ΘΑΛΗΣ 1997 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

#1

1.Για τους μη μηδενικούς αριθμούς $\displaystyle{a , b , x , y}$ , ισχύει $\displaystyle{ax=by}$ . Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης:

$\displaystyle{A=\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2}}$

2. Έστω $\displaystyle{ABCDEZHT}$ κύβος με ακμή

. Nα υπολογίσετε τον όγκο της πυραμίδας $\displaystyle{CAZT}$ .

3. Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με μήκη πλευρών $\displaystyle{a=26^{400} , b=82^{300}}$ , και

μικρότερο από το μεγαλύτερο των a , b

. Nα προσδιοριστεί το

, ώστε το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ να είναι ορθογώνιο.

4. Στο τέλος του Β΄ Παγκοσμίου πολέμου σε ένα στρατόπεδο βρίσκονται 1997

αιχμάλωτοι: 998

Ιταλοί και 999

Γερμανοί. Ο διοικητής του στρατοπέδου αποφασίζει να απελευθερώσει σταδιακά τους κρατούμενους, εκτός από έναν τον οποίο θα κρατήσει για λίγο καιρό ακόμα στο στρατόπεδο. Επιλέγονται τυχαία τρεις κρατούμενοι και φεύγουν οι δύο. Αν και οι τρεις είναι της ίδιας εθνικότητας, ο ένας από αυτούς επιστρέφει, ενώ αν είναι διαφορετικής εθνικότητας, επιστρέφει αυτός που έχει διαφορετική εθνικότητα από τους άλλους δύο.
Ποιας εθνικότητας θα είναι ο "άτυχος" κρατούμενος;

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
3. Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με μήκη πλευρών $\displaystyle{a=26^{400} , b=82^{300}}$ , και μικρότερο από το μεγαλύτερο των . Nα προσδιοριστεί το , ώστε το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ να είναι ορθογώνιο.

Είναι $\displaystyle{b=82^{600}>81^{600}=(3^4)^{600}=3^{2400}=(3^3)^{800}=27^{800}>26^{800}=c.}$

Επομένως, είναι $\displaystyle{b=\max \{a,b,c\}.}$

Άρα το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι ορθογώνιο αν και μόνο αν ισχύει $\displaystyle{b^2=a^2+c^2 \iff$
$c^2=b^2-a^2 \iff c^2=82^{600}-26^{800} \iff c^2=2^{600}(41^{600}-2^{200}13^{800})\iff c=2^{300}\sqrt{41^{600}-2^{200}13^{800}}.}$

parmenides51 · #3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:1.Για τους μη μηδενικούς αριθμούς $\displaystyle{a , b , x , y}$ , ισχύει $\displaystyle{ax=by}$ . Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης:

$\displaystyle{A=\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2}}$

Αφού $\displaystyle{a , b , x , y \neq 0}$ έχουμε πως $\displaystyle{ax=by \Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{y}{x}}$ , θέτω $\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{y}{x}=\lambda}$

$\displaystyle{A=\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2}=\frac{\displaystyle\frac{x^2}{x^2}}{\displaystyle\frac{x^2}{x^2}+\displaystyle\frac{y^2}{x^2}}+\frac{\displaystyle\frac{a^2}{b^2}}{\displaystyle\frac{a^2}{b^2}+\displaystyle\frac{b^2}{b^2}}}$

$\displaystyle{A=\frac{1^2}{1^2+\displaystyle\left(\frac{y}{x}\right)^2}+\frac{\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^2}{\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^2+1^2}}=\frac{1}{1+\lambda^2}+\frac{\lambda^2}{\lambda^2+1}=\frac{1+\lambda^2}{\lambda^2+1}}=1$

parmenides51 · #4

Δυο λύσεις με την βοήθεια ενός συναδέλφου

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: 4. Στο τέλος του Β΄ Παγκοσμίου πολέμου σε ένα στρατόπεδο βρίσκονται αιχμάλωτοι: Ιταλοί και Γερμανοί. Ο διοικητής του στρατοπέδου αποφασίζει να απελευθερώσει σταδιακά τους κρατούμενους, εκτός από έναν τον οποίο θα κρατήσει για λίγο καιρό ακόμα στο στρατόπεδο. Επιλέγονται τυχαία τρεις κρατούμενοι και φεύγουν οι δύο. Αν και οι τρεις είναι της ίδιας εθνικότητας, ο ένας από αυτούς επιστρέφει, ενώ αν είναι διαφορετικής εθνικότητας, επιστρέφει αυτός που έχει διαφορετική εθνικότητα από τους άλλους δύο.
Ποιας εθνικότητας θα είναι ο "άτυχος" κρατούμενος;

Α' τρόπος
Παρατηρούμε ότι πάντα απελευθερώνονται δυο αιχμάλωτοι της ίδιας εθνικότητας.
Αφού οι Ιταλοί έχουν πλήθος ζυγό αριθμό, θα απελευθερώθούν όλοι.
Οι Γερμανοί δεν μπορούν να απελευθερωθούν όλοι γιατί έχουν πλήθος μονό αριθμό.
Οπότε ο ''άτυχος'' κρατούμενος πάντοτε θα είναι Γερμανός.

Β' τρόπος
Επειδή κάθε φορά απελευθερώνονται δυο αιχμάλωτοι της ίδιας εθνικότητας,
οι δυνατές εθνικότητες των τριων τελευταίων αιχμαλώτων είναι:
- Τρεις Ιταλοί:
Για να μείνουν $\displaystyle{3}$ Ιταλοί πρέπει να έχουν απελευθερωθεί οι υπόλοιποι Ιταλοί που είναι $\displaystyle{998-3=995}$ , το οποίο δεν μπορεί να συμβαίνει γιατί είναι μονός αριθμός και δεν μπορεί να απελευθερωθούν όλοι κατά δυάδες Απορρίπτεται
- Δυο Γερμανοί κι ένας Ιταλός:
Για να μείνει $\displaystyle{1}$ Ιταλός πρέπει να έχουν απελευθερωθεί οι υπόλοιποι Ιταλοί που είναι $\displaystyle{998-1=997}$ , το οποίο δεν μπορεί να συμβαίνει γιατί είναι μονός αριθμός και δεν μπορεί να απελευθερωθούν όλοι κατά δυάδες Απορρίπτεται
- Τρεις Γερμανοί : Πιθανόν
- Δυο Ιταλοί και ένας Γερμανός: Πιθανόν
Στις δυο τελευταίες περιπτώσεις ο ''άτυχος'' κρατούμενος πάντοτε θα είναι Γερμανός.

parmenides51 · #5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:1.Για τους μη μηδενικούς αριθμούς $\displaystyle{a , b , x , y}$ , ισχύει $\displaystyle{ax=by}$ . Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης:

$\displaystyle{A=\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2}}$

διαφορετικά εδώ

#6

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:2. Έστω $\displaystyle{ABCDEZHT}$ κύβος με ακμή . Nα υπολογίσετε τον όγκο της πυραμίδας $\displaystyle{CAZT}$ .

H πυραμίδα $\displaystyle{CAZT}$ , είναι κανονικό τετράεδρο , με όλες τις ακμές ίσες με την διαγώνιο της πλευράς του κύβου, δηλαδή η κάθε ακμή του κανονικού τετραέδρου είναι $\displaystyle{a\sqrt{2}}$ .
H βάση λοιπόν του κανονικού τετραέδρου είναι ισόπλευρο τρίγωνο, με πλευρά $\displaystyle{\lambda_3 =a\sqrt{2}}$ . Aς θεωρήσουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του ισοπλεύρου αυτού τριγώνου. Τότε η ακτίνα αυτού του κύκλου γνωρίζουμε ότι βρίσκεται από την σχέση:

$\displaystyle{\lambda_3 =R\sqrt{3}}$ και άρα $\displaystyle{a\sqrt{2}=R\sqrt{3}\Rightarrow R=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Eύκολα τώρα από το Πυθαγόρειο θεώρημα, βρίσκουμε το ύψος $\displaystyle{u}$ του τετραέδρου:

$\displaystyle{u^2 =(a\sqrt{2})^2 -R^2 \Rightarrow u^2 =2a^2 -\frac{2a^2}{3}\Rightarrow u=\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}}$

Άρα ο όγκος του κανονικού τετραέδρου είναι:

$\displaystyle{V=\frac{1}{3}B.u}$ . Είναι όμως γνωστό, ότι το εμβαδόν $\displaystyle{B}$ ενός ισοπλεύρου τριγώνου, πλευράς $\displaystyle{\lambda}$ , δίνεται από την σχέση:
$\displaystyle{B=\frac{\lambda ^2 \sqrt{3}}{4}}$

Άρα: $\displaystyle{B=\frac{(a\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4}=\frac{a^2 \sqrt{3}}{2}}$

Συνεπώς , ο όγκος που ζητάμε είναι: $\displaystyle{V=\frac{1}{3}.\frac{a^2 \sqrt{3}}{2} .\frac{2a\sqrt{3}}{3}=\frac{a^3 }{3}}$

#7

: Όγκος Πυραμίδας.PNG (119.61 KiB) Προβλήθηκε 2617 φορές

Για το θέμα 2 αναρτώ το ανωτέρω σχήμα.

Η πυραμίδα $\displaystyle{C.AZT}$ όπως γράφει στη λύση του ο Δημήτρης είναι ένα κανονικό τετράεδρο
με βάση το ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle{AZT}$ πλευράς
$\displaystyle{AZ=AB \cdot \sqrt{2}}$ .

Ακόμα το ύψος της πυραμίδας αυτής είναι
$\displaystyle{CK=\frac{2}{3}\cdot CE}$
όπου η $\displaystyle{CE}$ η διαγώνιος του κύβου
και η οποία είναι ίση με
$\displaystyle{CE=AB\cdot \sqrt{3}}$ .
(Νομίζω πως η σχέση αυτή έχει μελετηθεί σε παλαιότερη ανάρτηση του
mathematica που δεν μπορώ να τη βρω εύκολα)

Ύστερα απ' αυτά βρίσκεται εύκολα ο όγκος της πυραμίδας αυτής.

Κώστας Δόρτσιος

#8

Κώστα, το σχήμα είναι ΑΡΙΣΤΟΥΡΓΗΜΑ!!!!!!

Σε ευχαριστούμε πολύ.

parmenides51 · #9

KDORTSI έγραψε: (Νομίζω πως η σχέση αυτή έχει μελετηθεί σε παλαιότερη ανάρτηση του
mathematica που δεν μπορώ να τη βρω εύκολα)

Κάτι τέτοια πάτε και γράφετε και με βάζετε στον πειρασμό να ψάχνω

Τουλάχιστον βρήκα την ίδια και μερικές παρόμοιες με την λέξη κλειδί πυραμίδ* στην αναζήτηση του

πάνω δεξιά
Ευχαριστούμε για το σχήμα

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:2. Έστω $\displaystyle{ABCDEZHT}$ κύβος με ακμή . Nα υπολογίσετε τον όγκο της πυραμίδας $\displaystyle{CAZT}$ .

πάλι εδώ και μερικές παρόμοιες εδώ, εδώ κι εδώ

#10

: Όγκος πυραμίδας 1.PNG (132.18 KiB) Προβλήθηκε 2572 φορές

: Όγκος πυραμίδας 2.PNG (138.1 KiB) Προβλήθηκε 2572 φορές

: Όγκος πυραμίδας 3.PNG (116.22 KiB) Προβλήθηκε 2572 φορές

Δημήτρη,
μιας κι ο Παρμενίδης μας ώθησε στο θέμα αυτό ας το δούμε κι από μια άλλη σκοπιά:

Η όλη ιδέα στηρίζεται στη μετακίνηση του τετραέδρου αυτού σε άλλη θέση στην οποία
βέβαια διατηρεί τον ίδιο όγκο. Κι αυτό πετυχαίνεται αν μια κορυφή του κινηθεί παράλληλα
προς την απέναντι βάση.
Παραθέτω τρία σχήματα:
1ο) Η πυραμίδα βρίσκεται στην κανονική της θέση όπως περιγράφεται από την εκφώνηση.
2ο) Η κορυφή $\displaystyle{Z}$ (έντονη κόκκινη τελεία) μετακινείται από τη θέση $\displaystyle{Z}$ στη θέση $\displaystyle{S}$ όπου $\displaystyle{ZS}$ είναι παράλληλη προς την
$\displaystyle{TO}$ όπου $\displaystyle{O}$ το κέντρο της βάσης του κύβου, συνεπώς και παράλληλη προς την έδρα $\displaystyle{ATC}$ . Άρα
$\displaystyle{OS=TZ=a \cdot \sqrt{2} \ \ (1)}$
3o) Η κορυφή $\displaystyle{T}$ (έντονη κίτρινη τελεία) μετακινείται από τη θέση $\displaystyle{T}$ στη θέση $\displaystyle{Z}$ , δηλαδή παράλληλα προς την έδρα $\displaystyle{ACS}$ .

Επομένως κατά την κίνηση των δύο αυτών κορυφών(πρώτα το κόκκινο σημείο κι ύστερα το κίτρινο)
ο όγκος διατηρείται.
Αρκεί λοιπόν να βρούμε τον όγκο της πυραμίδας: $\displaystyle{Z.ACS}$ η οποία έχει βάση το τρίγωνο $\displaystyle{ACS}$
(γνωστής βάσης και γνωστού ύψους λόγω της (1) ) και ύψος την ακμή του κύβου $\displaystyle{BZ=a}$ .

Κώστας Δόρτσιος

Tsopanhs · #11

Το Δ είναι παράδοξο κατά την επαληθευσή του. Παρατηρούμε ότι φεύγουν 2 με τον τύπο : (y-3) + 1 (y το σύνολο , -3 αυτοί που επιλέγονται και +1 αυτός που επιστρέφει). Για συντομία αφαιρούμε τους 1990 και κάνουμε τις πράξεις από το υπόλοιπο : (7 -3) +1 = 4 +1 =5 , (5 -3 ) +1 = 2 +1 = 3 και εδώ θα συμβεί το παράδοξο : (3-3) +1 = 0 + 1 = 1 ( το σύνολο μηδενίζει που σημαίνει ότι εχουν ελεθερωθεί ΟΛΟΙ οι κρατούμενοι).

ΘΑΛΗΣ 1997 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 1997 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση