Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

sokratis lyras · #1701

Mihalis_Lambrou έγραψε:
matha έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 803: Έστω $\displaystyle{a,b,c>0}$ με $\displaystyle{abc=1.}$

Αν ισχύει $\displaystyle{\frac{1}{a^k}+\frac{1}{b^k}+\frac{1}{c^k}\geq a^k+b^k+c^k}$ για $\displaystyle{k=1,}$ να αποδείξετε ότι ισχύει και για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{k.}$
Η υπόθεση γράφεται $\displaystyle{bc+ca+ab\ge a+b+c}$ και η αποδεικτέα $\displaystyle{b^kc^k+c^ka^k+a^kb^k\ge a^k+b^k+c^k}$ .

Ισοδύναμα η υπόθεση γράφεται $\displaystyle{ (1-a)(1-b)(1-c) \ge 0}$ και η αποδεικτέα $\displaystyle{ (1-a^k)(1-b^k)(1-c^k) \ge 0}$ .

Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη επί τους θετικούς αριθμούς $\displaystyle{1+a+ ... \, +a^{k-1}}$ , $\displaystyle{1+b+ ... \,+ b^{k-1}}$ , $\displaystyle{1+c+ ... \, +c^{k-1}}$ παίρνουμε την δεύτερη.

Φιλικά,

Μιχάλης

Η αλλιώς, βρίσκουμε την διάταξη των $\displaystyle {a,b,c,1}$ ..

#1702

ΑΣΚΗΣΗ 804: Να βρεθεί το ψηφίο των μονάδων του αριθμού:

$\displaystyle{A=4^{51}+5^{70}+7-12.5^{69}}$

#1703

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 804: Να βρεθεί το ψηφίο των μονάδων του αριθμού:

$\displaystyle{A=4^{51}+5^{70}+7-12.5^{69}}$

Όταν πολλαπλασιάζουμε δύο αριθμούς, το τελευταίο ψηφίο του γινομένου τους το βρίσκουμε πολλαπλασιάζοντας τα τελευταία ψηφία τους. Αυτό είναι άμεση συνέπεια του μηχανισμού του πολλαπλασιασμού όπως τον μαθαίνουμε από το δημοτικό.
(Κάτι αντίστοιχο συμβαίνει και με την πρόσθεση).
Έτσι αν πολλαπλασιάσουμε δύο αριθμούς που τελειώνουν σε

το γινόμενο θα τελειώνει σε

αφού $6\cdot 6=36.$
Άρα όλες οι δυνάμεις του

ή αριθμών που τελειώνουν σε

τελειώνουν σε

Με τον ίδιο τρόπο σκεπτόμενοι, βρίσκουμε ότι όλοι οι δυνάμεις του

τελειώνουν σε

Θα βρούμε το τελευταίο ψηφίο όλων των δυνάμεων της παράστασης.

$4^{51}=4\cdot 4^{50}=4\cdot \left(4^2 \right)^{25}=4\cdot 16^{25}$

Ο $16^{25}$ τελειώνει σε

άρα ο $4\cdot 16^{25}$ τελειώνει σε

Ο $5^{70}$ τελειώνει σε

Ο $5^{69}$ επίσης τελειώνει σε

Άρα ο $12\cdot 5^{69}$ τελειώνει σε

Τελικά ο $4^{51}+5^{70}+7$ τελειώνει σε

αφού

Eδώ τώρα χρειάζεται προσοχή. Για να βρόυμε το τελευταίο ψηφίο του

εκκρεμεί να βρούμε το τελευταίο ψηφίο μιας αφαίρεσης. Εδώ δεν παίζουν μόνο ρόλο τα δύο τελευταία ψηφία αλλά και αν το αποτέλεσμα της αφαίρεσης είναι θετικό ή αρνητικό.
Παρατηρούμε ότι A<0

αφού $4^{51}+5^{70}+7<5^{69}+5\cdot 5^{69}+5^{69}<12\cdot 5^{69}.$
Άρα το τελευταίο ψηφίο της αφαίρεσης $12\cdot 5^{69}-(4^{51}+5^{70}+7)$ είναι το

δηλαδή ο

καθώς και ο

τελειώνουν σε

(Ευχαριστώ το Δημήτρη για την υπόδειξη ενός λάθους που ελπίζω να διορθώθηκε.)

