ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ*.

#161

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:7η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ»

Εύκολη Γεωμετρική Κατασκευή, με την παραπάνω Νέα Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση Γεωμετρικής Κατασκευής $11\left(22 \right)$ , που αφορά τετράδα συνευθειακών σημείων, προκειμένου η Κατασκευή αυτή να γίνει από τους ενδιαφερόμενους φίλους.

Δική μου λύση, με εφαρμογή προφανώς της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας λύσεις, κατά προτίμηση με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωσή της μεθόδου.

Με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, όπως θα διαπιστωθεί, παίρνουμε πολύ εύκολη και πολύ σαφή απόδειξη, ενώ με άλλο τρόπο είναι αμφίβολο αν μπορεί να γίνει (Τουλάχιστον εγώ δεν έχω επιτύχει).

Η Κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
$11\left(22 \right)$ . Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A, \Delta , E, B$ . Στην $\left(\varepsilon \right)$ να ορισθεί σημείο $\Gamma$ , για το οποίο να είναι:
$\frac{A\Gamma ^{2}}{\Gamma B^{2}}=\frac{A\Delta }{\Delta B}.\frac{AE}{EB}$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω δική μου κατασκευή, που έχει γίνει με απλή εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(22 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αξιόλογη Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή $11\left(22 \right)$ , διατύπωση και αποδείξη της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε κύκλο.

Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την παραπάνω επέκταση της Κατασκευής $11\left(22 \right)$ και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αξιόλογη Επέκταση της Γεωμετρικής Κατασκευής $11\left(22 \right)$ από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδιαφερόμενους φίλους, δίνω παρακάτω για λύση την διατύπωση της πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύω Κατασκευής $11\left(24 \right)$ , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί. Πρόκειται για ένα αξιόλογο Πρόβλημα, που αποτελεί επέκταση της Κατασκευής $11\left(22 \right)$ , από Ευθεία και σε Κύκλο.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
$11\left(24 \right)$ . Δίνεται κύκλος $\left(\kappa \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία του $A, \Delta , E, B$ . Στον ίδιο κύκλο $\left(\kappa \right)$ , να ορισθεί σημείο $\Gamma$ , για το οποίο να είναι: $\frac{A\Gamma ^{2}}{\Gamma B^{2}}=\frac{A\Delta }{\Delta B}.\frac{AE}{EB}$ .
ή με άλλη διατύπωση:
Δίνεται κυρτό τετράπλευρο $A\Delta EB$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left(\kappa \right)$ . Στον ίδιο κύκλο $\left(\kappa \right)$ , να ορισθεί σημείο $\Gamma$ , για το οποίο να αληθεύει η παραπάνω σχέση.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(24 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής $11\left(24 \right)$ .

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

leonidas 1 · #162

ΜΙΑ ΑΠΟΡΙΑ
ΔΕΝ ΜΠΑΙΝΕΙ ΚΑΝΕΝΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΣΤΟ

ΕΝΑ ΣΩΡΟ ΤΥΧΑΡΠΑΣΤΟΥΣ ΤΟΥΣ ΑΝΑΚΥΡΗΞΑΝ ΕΠΙΤΙΜΟΥΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΕΣ
ΔΕΝ ΣΥΓΚΛΟΝΙΣΤΗΚΕ ΚΑΝΕΝΑΣ ΑΠΟ ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΚΥΡΙΟΥ ΝΙΚΟΥ
ΑΝΑΡΩΤΙΕΜΑΙ ΑΝ ΤΙΜΗΘΗΚΕ ΑΠΟ ΤΟΝ ΤΟΝ ΚΟΣΜΟ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Ο ΚΥΡΙΟΣ ΝΙΚΟΣ
Κύριε Νίκο συγγνώμη για το μήνυμα μου ,το μεγαλείο της μετριοφροσύνης σου δεν θα ήθελε να το στείλω ..αλλά θα έσκαζα αν δεν το έγραφα
Και λυπάμαι που δεν έχω περισσότερο χρόνο να ασχοληθώ περισσότερο ...και ούτε θα έχω γιατί απλά δεν ελπίζω να δω σύνταξη

