Ολοκλήρωμα

thepathofresistance · #1

Να υπολογισθεί το $\displaystyle{ \int\limits_0^\infty {e^{ - \left( {ax + \frac{b} {x}} \right)^2 } dx} }\,, \quad a>0\,, \ b>0\,.$

#2

thepathofresistance έγραψε:Να υπολογισθεί το $\displaystyle{ \int\limits_0^\infty {e^{ - \left( {ax + \frac{b} {x}} \right)^2 } dx} }\,, \quad a>0\,, \ b>0\,.$

$\displaystyle{I = \int\limits_0^\infty {{e^{ - {{\left( {ax + \frac{b}{x}} \right)}^2}}}dx} = \int\limits_0^\infty {{e^{ - \left( {{a^2}{x^2} + \frac{{{b^2}}}{{{x^2}}} + 2ab} \right)}}dx} = {e^{ - 4ab}}\int\limits_0^\infty {{e^{ - \left( {{a^2}{x^2} + \frac{{{b^2}}}{{{x^2}}} - 2ab} \right)}}dx} = {e^{ - 4ab}}\int\limits_0^\infty {{e^{ - {{\left( {ax - \frac{b}{x}} \right)}^2}}}dx} }$

Η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = ax - \frac{b}{x}}$ είναι γνησίως αύξουσα (συνεπώς και 1-1) στο διάστημα $\displaystyle{\left( {0\;,\; + \infty } \right)}$ (στοιχειώδες).

Θέτουμε $\displaystyle{ax - \frac{b}{x} = y}$ . Τότε $\displaystyle{ax - \frac{b}{x} = y \Rightarrow a{x^2} - yx - b = 0\mathop \Rightarrow \limits^{x > 0} x = \frac{{y + \sqrt {{y^2} + 4ab} }}{{2a}} \Rightarrow dx = \frac{{y + \sqrt {{y^2} + 4ab} }}{{2a\sqrt {{y^2} + 4ab} }}dy}$ .

Οπότε $\displaystyle{I = \frac{{{e^{ - 4ab}}}}{{2a}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{y + \sqrt {{y^2} + 4ab} }}{{\sqrt {{y^2} + 4ab} }}{e^{ - {y^2}}}dy} = \frac{{{e^{ - 4ab}}}}{{2a}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {y^2}}}dy} + \frac{{{e^{ - 4ab}}}}{{2a}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{y}{{\sqrt {{y^2} + 4ab} }}{e^{ - {y^2}}}dy} }$

Όμως η συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x \right) = \frac{y}{{\sqrt {{y^2} + 4ab} }}{e^{ - {y^2}}}}$ είναι περιττή, με συγκλίνοντα τα επί μέρους ολοκληρώματα. Άρα $\displaystyle{I = \frac{{{e^{ - 4ab}}}}{{2a}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {y^2}}}dy} = \frac{{{e^{ - 4ab}}\sqrt \pi }}{{2a}}}$ .

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Το ότι $\displaystyle{\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {y^2}}}dy} = \sqrt \pi }$ υπάρχει παντού.

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση