0} \\ {0,x > 0} \\ \end{array}} \right.$
η οποία προκύπτει από αυτή της / του jmerry όταν α=0 και β=+οο

Η δική σου αναφέρεται στην επιπλέον προυπόθεση που φρόντισα να προσθέσω (συνέχειατης f΄) και είναι περιγραφική κατά την γνώμη μου. Φιλικά Βασίλης

Κώστα (rek2) ποια ίναι η έλλιψη κατά την γνώμη σου; Η επαλήθευση; Δες το λίγο, οσο περιμένεις να αρχίσει ο "θρήνος"

Χμμ..σωστά είναι ελλειπής καλή ώρα το αντιπαράδειγμα που δίνω. ΔΙαγράφω το pdf
Νομίζω ότι η έλλιψη πηγάζει από την μαγικά έκφραση που χρησιμοποιεί ο Ροδόλφος "υπάρχει διάστημα (α,β)" που έχει άρωμα Θωμά σε μια παρόμοιας δυσκολίας διαφορική που έχουμε ήδη δει. Είναι έτσι;

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #10

Καλημέρα φίλε μου Βασίλη και βέβαια καλημέρα και σε όλους τους εκλεκτούς συναδέλφους που συμμετέχουν στη συζήτηση.

Οι λύσεις της Διαφορι-Κούλας (Η Κούλα φαντάζομαι Βασίλη ότι έχει σχέση με το Σιδηρόκαστρο (το φυλάκιο γαρ, για να μην παρεξηγηθώ)

είναι οι ακόλουθες αφού

λάβουμε υπόψην ότι η συνάρτηση αυτή θα έχει υποχρεωτικά
ή
μόνο ένα σημείο μηδενισμού
ή
άπειρα

1. η σταθερή f(x)=0 για κάθε $x \in R$

2. $f(x) = \frac{1}{4}{(x - c)^2},x \in R$

3. $\displaystyle{f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & {,x < c} \\ {\frac{1}{4}{{(x - c)}^2}} & {,x \ge c} \\ \end{array}} \right.,{\rm{ }}c \in R}$

4. $\displaystyle{{\rm{ }}f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{4}{{(x - c)}^2}} & {,x < c} \\ 0 & {x \ge c} \\ \end{array}} \right.,{\rm{ }}c \in R}$

5. $\displaystyle{f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{4}{{(x - {c_1})}^2}} & {,x \le {c_1}} \\ 0 & {,{c_1} < x < {c_2}} \\ {\frac{1}{4}{{(x - {c_2})}^2}} & {,x \ge {c_2}} \\ \end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1},{c_2} \in R} \\ {{c_1} < {c_2}} \\ \end{array}}$

Διέγραψα τις επι πλεον λύσεις γιατί $f(x) \ge 0$ για κάθε $x \in R$ .

Ευχαριστώ τον Ροδόλφο για την παρατήρησή του.

Παρουσιάζει ενδιαφέρον η άσκηση και μοιάζει όντως με ένα παλιό θέμα που είχαμε συζητήσει παλαιότερα το οποίο αναφερόταν σε μια ολοκληρωτική εξίσωση στην οποία η f ήταν απλώς συνεχής.

Η τεχνική είναι η ίδια, που μόνο εδώ πρέπει να ληφθεί υπόψην και η παραγωγισιμότητα.
Ελπίζοντας να μην έχω κάνει κάποιο λάθος στην απάντησή μου, ιδιαίτερα στα άκρα των διστημάτων, αν και οι απαντήσεις επαληθεύουν την αρχική συνθήκη.

Αρκετό ενδιαφέρον παρουσιάζει και η διαφορική ${\left( {f'(x)} \right)^2} = \left| {f(x)} \right|$

Ευχές να είστε όλοι καλά.