Υ.Γ Ας το αποσύρουν οι διαχειριστές αν είναι πρέπον αλλά.....είπαμε θα έσκαζα αν δεν το έγραφα

#163

leonidas 1 έγραψε:ΜΙΑ ΑΠΟΡΙΑ
ΔΕΝ ΜΠΑΙΝΕΙ ΚΑΝΕΝΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΣΤΟ
ΕΝΑ ΣΩΡΟ ΤΥΧΑΡΠΑΣΤΟΥΣ ΤΟΥΣ ΑΝΑΚΥΡΗΞΑΝ ΕΠΙΤΙΜΟΥΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΕΣ
ΔΕΝ ΣΥΓΚΛΟΝΙΣΤΗΚΕ ΚΑΝΕΝΑΣ ΑΠΟ ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΚΥΡΙΟΥ ΝΙΚΟΥ
ΑΝΑΡΩΤΙΕΜΑΙ ΑΝ ΤΙΜΗΘΗΚΕ ΑΠΟ ΤΟΝ ΤΟΝ ΚΟΣΜΟ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Ο ΚΥΡΙΟΣ ΝΙΚΟΣ
Κύριε Νίκο συγγνώμη για το μήνυμα μου ,το μεγαλείο της μετριοφροσύνης σου δεν θα ήθελε να το στείλω ..αλλά θα έσκαζα αν δεν το έγραφα
Και λυπάμαι που δεν έχω περισσότερο χρόνο να ασχοληθώ περισσότερο ...και ούτε θα έχω γιατί απλά δεν ελπίζω να δω σύνταξη

Υ.Γ Ας το αποσύρουν οι διαχειριστές αν είναι πρέπον αλλά.....είπαμε θα έσκαζα αν δεν το έγραφα

Φίλε Leonidas 1.

Σε ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον σου και για τα καλά σου λόγια.

Συγνώμη για την καθυστέρηση να απαντήσω στο παραπάνω μήνυμά σου (διαμαρτυρία σου), καθώς για 17 ημέρες απουσίασα λόγω διακοπών, από τις οποίες επιστρέφω με γεμάτες τις Γεωμετρικές μου αποσκευές, για να βγάλουμε τουλάχιστον το φθινόπωρο και το χειμώνα.

Στην τολμηρή απορία σου, που είναι συνάμα και δική μου, αλλά και πολλών άλλων φυλών, την οποία εκφράζουν με προσωπικά τους μηνύματα, εγώ θα σου απαντήσω με εντυπωσιακές νέες, ΖΕΣΤΕΣ θα έλεγα, σημαντικές και πρωτοεμφανιζόμενες πιστεύω επινοήσεις μου στη Γεωμετρία.

Επί του παρόντος δεν θα ήθελα να διαθέσω χρόνο για τέτοια θέματα που θίγεις, παρά την δικαιολογημένη αγανάκτηση σου.
Οσάκις, κατά το παρελθόν, ασχολήθηκα με αυτά, απλώς έχασε το χρόνο μου και απογοητεύτηκα.

Άλλωστε εκείνα τα θέματα που με απασχολούν τώρα, δεν είναι τόσο αυτά τα θέματα, όσο τα παρακάτω.
Συγκεκριμένα:

1. Έχω γράψει 22 τόμους Γεωμετρίας, πιστεύω με νέα στοιχεία. Από αυτούς έχω εκδώσει τους 12, που υπάρχουν στη Εθνική Βιβλιοθήκη, στην Βιβλιοθήκη της Μαθηματικής Σχολής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, στη Βιβλιοθήκη της Μαθηματικής Εταιρίας κτλ. Οι υπόλοιποι 10 μένουν, γραμμένοι μεν πρόχειρα αλλά με κάθε λεπτομέρεια, στο αρχείο μου και προσπαθώ να εκδώσω κάποιους από αυτούς, αλλά στο μεταξύ έρχονται και άλλα στοιχεία, οπότε αναπόφευκτα πολλά από τα στοιχεία αυτά θα μείνουν στο συρτάρια μου χωρίς να εκδοθούν.