#1704

ΑΣΚΗΣΗ 805: Να εξετάσετε αν ο αριθμός: $\displaystyle{376^{200}+135^{300}+7^{400}+98}$ , διαιρείται με το $\displaystyle{100}$ .

gavrilos · #1705

Θα πρέπει να αποδείξουμε ότι ο αριθμός διαιρείται συγχρόνως από τους αριθμούς $\displaystyle{4,25}$ .

$\bullet$ $\displaystyle{376\equiv 0\pmod 4\Leftrightarrow 376^{200}\equiv 0\pmod 4}$ .

$\bullet$ $\displaystyle{135\equiv -1\pmod 4\Leftrightarrow 135^{300}\equiv (-1)^{300}\pmod 4\equiv 1\pmod 4}$ .

$\bullet$ $\displaystyle{7\equiv -1\pmod 4\Leftrightarrow 7^{400}\equiv (-1)^{400}\pmod 4\equiv 1\pmod 4}$ .

Άρα $\displaystyle{376^{200}+135^{300}+49^{200}+98\equiv 0+1+1+2\pmod 4\equiv 0\pmod 4}$ .Άρα ο αριθμός διαιρείται από το $\displaystyle{4}$ .

$\bullet$ $\displaystyle{135^{300}=5^{300}\cdot 27^{300}=25^{150}\cdot 27^{300}}$ .Άρα $\displaystyle{25|135^{300}}$ .

$\bullet$ $\displaystyle{376\equiv 1\pmod {25}\Leftrightarrow 376^{200}\equiv 1\pmod {25}}$ και

$\bullet$ $\displaystyle{49=-1\pmod {25}\Leftrightarrow 49^{200}\equiv 1\pmod {25}}$ .

$\displaystyle{376^{200}+135^{300}+49^{200}+98\equiv 1+0+1-2\pmod {25}\equiv 0\pmod {25}}$ .Άρα ο αριθμός μας διαιρείται και από το $\displaystyle{25}$ .

Συνεπώς ο αριθμός διαιρείται από το $\displaystyle{4\cdot 25=100}$ .

#1706

ΑΣΚΗΣΗ 806:
Βρείτε όλους τους πρώτους της μορφής $\displaystyle{ \frac{a^3+b^3}{a^2+b^2+ab} , a,b\in \Bbb{Z}.}$

#1707

ΑΣΚΗΣΗ 807:
Να λυθεί η εξίσωση $4^n=1899+m^3, \ ,m,n \in \Bbb{Z}.$

#1708

ΑΣΚΗΣΗ 808:
Δείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο

, ο αριθμός 7^n-1

δε διαιρείται από τον 6^n-1.

ΑΣΚΗΣΗ 809:
Βρείτε 2012

διαφορετικούς ανά δύο θετικούς ακεραίους με άθροισμα τέλειο τετράγωνο και γινόμενο τέλειο κύβο.

sokratis lyras · #1709

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 806:
Βρείτε όλους τους πρώτους της μορφής $\displaystyle{ \frac{a^3+b^3}{a^2+b^2+ab} , a,b\in \Bbb{Z}.}$

$\displaystyle{\frac{a^3+b^3}{a^2+b^2+ab}=p\implies \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{p}\in Z\implies p|a+b$ ή p|a^2-ab+b^2}

A)

$\displaystyle{p|a+b\implies a^2-ab+b^2|a^2+ab+b^2$ και από την προφανή $\displaystyle{\frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}\le 3}$

καταλήγουμε στις $\displaystyle{\frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}=3}$ , $\displaystyle{\frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}=2}$

Η πρώτη δίνει $\displaystyle{a=b\implies p=2}$ ενώ η 2η ανάγεται στην $\displaystyle{a^2-3ab+b^2=0}$ που δεν έχει ακέραιες λύσεις ( $\mod 3$ και άπειρη κάθοδος).

