ΘΑΛΗΣ 2006 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Η Α΄ τάξη ενός Λυκείου έχει $\displaystyle{5}$ τμήματα που το καθένα έχει τουλάχιστον $\displaystyle{20}$ μαθητές. Σε καθένα από τους μαθητές των τμημάτων αυτών δίνουμε $\displaystyle{10}$ €.
Έτσι δώσαμε $\displaystyle{1090}$ €. Να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον από τα τμήματα αυτά έχουν τον ίδιο αριθμό μαθητών.

2. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\lambda (\lambda x + 3) = \lambda ^3 + 2\lambda x − 2}$ για τις διαφορές πραγματικές τιμές της παραμέτρου $\displaystyle{\lambda }$ .

3. Αν $\displaystyle{\alpha ,\beta,\gamma }$ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{{{\left( \frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\gamma }+\frac{\gamma }{\alpha } \right)}^{2}}\ge 3\left( \frac{\alpha }{\gamma }+\frac{\gamma }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha } \right)}$

4. Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{\widehat{A}>\widehat{B}}$ οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\widehat{A}}$ και $\displaystyle{\widehat{B}}$ τέμνονται στο $\displaystyle{I}$ . Στην πλευρά $\displaystyle{AB}$ παίρνουμε τμήμα $\displaystyle{B\Delta = B\Gamma−A\Gamma}$ .
Να αποδείξετε ότι : $\displaystyle{ I\Delta =IA}$ .

edit
Αποσύρθηκε ένα σχήμα για το 4ο θέμα το οποίο δεν δινόταν στην εκφώνηση

ΦΕΡΡΑΙΟΣ · #2

2. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\lambda (\lambda x + 3) = \lambda ^3 + 2\lambda x − 2}$ για τις διαφορές πραγματικές τιμές της παραμέτρου $\displaystyle{\lambda }$ .

$l(\l x + 3) = \l ^3 + 2\l x-2\Leftrightarrow l^2x+3l-2lx=l^3-2\Leftrightarrow x(l^2-2l)=l^3-3l-2$
αν $l^2-2l=0\Leftrightarrow l=0 \Leftrightarrow$
τότε 0x=-2

αδύνατη
ή $l=2 \Leftrightarrow 0x=0$ αόριστη
Για $l\neq$ του

και του

έπεται ότι $x =\frac{l^3-3l-2}{l(l-2)}$
αν $l\in Z$ τότε l(l-2)/l^3-3l-2

και
επίσης $l(l-2)/ l^3-3l-2+(-l^3+2l^2)+(-2l^2+2l)\Rightarrow l(l-2)/ l-2\Rightarrow$ l=1

άρα αν $l\in Z$ τότε είναι l=1

με την αντικατάσταση του

προκύπτει ότι $x+3=1+2x-2 \Leftrightarrow x=4$ το οποίο ισχύει αν και μόνο αν $l\in Z$

edit: απροσεξίες

Ιστοσελίδα · #3

parmenides51 έγραψε:3. Αν $\displaystyle{\alpha ,\beta,\gamma }$ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{{{\left( \frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\gamma }+\frac{\gamma }{\alpha } \right)}^{2}}\ge 3\left( \frac{\alpha }{\gamma }+\frac{\gamma }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha } \right)}$

$\left( \dfrac{\alpha }{\beta }+\dfrac{\beta }{\gamma }+\dfrac{\gamma }{\alpha } \right)}^{2}} \geq 3\left( \dfrac{\alpha }{\beta }\cdot\dfrac{\beta }{\gamma }+ \dfrac{\alpha }{\beta }\cdot\dfrac{\gamma }{\alpha }+\dfrac{\beta }{\gamma }\cdot\dfrac{\gamma }{\alpha }\right) = 3\left( \dfrac{\alpha }{\gamma }+\dfrac{\gamma }{\beta }+\dfrac{\beta }{\alpha } \right)} .$

#4

parmenides51 έγραψε:1. Η Α΄ τάξη ενός Λυκείου έχει $\displaystyle{5}$ τμήματα που το καθένα έχει τουλάχιστον $\displaystyle{20}$ μαθητές. Σε καθένα από τους μαθητές των τμημάτων αυτών δίνουμε $\displaystyle{10}$ €.
Έτσι δώσαμε $\displaystyle{1090}$ €. Να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον από τα τμήματα αυτά έχουν τον ίδιο αριθμό μαθητών.

Ας υποθέσουμε ότι δεν υπάρχουν τμήματα με τον ίδιο αριθμό μαθητών. Τότε το πρώτο τμήμα, θα είχε τουλάχιστον

μαθητές, το δεύτερο θα είχα τουλάχιστον

, το τρίτο τουλάχιστον

, το τέταρτο τουλάχιστον

και το πέμπτο τμήμα, θα είχε τουλάχιστον

μαθητές. Δηλαδή, συνολικά οι μαθητές θα ήταν τουλάχιστον $\displaystyle{110}$ , και συνεπώς τα χρήματα που θα τους μοιράζαμε θα ήταν τουλάχιστον $\displaystyle{110.10=1100}$ ευρώ, πράγμα άτοπο, αφού τους δώσαμε $\displaystyle{1090}$ ευρώ.

Άρα τουλάχιστον δύο τμήματα έχουν τον ίδιο αριθμό μαθητών.

parmenides51 · #5

υπάρχει καμία άλλη ιδέα για το 3ο θέμα;

#6

parmenides51 έγραψε:υπάρχει καμία άλλη ιδέα για το 3ο θέμα;

Aν $\displaystyle{a , \beta , \gamma}$ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{(\frac{a}{\beta}+\frac{\beta}{\gamma}+\frac{\gamma}{a})^2 \geq 3(\frac{a}{\gamma}+\frac{\gamma}{\beta}+\frac{\beta}{a})}$

Έχει δώσει μια περιληπτική λύση ο Στρατης. Δίνω και μια άκρως αναλυτική:

Είναι γνωστό ότι $\displaystyle{A^2 +B^2 \geq 2AB}$

Mε βάση το παραπάνω λήμμα, έχουμε:

$\displaystyle{(\frac{a}{\beta})^2 +(\frac{\beta}{\gamma})^2 \geq 2\frac{a}{\gamma}}$

$\displaystyle{(\frac{\beta}{\gamma})^2 +(\frac{\gamma}{a})^2 \geq 2\frac{\beta}{a}}$

$\displaystyle{(\frac{\gamma}{a})^2 +(\frac{a}{\beta})^2 \geq 2\frac{\gamma}{\beta}}$

Με πρόσθεση των παραπάνω ανισοτήτων κατά μέλη έχουμε:

$\displaystyle{(\frac{a}{\beta})^2 +(\frac{\beta}{\gamma})^2 +(\frac{\gamma}{a})^2 \geq \frac{a}{\gamma}+\frac{\beta}{a}+\frac{\gamma}{\beta}}$

Άρα

$\displaystyle{(\frac{a}{\beta}+\frac{\beta}{\gamma}+\frac{\gamma}{a})^2 -2\frac{a}{\beta}\frac{\beta}{\gamma}-2\frac{a}{\beta}\frac{\gamma}{a}-2\frac{\beta}{\gamma}\frac{\gamma}{a}\geq \frac{a}{\gamma}+\frac{\beta}{a}+\frac{\gamma}{\beta}}$

Άρα:

$\displaystyle{(\frac{a}{\beta}+\frac{\beta}{\gamma}+\frac{\gamma}{a})^2 \geq 3(\frac{a}{\gamma}+\frac{\gamma}{\beta}+\frac{\beta}{a})}$

parmenides51 · #7

parmenides51 έγραψε:4. Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{\widehat{A}>\widehat{B}}$ οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\widehat{A}}$ και $\displaystyle{\widehat{B}}$ τέμνονται στο $\displaystyle{I}$ . Στην πλευρά $\displaystyle{AB}$ παίρνουμε τμήμα $\displaystyle{B\Delta = B\Gamma−A\Gamma}$ .
Να αποδείξετε ότι : $\displaystyle{ I\Delta =IA}$ .

διαφορετικά από εδώ

pontios έγραψε:Έστω σημείο $\displaystyle{E}$ στην πλευρά $\displaystyle{CB}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{CA=CE}$ . Τότε θα είναι $\displaystyle{BE=BC-AC=BD}$ . Επομένως τα τρίγωνα $\displaystyle{CAE,BED}$ είναι ισοσκελή. Οι διχοτόμοι $\displaystyle{CI,BI}$ των τριγώνων αυτών είναι ταυτόχρονα μεσοκάθετοι των βάσεων τους $\displaystyle{AE,ED}$ . Άρα το $\displaystyle{I}$ περίκεντρο του $\displaystyle{\triangle ADE}$

κι από εδώ

Nick Rapanos έγραψε:Θεωρώ το σημείο $\displaystyle{E}$ πάνω στην $\displaystyle{BC}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{BE=B\Delta}$ . Έτσι προκύπτει $\displaystyle{\Gamma E=\Gamma A}$ , άρα $\displaystyle{\Gamma I}$ κάθετη στην $\displaystyle{AE}$ συνεπώς $\displaystyle{IA=IE}$ .Επίσης με γωνιακές σχέσεις και χρησιμοποιώντας το γνωστό θεωρηματάκι που λέει ότι $\displaystyle{\widehat{EAB}=\frac{\widehat{A}-\widehat{B}}{2}}$ δείχνουμε ότι $\displaystyle{ IE=I\Delta}$ .