Το πρόβλημα αυτό θα λυνόταν αν υπήρχε ένα άτομο, να κάνει τις ηλεκτρονικές στοιχειοθετήσεις, σε καθημερινή βάση.

Για το Πρόβλημα αυτό δεν είχα μέχρι τώρα καμία βοήθεια από τις αρμόδιες υπηρεσίες της Πολιτείας παρά τις οχλήσεις μου (μάλιστα το Υπουργείο Παιδείας έχασε τα βιβλία μου που του είχα στείλει για αξιολογήσει και ζήτησε να τα στείλω ξανά). Εξαίρεση αποτελεί η Ακαδημία Αθηνών, η οποία τίμησε το όλο μου έργο σε πανηγυρική της συνεδρία, όπως και το mathematica, που με ενέταξε στην ομάδα των διακεκριμένων του μελών στη Γεωμετρία.

Το παραπάνω πρόβλημα επιδεινώνει και το γεγονός ότι, επειδή καθημερινά επινοώ νέα στοιχεία Γεωμετρίας και επειδή δεν θα ήθελα να τα αφήσω, με αποτέλεσμα να ξεχαστούν, προσπαθώ να το καταγράψω, έστω και πρόχειρα, αλλά με κάθε λεπτομέρεια και πολλές φορές με περισσότερες της μιας μέχρι 66 αποδείξεων τους.
Στην παραπάνω κατεύθυνση έχω στρέψει και την κύρια προσπάθειά μου, ενώ διαθέτω γι’ αυτό το μεγαλύτερο μέρος του χρόνου μου, σε βάρος προφανώς των επινοήσεών μου και παραγωγής νέων στοιχείων Γεωμετρίας.

2. Επειδή μέχρι τώρα εκτιμώ ότι έχω επινοήσει περί τις 4.500 Προτάσεις Γεωμετρίας με τις αποδείξεις τους, οι οποίες είναι απλές μέχρι πολύ δύσκολες και άλλες μεγάλης πλοκής και επειδή πιστεύω ότι η δικαίωσή μου, δεν θα έλθει από Έλληνες και από την Πολιτεία μας, αλλά από το εξωτερικό (άλλωστε έτσι συμβαίνει συνήθως) και επειδή δεν γνωρίζω Αγγλικά για να τα κάνω γνωστά και στο εξωτερικό, αυτό ακριβώς είναι ένα άλλο μεγάλο πρόβλημα, που με απασχολεί.

Το πρόβλημα τούτο θα λυνόταν προφανώς, αν υπήρχε κάποιος μεταφραστής, σε καθημερινή βάση, να κάνει τις σχετικές μεταφράσεις (Φαντάζεσαι τι θα γινόταν για τη Χώρα μας, αν έβγαιναν στο εξωτερικό με τα διεθνή μέσα μαζικής ενημέρωσης, έστω οι κυριότερες 2.000 Γεωμετρικές Προτάσεις μου;).

3. Ένα άλλο Πρόβλημα που με απασχολεί και με στενοχωρεί είναι ότι, αν κατά τον απολογισμό μου κάθε βράδυ, τα επιτεύγματά μου δεν είναι ικανοποιητικά, λόγω σπατάλης του χρόνου μου σε άλλες ενέργειές μου και προπαντός αν δεν έχω προλάβει να γράψω, έστω και πρόχειρα, κάποια από αυτά. Και το Πρόβλημα αυτό θα μου το είχαν λύσει τα παραπάνω δύο άτομα.

Αυτά μέχρι τώρα, για τα οποία κάνω έκκληση σε όλους όσους έχουν «ώτα».

Όταν μου δοθεί η ευκαιρία, ίσως επανέλθω στην απορία σου και ίσως μπορέσω να σου δώσω απαντήσεις, προφανώς κατά τη δική μου εκτίμηση.

Και πάλι σε ευχαριστώ πολύ για όλα και συγχαρητήρια, καθώς είχες το θάρρος να εκφράσεις τη γνώμη σου και την δικαιολογημένη αγανάκτησή σου.
Η δική σου θαρραλέα φωνή διαμαρτυρίας σε τιμά και αποτελεί για μένα τονωτική ένεση, για να μπορέσω να συνεχίσω, παρά τα προβλήματα.

Με αγάπη και εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής.

#164

ΝΙΚΟΣ έγραψε:η ΠΟΛΥΠΛΟΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ»
Επέκταση της παραπάνω Κατασκευής $11\left(22 \right)$ . Λύση με την Νέα Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση πολύπλοκης Γεωμετρικής Κατασκευής $11\left(54 \right)$ , που αφορά τετράδα συνευθειακών σημείων, προκειμένου η Κατασκευή αυτή να γίνει από τους ενδιαφερόμενους φίλους.

Δική μου λύση, με εφαρμογή προφανώς της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας λύσεις, κατά προτίμηση με εφαρμογή της Νέας Μεθόδου, την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωσή της μεθόδου.

Με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, όπως θα διαπιστωθεί, παίρνουμε εύκολη και πολύ σαφή λύση, ενώ με άλλο τρόπο είναι αμφίβολο αν μπορεί να γίνει.

Η Κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
$11\left(54 \right)$ . Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A, \Delta , E, B$ . Στην ίδια ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να ορισθεί τετράδα σημείων $\Gamma , \Gamma ', Z, Z'$ , για τα οποία να είναι:
$\frac{A\Gamma ^{2}}{\Gamma B^{2}}=\frac{A\Gamma '^{2}}{\Gamma 'B^{2}}=\frac{A\Delta }{\Delta B}.\frac{AE}{EB}$ , $\frac{AZ^{2}}{Z\Delta ^{2}}=\frac{AZ'^{2}}{Z'\Delta^{2}}=\frac{AE}{E\Delta }.\frac{AB}{B\Delta }$ , $\frac{\Delta \Gamma ^{2}}{\Gamma E^{2}}=\frac{\Delta \Gamma '^{2}}{\Gamma 'E^{2}}=\frac{\Delta A}{AE}.\frac{\Delta B}{BE}$ , $\frac{EZ^{2}}{ZB^{2}}=\frac{EZ'^{2}}{Z'B^{2}}=\frac{EA}{AB}.\frac{E\Delta }{\Delta B}$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή μου με τη λύση της, που έχει γίνει με απλή εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(54 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αξιόλογη Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή $11\left(54 \right)$ , διατύπωση και αποδείξη της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε κύκλο.

Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την παραπάνω επέκταση της Κατασκευής $11\left(54 \right)$ και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της. Δική μου σχετική διατύπωση και λύση, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#165

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:η ΠΟΛΥΠΛΟΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ»
Επέκταση της παραπάνω Κατασκευής $11\left(22 \right)$ . Λύση με την Νέα Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση πολύπλοκης Γεωμετρικής Κατασκευής $11\left(54 \right)$ , που αφορά τετράδα συνευθειακών σημείων, προκειμένου η Κατασκευή αυτή να γίνει από τους ενδιαφερόμενους φίλους.

Δική μου λύση, με εφαρμογή προφανώς της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας λύσεις, κατά προτίμηση με εφαρμογή της Νέας Μεθόδου, την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωσή της μεθόδου.

Με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, όπως θα διαπιστωθεί, παίρνουμε εύκολη και πολύ σαφή λύση, ενώ με άλλο τρόπο είναι αμφίβολο αν μπορεί να γίνει.

