Ιδιότυπη διοφαντική!

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Απάντηση
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6595
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Ιδιότυπη διοφαντική!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Δεκ 09, 2012 10:49 pm

Έστω x και y θετικοί ακέραιοι με πρώτους παράγοντες όχι μεγαλύτερους του 5.
Βρείτε όλους αυτούς τους x,y αν x^2− y^2= 2^k για κάποιο μη αρνητικό ακέραιο k.


Θανάσης Κοντογεώργης
Κορυφή
algal
Δημοσιεύσεις: 100
Εγγραφή: Παρ Οκτ 14, 2011 9:32 pm

Re: Ιδιότυπη διοφαντική!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από algal » Δευ Δεκ 10, 2012 11:26 pm

Η εξίσωση μας δίνει:
(x-y)(x+y)=2^k
Άρα μπορώ να θέσω : x+y=2^m και x-y=2^n και υποθέτω ακόμα ότι: m+n=k και m>n. Τότε :
2x=2^m+2^n και 2y=2^m-2^n. Αν τώρα θέσω t=m-n βγαίνει ότι:
x=2^{n-1}(2^t+1) και y=2^{n-1}(2^t-1)
με t=1,2 αφού οι λύσεις έχουν πρώτους παράγοντες το πολύ μέχρι 5. Άρα οι λύσεις είναι:
(x,y)=(2^{n-1}3,2^{n-1}),(2^{n-1}5,2^{n-1}3)


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες