A' ΔΕΣΜΗ 1997

parmenides51 · #1

1. α) Να αποδειχθεί ότι αν ένας τετραγωνικός πίνακας $\displaystyle{A}$ είναι αντιστρέψιμος, τότε ο αντίστροφός του είναι μοναδικός.
β) Έστω ότι $\displaystyle{ A,B}$ είναι $\displaystyle{\nu \,\, x \,\, \nu}$ πίνακες και έστω ότι οι πίνακες $\displaystyle{ A,B}$ και $\displaystyle{2AB-3\mathbb{I} }$ είναι αντιστρέψιμοι.
Να αποδειχθεί ότι οι πίνακες $\displaystyle{\Gamma =2A-3B^{-1}}$ και $\displaystyle{\Delta=(2A-3B^{-1})^{-1} -\frac{1}{2}}A^{-1} }$ είναι αντιστρέψιμοι.

2. α) Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις $\displaystyle{f,g}$ με πεδίο ορισμού το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ που έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και $\displaystyle{g(x)\ne 0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ .
Έστω $\displaystyle{ \alpha}$ πραγματικός αριθμός. Θέτουμε $\displaystyle{A}=\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}}$ και $\displaystyle{B=\frac{{f}'(\alpha)-A{g}'(a)}{g(a)}}$ .
Αν φ είναι πραγματική συνάρτηση ορισμένη στο $\displaystyle{\mathbb{R} -\{\alpha \}}$ , τέτοια ώστε $\displaystyle{\frac{f(x)}{{{(x-\alpha)}^{2}}g(x)}=\frac{A}{(x-\alpha)^2}+\frac{B}{x- \alpha}+\frac{\phi (x)}{g(x)}}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R} -\{\alpha \}}$ ,
να αποδειχθεί ότι υπάρχει το $\displaystyle{\lim_{x \to \alpha }\phi (x)}$ .
β) Υποθέτουμε ότι υπάρχει πραγματική συνάρτηση $\displaystyle{f}$ ορισμένη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ , δύο φορές παραγωγίσιμη τέτοια ώστε υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{\alpha, \beta }$
ώστε $\displaystyle{(x-2){f}''(x)+(\alpha \eta \mu x -\beta {{x}^{2}}){f}'(x)={{e}^{x-2}}-1}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ . Έστω ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός $\displaystyle{\rho \ne 2}$ ώστε $\displaystyle{{f}'(\rho )=0}$ .
Να εξετάσετε αν το $\displaystyle{f(\rho ) }$ είναι τοπικό ελάχιστο της συνάρτησης $\displaystyle{ f}$ .

3. α) Δίνεται πραγματική συνάρτηση $\displaystyle{g}$ δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{g(x)>0}$ κα $\displaystyle{{g}''(x)g(x)-{{\left[ {g}'(x) \right]}^{2}}>0}}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ .
Να αποδείξετε ότι :
i) η συνάρτηση $\displaystyle{\frac{{{g}'}}{g}}$ είναι γνησίως αύξουσα και
ii) $\displaystyle{g\left(\frac{{{x}_{1}}}{2}+\frac{{{x}_{2}}}{2}\right)\le \sqrt{g({{x}_{1}})g({{x}_{2}})}}$ για κάθε $\displaystyle{x_1,x_2 \in \mathbb{R}}$ .
β) Υποθέτουμε ότι υπάρχει πραγματική συνάρτηση $\displaystyle{g}$ παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{ \mathbb{R}}$ , τέτοια ώστε υπάρχει πραγματικός αριθμός $\displaystyle{\alpha}$
ώστε να ισχύει $\displaystyle{g(x+y)={{e}^{x}}g(y)+{{e}^{y}}g(x)+xy+\alpha}$ για κάθε $\displaystyle{x,y\in \mathbb{R}}$ . Να αποδείξετε ότι :
i) $\displaystyle{g(0)= -\alpha}$
ii) $\displaystyle{{g}'(x)=g(x)+{g}'(0){{e}^{x}}+x}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ .

4. Έστω $\displaystyle{C}$ είναι η γραμμή του επιπέδου με εξίσωση $\displaystyle{y=\alpha x^3 +\beta x^2+\gamma x+\delta}$ όπου $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma,\delta}$ είναι πραγματικοί αριθμοί και $\displaystyle{\alpha \ne 0}$ .
Έστω $\displaystyle{A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),\Gamma(x_3,y_3),\Delta(x_4,y_4)}$ είναι σημεία της $\displaystyle{C}$ .
Υποθέτουμε ότι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle{AB}$ συμπίπτει με το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle{ \Gamma\Delta}$
και επίσης υποθέτουμε ότι το μέσο αυτό δεν ανήκει στη ευθεία που έχει εξίσωση $\displaystyle{ \beta +3\alpha x=0}$ .
α) Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{x_1x_2=x_3x_4}$
β) Να αποδειχθεί ότι το σημείο $\displaystyle{A}$ συμπίπτει με το σημείο $\displaystyle{\Gamma}$ ή με το σημείο $\displaystyle{ \Delta}$ .

Υ.Γ. το 4ο θέμα με στοίχειωσε, τότε δεν το έλυσα

ArgirisM · #2

parmenides51 έγραψε: 4. Έστω $\displaystyle{C}$ είναι η γραμμή του επιπέδου με εξίσωση $\displaystyle{y=\alpha x^3 +\beta x^2+\gamma x+\delta}$ όπου $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma,\delta}$ είναι πραγματικοί αριθμοί και $\displaystyle{\alpha \ne 0}$ .
Έστω $\displaystyle{A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),\Gamma(x_3,y_3),\Delta(x_4,y_4)}$ είναι σημεία της $\displaystyle{C}$ .
Υποθέτουμε ότι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle{AB}$ συμπίπτει με το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle{ \Gamma\Delta}$
και επίσης υποθέτουμε ότι το μέσο αυτό δεν ανήκει στη ευθεία που έχει εξίσωση $\displaystyle{ \beta +3\alpha x=0}$ .
α) Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{x_1x_2=x_3x_4}$
β) Να αποδειχθεί ότι το σημείο $\displaystyle{A}$ συμπίπτει με το σημείο $\displaystyle{\Gamma}$ ή με το σημείο $\displaystyle{ \Delta}$ .

Υ.Γ. το 4ο θέμα με στοίχειωσε, τότε δεν το έλυσα

Αναλαμβάνω να ξορκίσω το κακό

!
α)Αφού πρόκειται για σημεία της γραμμής, θα επαληθεύουν την εξίσωσή της. Έχουμε λοιπόν τις σχέσεις y_1 = ax_1^3 + bx_1^2 + cx_1 + d, y_2 = ax_2^3 + bx_2^2 + cx_2 + d, y_3 = ax_3^3 + bx_3^2 + cx_3 + d, y_4 = ax_4^3 + bx_4^2 + cx_4 + d

.
Ακόμη αφού τα μέσα των δύο τμημάτων ταυτίζονται, έχουμε τις σχέσεις x_1 + x_2 = x_3 + x_4 (1), y_1 + y_2 = y_3 + y_4 (2)

.
Από τις αρχικές σχέσεις προσθέτουμε τις δύο πρώτες και αφαιρούμε από το άθροισμά τους τις άλλες δύο, οπότε προκύπτει, σύμφωνα και με τις σχέσεις (1), (2)

: $a(x_1^3 + x_2^3 - x_3^3 - x_4^3) + b(x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 - x_4^2) = 0 \Longleftrightarrow a[(x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2) - (x_3 + x_4)^3 + 3x_3x_4(x_3 + x_4)] + b[(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 - (x_3 + x_4)^2 + 2x_3x_4] = 0 \Longleftrightarrow - 3a(x_1 + x_2)(x_1x_2 - x_3x_4) - 2b(x_1x_2 - x_3x_4) = 0 \Longleftrightarrow (x_1x_2 - x_3x_4)[3a(x_1 + x_2) + 2b] = 0 \Longleftrightarrow x_1x_2 = x_3x_4$ (από τον περιορισμό αποκλείεται η άλλη περίπτωση).

β) Θεωρούμε την εξίσωση a^2 - (x_1 + x_2)a + x_1x_2 = 0

, η οποία έχει λύσεις a = x_1

ή

. Όμως λόγω της σχέσης (1)

, αλλά και αυτής που αποδείξαμε στα πλαίσια του προηγούμενου υποερωτήματος, προκύπτει ότι η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την a^2 - (x_3 + x_4)a + x_3x_4 = 0

, που έχει λύσεις a = x_3

ή

. Επειδή αποκλείεται η δευτεροβάθμια να έχει τέσσερις ξεχωριστές λύσεις, θα είναι είτε x_1 = x_3

, είτε

, πράγμα που θα ισχύει βεβαίως ανάλογα και για την άλλη λύση. Αφού πρόκειται για σημεία της ίδιας γραμμής, το γεγονός ότι έχουν την ίδια τετμημένη εξασφαλίζει ότι θα έχουν και την ίδια τεταγμένη, επομένως θα ταυτίζονται. Άρα το

θα ταυτίζεται είτε με το $\Gamma$ είτε με το $\Delta$ .

BAGGP93 · #3

parmenides51 έγραψε:

3. α) Δίνεται πραγματική συνάρτηση $\displaystyle{g}$ δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{g(x)>0}$ κα $\displaystyle{{g}''(x)g(x)-{{\left[ {g}'(x) \right]}^{2}}>0}}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ .
Να αποδείξετε ότι :
i) η συνάρτηση $\displaystyle{\frac{{{g}'}}{g}}$ είναι γνησίως αύξουσα και
ii) $\displaystyle{g\left(\frac{{{x}_{1}}}{2}+\frac{{{x}_{2}}}{2}\right)\le \sqrt{g({{x}_{1}})g({{x}_{2}})}}$ για κάθε $\displaystyle{x_1,x_2 \in \mathbb{R}}$ .
β) Υποθέτουμε ότι υπάρχει πραγματική συνάρτηση $\displaystyle{g}$ παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{ \mathbb{R}}$ , τέτοια ώστε υπάρχει πραγματικός αριθμός $\displaystyle{\alpha}$
ώστε να ισχύει $\displaystyle{g(x+y)={{e}^{x}}g(y)+{{e}^{y}}g(x)+xy+\alpha}$ για κάθε $\displaystyle{x,y\in \mathbb{R}}$ . Να αποδείξετε ότι :
i) $\displaystyle{g(0)= -\alpha}$
ii) $\displaystyle{{g}'(x)=g(x)+{g}'(0){{e}^{x}}+x}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ .

αi)Η συνάρτηση $\displaystyle{\frac{g^\prime}{g}}$ είναι ορισμένη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ , συνεχής σε αυτό ως πηλίκο

συνεχών συναρτήσεων , παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων , αφού υπάρχει η $\displaystyle{g''}$ , και ισχύει ότι

$\displaystyle{\frac{d}{dx}\left(\frac{g^\prime(x)}{g(x)}\right)=\frac{g''(x)\,g(x)-g^\prime(x)\cdot g^\prime(x)}{g^2(x)}=\frac{g''(x)\,g(x)-\left(g^\prime(x)\right)^2}{g^2(x)}>0\ \forall x\in\mathbb{R}}$

Επομένως, η $\displaystyle{\frac{g^\prime}{g}}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$

Για τυχόντα $\displaystyle{x_1,x_2\in\mathbb{R}}$ , επειδή $\displaystyle{g(x)>0\,\,,x\in\mathbb{R}}$ , έχουμε

$\displaystyle{\begin{aligned} g\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\leq \sqrt{g(x_1)\cdot g(x_2)}&\Leftrightarrow g^2\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\leq g(x_1)\cdot g(x_2)\\&\Leftrightarrow \ln \left[g^2\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\right]\leq \ln \left(g(x_1)\cdot g(x_2)\right]\\&\Leftrightarrow \ln \left[g\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\right]-\ln g(x_1)\leq \ln g(x_2)-\ln \left[g\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\right]}\end{aligned}$

Αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει η τελευταία ανισότητα.

Απόδειξη

Έστω $\displaystyle{x_1,x_2\in\mathbb{R}}$

Αν $\displaystyle{x_1=x_2}$ , τότε η τελευταία ισχύει με την ισότητα.