Εις το επανασυζητείν,

Θωμάς

#11

Για να συμπληρώσω και εγώ την λύση μου
1. Λέγοντας μη μηδενική θεώρησα (κακώς) σε διάστημα μη μηδενική
2. Αν υπάρχει $\displaystyle{(c,d):y(x)=0,\forall x\in (c,d)}$ τότε πριν το c και μετά το d η y αποκλείεται να έχει ρίζα άρα δεν υπάρχει άλλο διάστημα με πεπερασμένα άκρα που η y να είναι μηδενική σε αυτό
άρα οι επιπλέον περιπτώσεις λόγω συνέχειας ,παραγωγισιμότητας κλπ είναι οι
$\displaystyle{y(x)=\begin{cases} 0 & \text{ if } x< c \\ \frac{1}{4}(x-c)^2 & \text{ if } x\ge c \end{cases}}$ ή $\displaystyle{y(x)=\begin{cases} 0 & \text{ if } x> d \\ \frac{1}{4}(x-d)^2 & \text{ if } x\le d \end{cases}}$
$\displaystyle{ \displaystyle{f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{4}{{(x - {c})}^2}} & {,x \le {c}} \\ 0 & {,{c} < x < {d}} \\ {\frac{1}{4}{{(x - {d})}^2}} & {,x \ge {d}} \\ \end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {{c},{d} \in R} \\ {{c} < {d}} \\ \end{array}}}$
THN ΔΙΟΡΘΩΣΑ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΠΑΡΕΜΒΑΣΗ ΤΟΥ ΘΩΜΑ

gbag · #12

Αγαπητέ Θωμά, κατά τη γνώμη μου η σωστή λύση είναι η 2η που δίνεις με c οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός με χ-c θετικό ή μηδέν. οι 3 και 4 είναι μέρος της 2
φιλικά
Γιώργος

mathxl · #13

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε: Οι λύσεις της Διαφορι-Κούλας (Η Κούλα φαντάζομαι Βασίλη ότι έχει σχέση με το Σιδηρόκαστρο (το φυλάκιο γαρ, για να μην παρεξηγηθώ)

Νομίζω ότι όλα τα λεφτά είναι η παρατήρηση

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:λάβουμε υπόψην ότι η συνάρτηση αυτή θα έχει υποχρεωτικά
ή
μόνο ένα σημείο μηδενισμού
ή
άπειρα[/color]

Αν κατάλαβα καλά ..στην διευρεύνηση μας πρέπει να λάβουμε υπόψη ότι οι άπειρες ρίζες
- καλύπτουν το R
- καλύπτουν ένα διάστημα του R
- να αποκλείσουμε την περίπτωση να έχουμε τουλάχιστον δύο διαστήματα (υποσύνολα του R) στα οποία είναι 0 (αυτό νομίζω βγαίνει από συνέχεια)
- και να αποκλείσουμε ότι οι άπειρες ρίζες μπορούν να μην συγκροτούν διάστημα (με ρολ)

Σωστά;

gbag έγραψε:Αγαπητέ Θωμά, κατά τη γνώμη μου η σωστή λύση είναι η 2η που δίνεις με c οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός με χ-c θετικό ή μηδέν. οι 3 και 4 είναι μέρος της 2
φιλικά
Γιώργος

Γιώργο δεν καταλαβαίνω. Μπορεις να γίνεις λίγο πιο λεπτομερής; Πως η διαφορά x-c θα γίνει μηδέν στον τύπο 2 για ολόκληρο διάστημα ώστε να ποκύψουν οι άλλες λύσεις;

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #14

Καλησπέρα σε όλους.

Την άποψή μου για τις λύσεις τις βλέπετε στο συνημμένο αρχείο.
Στο αρχικό μου μήνυμα έχω συμπληρώσει και τη 5η λύση.
Να είστε καλά
Θωμάς
Υ.Γ
Φίλε Γιώργο κάτι δεν καταλαβαίνω στην τοποθέτησή σου.
Να είσαι καλά.

mathxl · #15

Θωμά η 5η λύση είναι αυτή που δίνει ο/η jmerry αφήνοντας τα c1,c2 με c1 =< c2 να διατρέχουν το R συμπεριλαμβανομένων των +οο,-οο (με αυτόν τον τρόπο προκύπτουν και οι άλλες). Κατά την γνώμη μου, πιο πολύ αξία έχει ο τρόπος με τον οποίο σκεφτόμαστε να διακρίνουμε τις περιπτ'ωσεις παρά οι τελικές λύσεις.
Ευχαριστώ για τις απόψεις και λύσεις σας

Διαφορι-Κούλα 5

Διαφορι-Κούλα 5

Re: Διαφορι-Κούλα 5

Re: Διαφορι-Κούλα 5

Re: Διαφορι-Κούλα 5

Re: Διαφορι-Κούλα 5

Re: Διαφορι-Κούλα 5

Re: Διαφορι-Κούλα 5

Re: Διαφορι-Κούλα 5

Re: Διαφορι-Κούλα 5

Re: Διαφορι-Κούλα 5

Re: Διαφορι-Κούλα 5

Re: Διαφορι-Κούλα 5

Re: Διαφορι-Κούλα 5

Re: Διαφορι-Κούλα 5

Re: Διαφορι-Κούλα 5

Μέλη σε σύνδεση