Πρόβλημα Euler με αυγά.

Ιστοσελίδα · #1

Από το βιβλίο του Euler: Introduction to Algebra.
Δύο αγρότισσες μετέφεραν μαζί 100 αυγά στην αγορά. Η μία είχε περισσότερα από την άλλη. Τότε είπε η πρώτη στη δεύτερη : « Αν είχα τα αυγά σου θα κέρδιζα 15€». Η δεύτερη απάντησε : « Αν εγώ είχα τα δικά σου αυγά θα κέρδιζα $6 \frac{2}{3}$ €. Πόσα αυγά είχε η καθεμία ;

ΜΠορούμε να την αφήσουμε για μαθητές αρχικά νομίζω...

manosk97 · #2

Εχω $\displaystyle{x + y = 100}$ όπου x,y ο αριθμός των αυγών που έχει η καθεμία και k η τιμή των αυγών
$\displaystyle{\begin{gathered} xk = 15 \hfill \\ yk = 6 + \frac{2}{3} \hfill \\ \end{gathered} }$

$\displaystyle{\begin{gathered} \Leftrightarrow \left( {100 - x} \right)k = \frac{{20}}{3} \hfill \\ \Leftrightarrow 100k - 15 = \frac{{20}}{3} \hfill \\ \Leftrightarrow 300k = 65 \hfill \\ k = \frac{{13}}{{60}} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} }$
$\displaystyle{\begin{gathered} \Rightarrow x = 69 \hfill \\ y = 31 \hfill \\ \end{gathered} }$ λόγω στρογγυλοποιήσεων.Πιστεύω πως δεν έχω καταλάβει σωστά την εκφώνηση και μπορεί η απάντησή μου να είναι λανθασμένη

proedrosgr · #3

manosk97 έγραψε:Εχω $\displaystyle{x + y = 100}$ όπου x,y ο αριθμός των αυγών που έχει η καθεμία και k η τιμή των αυγών
$\displaystyle{\begin{gathered} xk = 15 \hfill \\ yk = 6 + \frac{2}{3} \hfill \\ \end{gathered} }$

$\displaystyle{\begin{gathered} \Leftrightarrow \left( {100 - x} \right)k = \frac{{20}}{3} \hfill \\ \Leftrightarrow 100k - 15 = \frac{{20}}{3} \hfill \\ \Leftrightarrow 300k = 65 \hfill \\ k = \frac{{13}}{{60}} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} }$
$\displaystyle{\begin{gathered} \Rightarrow x = 69 \hfill \\ y = 31 \hfill \\ \end{gathered} }$ λόγω στρογγυλοποιήσεων.Πιστεύω πως δεν έχω καταλάβει σωστά την εκφώνηση και μπορεί η απάντησή μου να είναι λανθασμένη

Σωστή είναι η σκέψη σου, τις πράξεις στην επίλυση πρόσεχε,

manosk97 · #4

Δεν πιστεύω να υπάρχει λάθος στις πράξεις αλλά στην κατανόηση της σαν άσκηση υπάρχει κάποιο πρόβλημα

#5

polysot έγραψε:Από το βιβλίο του Euler: Introduction to Algebra.
Δύο αγρότισσες μετέφεραν μαζί 100 αυγά στην αγορά. Η μία είχε περισσότερα από την άλλη. Τότε είπε η πρώτη στη δεύτερη : « Αν είχα τα αυγά σου θα κέρδιζα 15€». Η δεύτερη απάντησε : « Αν εγώ είχα τα δικά σου αυγά θα κέρδιζα $6 \frac{2}{3}$ €. Πόσα αυγά είχε η καθεμία ;

Καλησπέρα σε όλους. Θα πρέπει να συμπληρώσουμε και το παρακάτω στην εκφώνηση:
"οι αγρότισσες αν και είχαν διαφορετικό αριθμό από αυγά, εισέπραξαν τα ίδια χρήματα για τα αυγά που πούλησαν."

Επίσης όταν ο Leonard Euler έγραψε το Elements of Algebra, βρισκόταν εκτός της ζώνης του ευρώ...

Οι κοπέλες πληρώθηκαν σε πένες.

edit: Προσωπική μου γνώμη ότι είναι λιγουλάκι δύσκολο για το φάκελο της Α΄ Λυκείου, εκτός αν υπάρχει απλούστερη λύση που δεν τη βλέπω ...

#6

Μια λύση προσπαθώντας να αποδώσω το πνεύμα του Euler, αν κατάλαβα καλά τους συμβολισμούς στο περίπου 200 ετών κείμενο...

Έστω ότι η πρώτη πουλά προς

πένες και η δεύτερη προς

πένες το κάθε αυγό.

Έστω ότι η πρώτη είχε

αυγά και η δεύτερη 100-x

, όπου

ακέραιος, $\displaystyle{0 \le x \le 100}$

Τότε αν η πρώτη πουλούσε τα αυγά της δεύτερης θα εισέπραττε

πένες, οπότε $\displaystyle{\frac{{15}}{{100 - x}} = k}$ .

Αν η δεύτερη πουλούσε τα αυγά της πρώτης θα εισέπραττε $\displaystyle{\frac{{20}}{3}}$ πένες, οπότε $\displaystyle{\frac{{20}}{{3x}} = m}$ .

Η πρώτη πούλησε

αυγά προς

πένες το ένα και η δεύτερη 100-x

προς

το ένα.

Εισέπραξαν το ίδιο ποσό, οπότε $\displaystyle{k \cdot x = \left( {100 - x} \right) \cdot m \Leftrightarrow \frac{{15x}}{{100 - x}} = \frac{{20}}{{3x}} \cdot \left( {100 - x} \right)}$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow ...\; \Leftrightarrow {x^2} + 160x - 8.000 = 0}$ από όπου παίρνουμε θετική ακέραιη ρίζα το

.

Άρα είχαν

και

αυγά αντίστοιχα.

Πρόβλημα Euler με αυγά.

Πρόβλημα Euler με αυγά.

Re: Πρόβλημα Euler με αυγά.

Re: Πρόβλημα Euler με αυγά.

Re: Πρόβλημα Euler με αυγά.

Re: Πρόβλημα Euler με αυγά.

Re: Πρόβλημα Euler με αυγά.

Μέλη σε σύνδεση