Σύγκριση

Atemlos · #1

Να βρείτε ποιος από τους δυο θετικούς πραγματικούς $\displaystyle{a,\beta }$ είναι ο μεγαλύτερος αν ισχύει :

$\displaystyle{\sqrt {2012} \cdot \alpha - \sqrt {2012} \cdot \beta = {\alpha ^2} + {\beta ^2} + 2012}$

manosk97 · #2

Έχω
$\displaystyle{\begin{gathered} a\sqrt {2012} - b\sqrt {2012} = {a^2} + {b^2} + 2012 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {2012} \left( {a - b} \right) = {a^2} + {b^2} + 2012 \hfill \\ \end{gathered} }$
Το δεξί μέλος είναι θετικό αφού $\displaystyle{\begin{gathered} {a^2} \geqslant 0 \hfill \\ {b^2} \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} }$ και $\displaystyle{2012 \geqslant 0}$ και αφού $\displaystyle{\sqrt {2012} \geqslant 0}$ πρέπει $\displaystyle{\begin{gathered} a - b \geqslant 0 \hfill \\ \Rightarrow a \geqslant b \hfill \\ \end{gathered} }$ που είναι και το ζητούμενο

#3

Atemlos έγραψε:Να βρείτε ποιος από τους δυο θετικούς πραγματικούς $\displaystyle{a,\beta }$ είναι ο μεγαλύτερος αν ισχύει :

$\displaystyle{\sqrt {2012} \cdot \alpha - \sqrt {2012} \cdot \beta = {\alpha ^2} + {\beta ^2} + 2012}$

Χμμμ.

Τώρα που βρήκαμε τον πιο μεγάλο, δείξετε ότι ..... δεν υπάρχουν πραγματικοί που ικανοποιούν την παραπάνω σχέση.

Μ.

#4

Η δοθείσα γράφεται ως

$\displaystyle{(a-\sqrt{503})^2+(b+\sqrt{503})^2=-1006,}$

οπότε δεν υπάρχουν τέτοιοι $\displaystyle{a,b,}$ αφού $\displaystyle{(a-\sqrt{503})^2+(b+\sqrt{503})^2\geq 0.}$

hlkampel · #5

${\alpha ^2} + {\beta ^2} + 2012 - \sqrt {2012} \alpha + \sqrt {2012} \beta = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{ \cdot 2}$

$2{\alpha ^2} + 2{\beta ^2} + 2 \cdot 2012 - 2\sqrt {2012} \alpha + 2\sqrt {2012} \beta = 0 \Leftrightarrow$

${\alpha ^2} - 2\sqrt {2012} \alpha + {\left( {\sqrt {2012} } \right)^2} + {\beta ^2} + 2\sqrt {2012} \beta + {\left( {\sqrt {2012} } \right)^2} + {\alpha ^2} + {\beta ^2} = 0 \Leftrightarrow$

${\left( {\alpha - \sqrt {2012} } \right)^2} + {\left( {\beta + \sqrt {2012} } \right)^2} + {\alpha ^2} + {\beta ^2} = 0$
άτοπο

manosk97 · #6

Έχω $\displaystyle{a\sqrt {2012} - b\sqrt {2012} = {a^2} + {b^2} = 2012}$ .Υψώνω στο τετράγωνο και παίρνω
$\displaystyle{\begin{gathered} \Rightarrow {\left( {a - b} \right)^2}\sqrt {{{2012}^2}} = {\left( {{a^2} + {b^2} + 2012} \right)^2} \hfill \\ \Rightarrow 2012\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right) = {a^4} + {b^4} + {\left( {2012} \right)^2} + 2\left( {{a^2}{b^2} + 2012{a^2} + 2012{b^2}} \right) \hfill \\ \Rightarrow 2012{a^2} + 4024ab + 2012{b^2} = {a^4} + {b^4} + {\left( {2012} \right)^2} + 2{a^2}{b^2} + 4024{a^2} + 4024{b^2} \hfill \\ \Rightarrow - {\left( {2012} \right)^2} = {a^4} + {b^4} + 2{a^2}{b^2} + 4024{a^2} - 2012{a^2} + 4024{b^2} - 2012{b^2} - 4024ab \hfill \\ \Rightarrow - {\left( {2012} \right)^2} = {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2} + 2012{a^2} - 2012ab + 2012{b^2} - 2012ab \hfill \\ \Rightarrow - {\left( {2012} \right)^2} = {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2} + 2012a\left( {a - b} \right) - 2012b\left( {a - b} \right) \hfill \\ \Rightarrow - {\left( {2012} \right)^2} = {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2} + \left( {2012a - 2012b} \right)\left( {a - b} \right) \hfill \\ \Rightarrow - {\left( {2012} \right)^2} = {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2} + 2012{\left( {a - b} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} }$
Το οποίο δεν ισχύει αφού $\displaystyle{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2} \geqslant 0}$ και $\displaystyle{{\left( {a - b} \right)^2} \geqslant 0}$

Σύγκριση

Σύγκριση

Re: Σύγκριση

Re: Σύγκριση

Re: Σύγκριση

Re: Σύγκριση

Re: Σύγκριση

Μέλη σε σύνδεση