Β)

$\displaystyle{p|a^2-ab+b^2\implies a+b|a^2+b^2+ab\implies a+b|ab\implies a+b|a^2-ab+b^2\implies p|a+b}$ και αναγόμαστε στην A.

gavrilos · #1710

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 807:
Να λυθεί η εξίσωση $4^n=1899+m^3, \ ,m,n \in \Bbb{Z}.$

Αρχικά,αφού το δεξί μέλος είναι ακέραιο,θα είναι ακέραιο και το αριστερό,επομένως $\displaystyle{n\geq 0}$ .Ακόμη,επειδή το αριστερό μέλος είναι

θετικό,θα είναι και το δεξί θετικό κι έτσι $\displaystyle{m\geq -12}$ .

Βρίσκουμε ότι $\displaystyle{1\equiv 0+m^{3}\pmod 3\Leftrightarrow m^{3}\equiv 1\Leftrightarrow m\equiv 1\pmod 3}$ .

Ακόμη,για $\displaystyle{n=0}$ βρίσκουμε εύκολα ότι η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

1.Αν $\displaystyle{n=3k+2}$ θα είναι $\displaystyle{64^{k}\cdot 16=1899+m^{3}\Leftrightarrow 16\equiv 0+m^{3}\pmod 9\Leftrightarrow m^{3}\equiv -2\pmod 9}$ το οποίο είναι άτοπο.

2.Αν $\displaystyle{n=3k+1}$ θα έχουμε $\displaystyle{64^{k}\cdot 4=1899+m^{3}\Leftrightarrow 4\equiv 2+m^{3}\pmod 7\Leftrightarrow m^{3}\equiv 2\pmod 7}$ το οποίο είναι άτοπο.

Άρα $\displaystyle{n=3k}$ και θα είναι $\displaystyle{64^{k}=1899+m^{3}\Leftrightarrow (4^{k}-m)(16^{k}+4^{k}m+m^{2})=1899=3^{2}\cdot 211}$ .

Ο πρώτος παράγοντας είναι σίγουρα πολλαπλάσιο του $\displaystyle{3}$ άρα έχουμε τέσσερις περιπτώσεις.

$\bullet$ $\displaystyle{\begin{cases} 4^{k}-m=3 \\ 16^{k}+4^{k}m+m^{2}=3\cdot 211 \end{cases}}$

Λύνουμε το σύστημα με αντικατάσταση και έχουμε $\displaystyle{(m+3)^{2}+m(m+3)+m^{2}=633\Leftrightarrow 3m^{2}+9m+9=633\Leftrightarrow m^{2}+3m-208=0}$ .

Η συγκεκριμένη εξίσωση έχει λύσεις $\displaystyle{13,-16}$ από τις οποίες κρατάμε μόνο την πρώτη αφού πρέπει $\displaystyle{m\geq -12}$ .

Συνεπώς αυτή η περίπτωση μας δίνει τη λύση $\displaystyle{(m,n)=(13,6)}$ .

$\bullet$ $\displaystyle{\begin{cases} 4^{k}-m=9\\ 16^{k}+4^{k}m+m^{2}=211 \end{cases}}$

Δουλεύοντας όπως και παραπάνω δημιουργούμε την εξίσωση $\displaystyle{3m^{2}+27m-130=0}$ της οποίας η διακρίνουσα ισούται με

$\displaystyle{2289}$ αριθμός ο οποίος δεν είναι τέλειο τετράγωνο άρα η εξίσωση δεν έχει ρητές λύσεις.

$\bullet$ $\displaystyle{\begin{cases} 4^{k}-m=3\cdot 211\\ 16^{k}+4^{k}m+m^{2}=3 \end{cases}}$

Θα πρέπει όμως να απορρίψουμε αυτήν την περίπτωση αφού $\displaystyle{16^{k}+4^{k}m+m^{2}=3\Leftrightarrow m^{2}\equiv 3\pmod 4}$ κάτι που είναι άτοπο.

