17 ἀριθμοί

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

Νά ἀποδειχθεῖ ὅτι μεταξύ 17 διαφορετικῶν ἀνά δύο θετικῶν ἀκεραίων:

α. εἴτε ὑπάρχουν 5 μέ τήν ἰδιότητα ὅτι κανείς ἐξ αὐτῶν δέν διαιρεῖ κάποιον ἄλλο (ἐκ τῶν 5),

β. εἴτε ὑπάρχουν μεταξύ αὐτῶν ἀριθμοί n_1<n_2<n_3<n_4<n_5

, ὥστε

,

καί

.

jim.jt · #2

Έστω ότι δεν ισχύει το α. (1)

Τότε θα υπάρχουν το πολύ

αριθμοί που δεν διαιρούνται μεταξύ τους (σύνολο

). Αναγκαστικά τότε καθένας από τους

άλλους αριθμούς (σύνολο

) θα διαιρεί τουλάχιστον έναν από τους αριθμούς του συνόλου

, αλλά επίσης θα διαιρούνται μεταξύ τους.

Αν οι αριθμοί του συνόλου

διαιρούνται σε ζευγάρια και μόνο, τότε υπάρχουν

αριθμοί που δεν διαιρούνται μεταξύ τους, άτοπο σύμφωνα με το (1)

.

Αν διαιρούνται σε τριάδες και μόνο, ένα στοιχείο θα περισσεύει και έτσι μία τριάδα θα γίνει τετράδα.

Έτσι αποδείξαμε πως στο σύνολο

υπάρχουν οπωσδήποτε

αριθμοί έστω n_1,n_2,n_3,n_4

για τους οποίους ισχύει

n_1|n_2, n_2|n_3,n_3|n_4

και επειδή από την (2)

το

διαιρεί έναν αριθμό του

έστω

, το ζητούμενο αποδείχθηκε.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #3

jim.jt έγραψε: Αν οι αριθμοί του συνόλου διαιρούνται σε ζευγάρια και μόνο, τότε υπάρχουν αριθμοί που δεν διαιρούνται μεταξύ τους, άτοπο σύμφωνα με το .

Αν διαιρούνται σε τριάδες και μόνο, ένα στοιχείο θα περισσεύει και έτσι μία τριάδα θα γίνει τετράδα.

Δυστυχῶς, δέν μπορῶ νά καταλάβω αὐτό πού προσπαθεῖς νά πεῖς.

jim.jt · #4

Έστω οι

αριθμοί του συνόλου

είναι οι $x_1,x_2,x_3...x_{13}$

Αν διαιρούνται ανά ζεύγη θα ισχύει

$x_1|x_2,x_3|x_4,...x_{11}|x_{12}|x_{13}$

και μόνο αυτές.

Έτσι όμως οι αριθμοί $x_1,x_3,x_5,x_7,x_9,x_{11}$ δεν διαιρούνται μεταξύ τους, άρα τηρούν τις προϋποθέσεις του α, άτοπο.

Αν είναι σε τριάδες και ισχύουν μόνο οι τριάδες θα έχουμε $x_1|x_2|x_3,x_4|x_5|x_6,x_7|x_8|x_9,x_{10}|x_{11}|x_{12}|x_{13}$

τότε όμως υπάρχει αναγκαστικά μια τετράδα. Όλες οι υπόλοιπες περιπτώσεις έχουν τουλάχιστον μια τετράδα μέσα.

Ελπίζω να έγινα κατανοητός.

ΥΓ: Ζευγάρι= x_1|x_2

Τριάδα=

....

Γ.-Σ. Σμυρλής · #5

jim.jt έγραψε:Έστω οι αριθμοί του συνόλου είναι οι $x_1,x_2,x_3...x_{13}$

Αν διαιρούνται ανά ζεύγη θα ισχύει

$x_1|x_2,x_3|x_4,...x_{11}|x_{12}|x_{13}$

και μόνο αυτές.

Δέν εἶναι καθόλου προφανές πῶς ἡ ἄρνηση τοῦ (α.) ἔχει ὡς συνέπεια τἀ ἀνωτέρω.

jim.jt · #6

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:
jim.jt έγραψε:Έστω οι αριθμοί του συνόλου είναι οι $x_1,x_2,x_3...x_{13}$

Αν διαιρούνται ανά ζεύγη θα ισχύει

$x_1|x_2,x_3|x_4,...x_{11}|x_{12}|x_{13}$

και μόνο αυτές.
Δέν εἶναι καθόλου προφανές πῶς ἡ ἄρνηση τοῦ (α.) ἔχει ὡς συνέπεια τἀ ἀνωτέρω.

Αυτή είναι η ελάχιστη περίπτωση για τον αριθμό του συνόλου

. Αν έχει περισσότερα στοιχεία τότε πάλι υπάρχει μια τουλάχιστον τετράδα, ενώ το σύνολο

έχει τουλάχιστον ένα στοιχείο.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #7

Σέ πρῶτο στάδιο, ἡ ἄρνηση τοῦ (α) ἔχει ὡς συνέπεια ὅτι ὑπάρχουν 7 ζεύγη:

$\displaystyle{ n_1|n_2, \ldots n_{13}|n_{14}. }$

συνολικά 14 διαφορετικῶν ἀριθμῶν, καί περισσεύουν 3 ἀριθμοί.

Πῶς προχωροῦμε παρακάτω;

Γ.-Σ. Σμυρλής · #8

@jim.jt: Εἶσαι σέ σωστό δρόμο, ἀλλά θέλει δουλειά ἡ ἀπάντηση. Γιά παράδειγμα, γιά n=16

δέν ἰσχύει.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #9

Ἐπαναφορά.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #10

Νά τό πάρει τό ποτάμι;

Ἔστω ὅτι οἱ 17 ἀριθμοί εἶναι οἱ:

$\displaystyle{ a_1 < a_2 < \cdots < a_{17}. }$

Ὁρίζομε μία καινούργια ἀκολουθία ἐπαγωγικῶς ὡς ἑξῆς: b_1=1

.

$\displaystyle{ b_k=\max \{b_j : j<k\,\,\,\&\,\,\, a_j\,|\,a_k \} +1. }$

Ἄν $b_k\ge 5$ , γιά κάποιο

, τότε ὑπάρχει $k_0\le k$ , ὥστε $b_{k_0}=5$ , ὑπάρχει k_1<k_0

μέ $a_{k_1}|a_{k_0}$ καί $b_{k_1}=4$ , ὑπάρχει k_2<k_1

μέ $a_{k_2}|a_{k_1}$ καί $b_{k_2}=3$ , ὑπάρχει k_3<k_2

μέ $a_{k_3}|a_{k_2}$ καί $b_{k_3}=2$ , καί τέλος ὑπάρχει k_4<k_3

μέ $a_{k_4}|a_{k_3}$ καί $b_{k_4}=1$ . Δηλαδή

$\displaystyle{ a_{k_4} \,|\, a_{k_3} \,|\, a_{k_2} \,|\, a_{k_1} \,|\, a_{k_0}. }$

Ἄν $b_k\le 4$ , διά κάθε

, τότε κάποιος ἐκ τῶν ἀριθμῶν 1,2,3,4 λαμβάνεται τουλάχιστον 5 φορές ἀπό τήν b_k

. Συνεπῶς θά ὑπάρχουν

$\displaystyle{ k_1 <k_2 <k_3<k_4<k_5, }$

ὥστε

$\displaystyle{ b_{k_1}=b_{k_2}=b_{k_3}=b_{k_4}=b_{k_5}, }$

Προφανῶς, κανείς ἐκ τῶν $a_{k_1},a_{k_2},a_{k_3},a_{k_4},a_{k_5}$ δέν διαιρεῖ κάποιον ἄλλο τῆς ἰδίας πεντάδας.

17 ἀριθμοί

17 ἀριθμοί

Re: 17 ἀριθμοί

Re: 17 ἀριθμοί

Re: 17 ἀριθμοί

Re: 17 ἀριθμοί

Re: 17 ἀριθμοί

Re: 17 ἀριθμοί

Re: 17 ἀριθμοί

Re: 17 ἀριθμοί

Re: 17 ἀριθμοί

Μέλη σε σύνδεση