Ας είναι $\displaystyle{x_1<x_2}$ . Τότε, εφαρμόζοντας το Θεώρημα Μέσης Τιμής για την συνάρτηση $\displaystyle{h(x)=\ln g(x)\,,x\in\mathbb{R}}$

στο διάστημα $\displaystyle{\left[x_1,\frac{x_1+x_2}{2}\right]}$ , προκύπτει ότι υπάρχει $\displaystyle{a\in\left(x_1,\frac{x_1+x_2}{2}\right)}$

τέτοιο, ώστε $\displaystyle{h^\prime(a)=\frac{g^\prime(a)}{g(a)}=\frac{g\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)-g(x_1)}{\frac{x_1+x_2}{2}-x_1}$

Με την ίδια διαδικασία, βρίσκουμε $\displaystyle{b\in\left(\frac{x_1+x_2}{2},x_2\right)}$ τέτοιο, ώστε

$\displaystyle{h^\prime(b)=\frac{g^\prime(b)}{g(b)}=\frac{g(x_2)-g\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)}{x_2-\frac{x_1+x_2}{2}}}$

Από το ερώτημα α), το γεγονός ότι $\dispalystyle{a<b}$ και το ότι $\displaystyle{\frac{x_1+x_2}{2}-x_1=x_2-\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{x_2-x_1}{2}>0$

έπεται το ζητούμενο.

Ομοίως, αν $\displaystyle{x_1>x_2}$

βi)Η δοσμένη σχέση για $\displaystyle{x=y=0}$ δίνει,

$\displaystyle{g(0)=g(0)+g(0)+\alpha\Rightarrow g(0)=-\alpha}$

Για σταθερό $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ , παραγωγίζουμε την αρχική σχέση ως προς $\displaystyle{y}$ έχουμε ότι,

$\displaystyle{g^\prime(x+y)=e^{x}\,g^\prime(y)+e^{y}\,g(x)+x\,\,,x,y\in\mathbb{R}}$

Θέτοντας στην τελευταία $\displaystyle{y=0}$ βρίσκουμε

$\displaystyle{g^\prime(x)=g(x)+g^\prime(0)\,e^{x}+x\,,x\in\mathbb{R}}$

Επίσης,(χωρίς να ζητείται) για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ είναι,

$\displaystyle{\begin{aligned}g^\prime(x)=g(x)+g^\prime(0)\,e^{x}+x&\Leftrightarrow g^\prime(x)-g(x)=g^\prime(0)\,e^{x}+x\\&\Leftrightarrow e^{-x}\left[g^\prime(x)-g(x)\right]=g^\prime(0)+x\,e^{-x}\\&\Leftrightarrow \int_{0}^{x} e^{-t}\left[g^\prime(t)-g(t)\right]\,dt=\int_{0}^{x} \left(g^\prime(0)+t\,e^{-t}\right)\,dt\\&\Leftrightarrow \left[e^{-t}\,g(t)\right]_{0}^{x}=g^\prime(0)\,x+\int_{0}^{x}t\,e^{-t}\,dt\\&\Leftrightarrow e^{-x}\,g(x)-g(0)=g^\prime(0)\,x+\left[t\left(-e^{-t}\right)\right]_{0}^{x}-\int_{0}^{x}(-e^{-t})\,dt\\&\Leftrightarrow e^{-x}\,g(x)=g(0)+g^\prime(0)\,x-x\,e^{-x}-\left[e^{-t}\right]_{0}^{x}\\&\Leftrightarrow e^{-x}\,g(x)=g(0)+g^\prime(0)\,x-x\,e^{-x}+1-e^{-x}\\&\Leftrightarrow g(x)=g(0)\,e^{x}+g^\prime(0)\,x\,e^{x}-x+e^{x}-1\end{aligned}}$

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

hlkampel · #5

parmenides51 έγραψε:1. α) Να αποδειχθεί ότι αν ένας τετραγωνικός πίνακας $\displaystyle{A}$ είναι αντιστρέψιμος, τότε ο αντίστροφός του είναι μοναδικός.
β) Έστω ότι $\displaystyle{ A,B}$ είναι $\displaystyle{\nu \,\, x \,\, \nu}$ πίνακες και έστω ότι οι πίνακες $\displaystyle{ A,B}$ και $\displaystyle{2AB-3\mathbb{I} }$ είναι αντιστρέψιμοι.
Να αποδειχθεί ότι οι πίνακες $\displaystyle{\Gamma =2A-3B^{-1}}$ και $\displaystyle{\Delta=(2A-3B^{-1})^{-1} -\frac{1}{2}}A^{-1} }$ είναι αντιστρέψιμοι.