$\bullet$ $\displaystyle{\begin{cases} 4^{k}-m=1899\Leftrightarrow 16^{k}-2\cdot 4^{k}m+m^{2}=1899^{2}\\ 16^{k}+4^{k}m+m^{2}=1 \end{cases}}$

Με αφαίρεση των δύο ισοτήτων κατά μέλη έχουμε $\displaystyle{-3\cdot 4^{k}m=1898\cdot 1900}$ το οποίο απορρίπτεται αφού το πρώτο μέλος είναι πολλαπλάσιο του τρία ενώ το δεύτερο δεν είναι.

Συνοψίζοντας η εξίσωση έχει μοναδική λύση $\displaystyle{(m,n)=(13,6)}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

jim.jt · #1711

gavrilos έγραψε:1.Αν $\displaystyle{n=3k+2}$ θα είναι $\displaystyle{64^{k}\cdot 16=1899+m^{3}\Leftrightarrow 16\equiv 0+m^{3}\pmod 9\Leftrightarrow m^{3}\equiv -2\pmod 9}$ το οποίο είναι άτοπο.

2.Αν $\displaystyle{n=3k+1}$ θα έχουμε $\displaystyle{64^{k}\cdot 4=1899+m^{3}\Leftrightarrow 4\equiv 2+m^{3}\pmod 7\Leftrightarrow m^{3}\equiv 2\pmod 7}$ το οποίο είναι άτοπο.

Άρα $\displaystyle{n=3k}$ και θα είναι $\displaystyle{64^{k}=1899+m^{3}\Leftrightarrow (4^{k}-m)(16^{k}+4^{k}m+m^{2})=1899=3^{2}\cdot 211}$ .

Γιώργο, καταρχάς καλή επιτυχία για αύριο.

Θα μπορούσες να παραλείψεις αυτό το σημείο χρησιμοποιώντας την γνωστή πρόταση:

"Ο κύβος ενός αριθμού είναι ισοϋπόλοιπος με $-1,0,1 \pmod7$ "

και ότι $1899\equiv 2 \pmod7$ , άρα $4^n\equiv 1\pmod7 \Rightarrow n=3k$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΥΓ: Καλή επιτυχία σε όλους αύριο!

gavrilos · #1712

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 809:
Βρείτε διαφορετικούς ανά δύο θετικούς ακεραίους με άθροισμα τέλειο τετράγωνο και γινόμενο τέλειο κύβο.

Πονηρή άσκηση,αλλά αφοπλιστικά εύκολη η λύση.

Οι αριθμοί είναι οι $\displaystyle{1^{3},2^{3},3^{3},...,2012^{3}}$ .

Κι αυτό επειδή το άθροισμα της σειράς $\displaystyle{1^{3}+2^{3}+3^{3}+....+2012^{3}}$ ισούται με $\displaystyle{\left(\frac{2012\cdot 2013}{2}\right)^{2}}$

ενώ το γινόμενο των αριθμών ισούται με $\displaystyle{(2012!)^{3}}$ .

#1713

ΑΣΚΗΣΗ 810:
Βρείτε όλους τους πρώτους της μορφής $\frac{1}{11} \cdot \underbrace{11\ldots 1}_{2n \textrm{ ones}}$ , όπου

θετικός ακέραιος.

ΑΣΚΗΣΗ 811:
Να προσδιορίσετε τα στοιχεία των συνόλων
$\displaystyle{A = \{x \in \Bbb{N} | x \ne 4a + 7b, \ a, b \in \Bbb{N}\}}$
$\displaystyle{B = \{x \in \Bbb{N} | x \ne 3a + 11b, \ a, b \in \Bbb{N} \} }$

ΑΣΚΗΣΗ 812:
Σε ένα πρωτάθλημα ποδοσφαίρου συμμετέχουν

ομάδες. Μετά τις πρώτες

αγωνιστικές παρατηρήθηκε ότι όλες οι ομάδες είχαν διαφορετικό αριθμό βαθμών.Πόσα παιχνίδια έληξαν ισόπαλα;
(Σε κάθε αγωνιστική πραγματοποιούνται

παιχνίδια. Κατά τα γνωστά, η νίκη βαθμολογείται με

βαθμούς, η ισοπαλία με

βαθμό ενώ η ήττα με

βαθμούς.)

gavrilos · #1714

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 812:
Σε ένα πρωτάθλημα ποδοσφαίρου συμμετέχουν ομάδες. Μετά τις πρώτες αγωνιστικές παρατηρήθηκε ότι όλες οι ομάδες είχαν διαφορετικό αριθμό βαθμών.Πόσα παιχνίδια έληξαν ισόπαλα;
(Σε κάθε αγωνιστική πραγματοποιούνται παιχνίδια. Κατά τα γνωστά, η νίκη βαθμολογείται με βαθμούς, η ισοπαλία με βαθμό ενώ η ήττα με βαθμούς.)

Μια προσπάθεια μιας και δεν έχω ασχοληθεί πολύ με τέτοια προβλήματα.

Σε $\displaystyle{6}$ αγωνιστικές μια ομάδα δεν μπορεί να έχει $\displaystyle{17}$ βαθμούς.Άρα οι ομάδες έχουν $\displaystyle{0,1,2,3,...,16,18}$ βαθμούς.

Συνολικά έχουν δοθεί $\displaystyle{1+2+3+...+16+18=154}$ βαθμοί.

Αν κανένα παιχνίδι δεν είχε λήξει ισόπαλο θα δίνονταν $\displaystyle{9\cdot 3=27}$ βαθμοί σε κάθε αγωνιστική,δηλαδή $\displaystyle{27\cdot 6=162}$

βαθμοί συνολικά αριθμός ο οποίος εκφράζει το μέγιστο των βαθμών που θα μπορούσαν να είχαν δοθεί.

Άρα έχουν "χαθεί" $\displaystyle{8}$ βαθμοί.Αφού σε κάθε ισόπαλο παιχνίδι "χάνεται" ένας βαθμός,έχουν έρθει ισόπαλα $\displaystyle{8}$ παιχνίδια.

gavrilos · #1715

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 811:
Να προσδιορίσετε τα στοιχεία των συνόλων
$\displaystyle{A = \{x \in \Bbb{N} | x \ne 4a + 7b, \ a, b \in \Bbb{N}\}}$
$\displaystyle{B = \{x \in \Bbb{N} | x \ne 3a + 11b, \ a, b \in \Bbb{N} \} }$

Θα αποδείξουμε ότι για $\displaystyle{b\geq 6}$ όλοι οι αριθμοί $\displaystyle{x\geq 48}$ δεν ανήκουν στο σύνολο.

$\bullet$ $\displaystyle{x=7b+1\Leftrightarrow x=7(b-1)+4\cdot 2}$ που δεν ανήκει στο $\displaystyle{A}$ .

$\bullet$ $\displaystyle{x=7b+2\Leftrightarrow x=7(b-2)+4\cdot 2\not\in A}$ .

$\bullet$ $\displaystyle{x=7b+3\Leftrightarrow x=7(b-3)+4\cdot 6\not\in A}$ .

$\bullet$ $\displaystyle{x=7b+4\not\in A}$ .

$\bullet$ $\displaystyle{x=7b+5\Leftrightarrow x=7(b-5)+4\cdot 10\not\in A}$ .

$\bullet$ $\displaystyle{x=7b+6\Leftrightarrow x=7(b-6)+48\not\in A}$ .

Επομένως όλα τα $\displaystyle{x\geq 48}$ μπορούν να γραφούν ως $\displaystyle{4a+7k}$ άρα δεν ανήκουν στο $\displaystyle{A}$ .

Επίσης,οι αριθμοί $\displaystyle{0,11,15,18,19,20,22,23,25,26,27,29,30,31,33,34,37,38,39,41,43,45,46,47}$ δεν ανήκουν στο $\displaystyle{A}$ ,

όπως και όλα τα πολλαπλάσια των $\displaystyle{4,7}$ μικρότερα ή ίσα του $\displaystyle{48}$ .

Συνεπώς $\displaystyle{A=\{1,2,3,5,6,9,10,13,17\}}$ .

Με παρόμοιο τρόπο δουλεύουμε και για το δεύτερο σύνολο.Αν θέλει κάποιος ας βάλει τη λύση.

#1716

ΑΣΚΗΣΗ 813

Το άθροισμα των αντιστρόφων 2013

θετικών ακεραίων είναι τουλάχιστον ίσο με

. Να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον από αυτούς τους 2013

αριθμούς είναι ίσοι.

kleovoulos · #1717

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 813

Το άθροισμα των αντιστρόφων θετικών ακεραίων είναι τουλάχιστον ίσο με . Να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον από αυτούς τους αριθμούς είναι ίσοι.

Παραθέτω μία σκέψη γιατί λύση δεν κατάφερα να βρω (άτιμη Α' Λυκείου με τον περιορισμένο ελεύθερο χρόνο).

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#1718

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 813

Το άθροισμα των αντιστρόφων θετικών ακεραίων είναι τουλάχιστον ίσο με . Να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον από αυτούς τους αριθμούς είναι ίσοι.

Έστω $a_1\leq a_2\leq...\leq a_{2013}$ οι αριθμοί. Αν είναι διαφορετικοί ανά δύο, τότε $a_1\geq 1, a_2\geq 2,..., a_{2013}\geq 2013.$

Οπότε

$\displaystyle{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2013}}\leq 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2013}<1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2047}< }$

$\displaystyle{<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1024}+\frac{1}{1024}+..+\frac{1}{1024}=1+1+..+1=11.}$

Όμως, $\displaystyle{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2013}}\geq 11}$ οπότε έχουμε άτοπο.

Επομένως, δύο από αυτούς είναι ίσοι.

#1719

ΑΣΚΗΣΗ 814
Οι πραγματικοί αριθμοί x,y,z

είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{ x+y+z = xyz .}$ Να δείξετε ότι

$\displaystyle{ \frac{xy}{x^2+1}+\frac{yz}{y^2+1}+\frac{zx}{z^2+1}=\frac{xz}{x^2+1}+\frac{yx}{y^2+1}+\frac{zy}{z^2+1} .}$

gauss1988 · #1720

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 814
Οι πραγματικοί αριθμοί είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{ x+y+z = xyz .}$ Να δείξετε ότι

$\displaystyle{ \frac{xy}{x^2+1}+\frac{yz}{y^2+1}+\frac{zx}{z^2+1}=\frac{xz}{x^2+1}+\frac{yx}{y^2+1}+\frac{zy}{z^2+1} .}$

Αρκεί να αποδείξω ότι $\frac{x(y-z)}{x^2 +1}+\frac{y(z-x)}{y^2 +1}+\frac{z(x-y)}{z^2 +1}=0$ (1)

Από $x+y+z=xyz\Rightarrow z=\frac{x+y}{xy-1}$ , (εύκολα βλέπω ότι $xy\neq 1$ )

(1) $\Leftrightarrow \frac{x(y-\frac{x+y}{xy-1})}{x^2 +1}+\frac{y(\frac{x+y}{xy-1}-x)}{y^2 +1}+\frac{\frac{x+y}{xy-1}(x-y)}{\frac{(x+y)^2}{(xy-1)^2}+1}=0}$

$\Leftrightarrow \frac{x^2 y^2 -2xy-x^2}{(xy-1)(x^2 +1)}+\frac{2xy+y^2 -x^2 y^2 +xy}{(xy-1)(y^2 +1)}+\frac{(x^2 -y^2 )(xy-1)}{(x^2 +1)(y^2 +1)}=0$

Aν κάνω ομόνυμα τα κλάσματα στο πρώτο μέλος και τις απλές πράξεις, θα πάρω αποτέλεσμα το μηδέν που θέλω.

Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση