Ανισότητα με μέτρα

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

kochris
Δημοσιεύσεις: 92
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 3:37 pm
Τοποθεσία: Bόλος

Ανισότητα με μέτρα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kochris » Πέμ Οκτ 31, 2013 12:14 am

Για τους a,b\in \mathbb{C} με |a|,|b| < 1 , νδο

\dfrac{|a|-|b|}{1-|ab|} \leq \left|\dfrac{a-b}{1-\overline{a}b}\right| \leq \dfrac{|a|+|b|}{1+|ab|}.


Δήμητρα
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 14, 2009 4:21 pm

Re: Ανισότητα με μέτρα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δήμητρα » Πέμ Οκτ 31, 2013 1:16 pm

Ας δούμε πρώτα τη δεξιά μεριά :)

Από τριγωνική ανισότητα θα έχω για τον αριθμιτή:

|a-b|\leq |a|+|-b|=|a|+|b|

και για τον παρονομαστή:

|1-\bar{a}b|\leq 1+|\bar{a}b|=1+|\bar{a}||b|=1+|a||b|=1+|ab|

διαιρώντας κατά μέλη, αφού είναι όλα θετικά, προκύπτει:

\frac{|a-b|}{|1-\bar{ab}|}\leq \frac{|a|+|b|}{1+|ab|}

Αντίστοιχα από την άλλη μεριά:

||a|-|b||\leq |a-b|
και
|1-|ab||\leq |1-\bar{a}b|

άρα:

\frac{||a|-|b||}{|1-|ab||}\leq \frac{|a-b|}{|1-\bar{a}b|} \Leftrightarrow

\frac{|a|-|b|}{1-|ab|}\leq \frac{|a-b|}{|1-\bar{a}b|}
δηλαδή το ζητούμενο!!
Ευχαριστώ!! :D


Δήμητρα 1996
drs75
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 15, 2012 12:11 pm

Re: Ανισότητα με μέτρα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από drs75 » Πέμ Οκτ 31, 2013 2:21 pm

Δήμητρα δεν διαιρούμε ποτέ ανισότητες κι ας είναι όλα θετικά.π.χ 2<3 , 4<9 αλλά \displaystyle{\frac{2}{4}>\frac{3}{9}} ;)


Δήμητρα
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 14, 2009 4:21 pm

Re: Ανισότητα με μέτρα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δήμητρα » Πέμ Οκτ 31, 2013 2:29 pm

Θεε μου όντως τί σκεφτόμουν???!!!??? :wallbash: :wallbash:
Ευχαριστώ πολύ :-D
Θα ξανάπροσπαθήσω!!


Δήμητρα 1996
kochris
Δημοσιεύσεις: 92
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 3:37 pm
Τοποθεσία: Bόλος

Re: Ανισότητα με μέτρα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kochris » Κυρ Νοέμ 17, 2013 5:11 pm

Επαναφορά


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3523
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα με μέτρα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Δευ Νοέμ 18, 2013 3:37 am

Υψώνοντας στο τετράγωνο και χρησιμοποιώντας την

|z_1-z_2|^2=|z_1|^2+|z_2|^2-\overline{z_1}z_2-z_1\overline{z_2}

για τους |a-b|^2 και |1-\overline{a}b|^2 διαπιστώνουμε ότι η ζητούμενη ανισότητα είναι ισοδύναμη προς την

2|ab|(1-|a|^2)(1-|b|^2)\geq (\overline{a}b+a\overline{b})(1-|a|^2)(1-|b|^2)\geq -2|ab|(1-|a|^2)(1-|b|^2),

άρα -- λόγω της υπόθεσης |a|<1, |b|<1 -- και προς την ισχύουσα

|\overline{a}b+a\overline{b}|\leq 2|ab|.

[Τα δύο λήμματα που χρησιμοποίησα στην αρχή και στο τέλος αποδεικνύονται εύκολα (αν δεν θεωρούνται γνωστά).]

Γιώργος Μπαλόγλου


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες