Ασύμπτωτες - Ολοκλήρωμα και ...άλλα !

#1

Αξίζει αυτή την περίοδο να το θυμηθούμε :

ΑΣΚΗΣΗ

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\,{{e}^{\frac{x}{2}}}-{{e}^{\frac{5}{x}}}$ .

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία .

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.

δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $I=\int_{2}^{5}{\,\frac{f(x)}{x}\,}dx$

Μπάμπης

dennys · #2

α) το πεδίο ορισμού της είναι το $D_f=(-\infty,0)U(0,+\infty)$

$f{'}(x)=\cfrac{1}{2}e^{\cfrac{x}{2}}+\cfrac{5}{x^2}e^{\cfrac{5}{x}}>0, f\nearrow$

β) $\displaystyle f \nearrow x\in (-\infty,0)\Rightarrow f(A)=(\lim_{x\to -\infty}f(x),\lim_{x\to 0^{-}f(x)}=(-1,1)$

και $\displaystyle f \nearrow x\in (0,+\infty)\Rightarrow f(A)=(\lim_{x\to 0^{+}}f(x),\lim_{x\to +\infty)}f(x)=(-\infty.+\infty)$ .Αρα $f(A)=(-\infty,+\infty)$

γ)Ασύμπτωτες είναι : x=0

κατακόρυφη απο δεξιά

οριζόντια η y=-1

αφου $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=-1$

δ)το ολοκλήρωμα προκύπτει απο τo :f(10/x)=-f(x)

; ,[ή και γενικά απο x=a+b-u,x=7-u]

κλπ

$\displaystyle \int_2^{5}\cfrac{f(x)}{x}dx=$ θέτω $x=\cfrac{10}{u}\Rightarrow dx=-\cfrac{10}{u^{2}}du, x=2,u=5, x=5,u=2$

αρα $\displaystyle I=-\int_5^{2}\cfrac{f(10/u)}{(10/u)}(-\cfrac{10}{u^2})du=\int_2^{5}\cfrac{f(10/u)}{u}du=-I\Rightarrow 2I=0,I=0$

Ασύμπτωτες - Ολοκλήρωμα και ...άλλα !

Ασύμπτωτες - Ολοκλήρωμα και ...άλλα !

Re: Ασύμπτωτες - Ολοκλήρωμα και ...άλλα !

Μέλη σε σύνδεση