α) Θεωρία

β) $\Gamma = 2{\rm A} - 3{{\rm B}^{ - 1}} \Leftrightarrow \Gamma {\rm B} = 2{\rm A}{\rm B} - 3{\rm I} \Rightarrow \Gamma {\rm B}{\left( {2{\rm A}{\rm B} - 3{\rm I}} \right)^{ - 1}} = {\rm I}$

Άρα ο $\Gamma$ είναι αντιστρέψιμος με ${\Gamma ^{ - 1}} = {\rm B}{\left( {2{\rm A}{\rm B} - 3{\rm I}} \right)^{ - 1}}$ (1)

$\displaystyle\Delta = {\left( {2{\rm A} - 3{{\rm B}^{ - 1}}} \right)^{ - 1}} - \frac{1}{2}{{\rm A}^{ - 1}} \Rightarrow \Delta = {\Gamma ^{ - 1}} - \frac{1}{2}{{\rm A}^{ - 1}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)}$

$\displaystyle\Delta = {\rm B}{\left( {2{\rm A}{\rm B} - 3{\rm I}} \right)^{ - 1}} - \frac{1}{2}{{\rm A}^{ - 1}} \Rightarrow \Delta \left( {2{\rm A}{\rm B} - 3{\rm I}} \right) = {\rm B} - \frac{1}{2}{{\rm A}^{ - 1}}\left( {2{\rm A}{\rm B} - 3{\rm I}} \right) \Rightarrow$

$\displaystyle\Delta \left( {2{\rm A}{\rm B} - 3{\rm I}} \right) = {\rm B} - {\rm B} + \frac{3}{2}{{\rm A}^{ - 1}} \Leftrightarrow \Delta \left( {2{\rm A}{\rm B} - 3{\rm I}} \right){\rm A} = \frac{3}{2}{\rm I} \Leftrightarrow$

$\displaystyle\frac{2}{3}\Delta \left( {2{\rm A}{\rm B} - 3{\rm I}} \right){\rm A} = {\rm I}$

Άρα ο $\Delta$ είναι αντιστρέψιμος με $\displaystyle {\Delta ^{ - 1}} = \frac{2}{3}\left( {2{\rm A}{\rm B} - 3{\rm I}} \right){\rm A}$

parmenides51 · #6

parmenides51 έγραψε:2. α) Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις $\displaystyle{f,g}$ με πεδίο ορισμού το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ που έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και $\displaystyle{g(x)\ne 0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ .
Έστω $\displaystyle{ \alpha}$ πραγματικός αριθμός. Θέτουμε $\displaystyle{A}=\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}}$ και $\displaystyle{B=\frac{{f}'(\alpha)-A{g}'(a)}{g(a)}}$ .
Αν φ είναι πραγματική συνάρτηση ορισμένη στο $\displaystyle{\mathbb{R} -\{\alpha \}}$ , τέτοια ώστε $\displaystyle{\frac{f(x)}{{{(x-\alpha)}^{2}}g(x)}=\frac{A}{(x-\alpha)^2}+\frac{B}{x- \alpha}+\frac{\phi (x)}{g(x)}}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R} -\{\alpha \}}$ ,
να αποδειχθεί ότι υπάρχει το $\displaystyle{\lim_{x \to \alpha }\phi (x)}$ .

πάλι εδώ

parmenides51 έγραψε:3. β) Υποθέτουμε ότι υπάρχει πραγματική συνάρτηση $\displaystyle{g}$ παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{ \mathbb{R}}$ , τέτοια ώστε υπάρχει πραγματικός αριθμός $\displaystyle{\alpha}$
ώστε να ισχύει $\displaystyle{g(x+y)={{e}^{x}}g(y)+{{e}^{y}}g(x)+xy+\alpha}$ για κάθε $\displaystyle{x,y\in \mathbb{R}}$ . Να αποδείξετε ότι :
i) $\displaystyle{g(0)= -\alpha}$
ii) $\displaystyle{{g}'(x)=g(x)+{g}'(0){{e}^{x}}+x}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ .

Για την ιστορία, συνάρτηση που να ικανοποιεί τα δεδομένα της εκφώνησης δεν υπάρχει,
μια απόδειξη πως δεν υπάρχει βρίσκεται στο συνημμένο εδώ (σελίδα 6) του Δάσκαλου Αντώνη Κυριακόπουλου

μια συζήτηση για το πως βαθμολογούμε ασκήσεις με λάθος δεδομένα βρίσκεται εδώ

A' ΔΕΣΜΗ 1997

A' ΔΕΣΜΗ 1997

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1997

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1997

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1997

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1997

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1997

Μέλη σε σύνδεση