Η Κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
$11\left(54 \right)$ . Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A, \Delta , E, B$ . Στην ίδια ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να ορισθεί τετράδα σημείων $\Gamma , \Gamma ', Z, Z'$ , για τα οποία να είναι:
$\frac{A\Gamma ^{2}}{\Gamma B^{2}}=\frac{A\Gamma '^{2}}{\Gamma 'B^{2}}=\frac{A\Delta }{\Delta B}.\frac{AE}{EB}$ , $\frac{AZ^{2}}{Z\Delta ^{2}}=\frac{AZ'^{2}}{Z'\Delta^{2}}=\frac{AE}{E\Delta }.\frac{AB}{B\Delta }$ , $\frac{\Delta \Gamma ^{2}}{\Gamma E^{2}}=\frac{\Delta \Gamma '^{2}}{\Gamma 'E^{2}}=\frac{\Delta A}{AE}.\frac{\Delta B}{BE}$ , $\frac{EZ^{2}}{ZB^{2}}=\frac{EZ'^{2}}{Z'B^{2}}=\frac{EA}{AB}.\frac{E\Delta }{\Delta B}$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή μου με τη λύση της, που έχει γίνει με απλή εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(54 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αξιόλογη Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή $11\left(54 \right)$ , διατύπωση και αποδείξη της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε κύκλο.

Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την παραπάνω επέκταση της Κατασκευής $11\left(54 \right)$ και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της. Δική μου σχετική διατύπωση και λύση, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Σπουδαία Επέκταση της Γεωμετρικής Κατασκευής $11\left(54 \right)$ από Ευθεία και σε Κύκλο.
[Επέκταση και της Κατασκευής $11\left(24 \right)$ ].

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδιαφερόμενους φίλους, δίνω παρακάτω για λύση την διατύπωση της πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύω Κατασκευής $11\left(55 \right)$ , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί.

Πρόκειται για ένα Πρόβλημα, που αποτελεί επέκταση της Κατασκευής $11\left(54 \right)$ , από Ευθεία και σε κύκλο, του οποίου η λύση είναι πολύ εύκολη, καθώς βασίζεται σε κατασκευές που έχουμε δώσει παραπάνω και το οποίο είναι πολύ σημαντικό, γιατί βρίσκει μια πολύ σπουδαία εφαρμογή σε Πρόταση των Αρμονικών Οκτάπλευρων, που μέχρι τώρα, χωρίς αυτή, δεν μπορούσα να αποδείξω.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
$11\left(55 \right)$ . Δίνεται κύκλος $\left(\kappa \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία του $A, \Delta , E, B$ . Στον ίδιο κύκλο $\left(\kappa \right)$ , να ορισθεί τετράδα σημείων $\Gamma , \Gamma ', Z,Z'$ , για τα σημεία της οποίας να είναι:
$\frac{A\Gamma ^{2}}{\Gamma B^{2}}=\frac{A\Gamma '^{2}}{\Gamma 'B^{2}}=\frac{A\Delta }{\Delta B}.\frac{AE}{EB}$ , $\frac{AZ^{2}}{Z\Delta ^{2}}=\frac{AZ'^{2}}{Z'\Delta ^{2}}=\frac{AE}{E\Delta }.\frac{AB}{B\Delta }$ ,
$\frac{\Delta \Gamma ^{2}}{\Gamma E^{2}}=\frac{\Delta\Gamma '^{2} }{\Gamma 'E^{2}}=\frac{\Delta A}{AE}.\frac{\Delta B}{BE}$ , $\frac{EZ^{2}}{ZB^{2}}=\frac{EZ'^{2}}{Z'B^{2}}=\frac{EA}{AB}.\frac{E\Delta }{\Delta B}$ ,

ή με άλλη διατύπωση:
Δίνεται κυρτό τετράπλευρο $A\Delta EB$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left(\kappa \right)$ . Στον ίδιο κύκλο $\left(\kappa \right)$ , να ορισθεί τετράδα σημείων $\Gamma , \Gamma ', Z,Z'$ , για τα σημεία της οποίας να αληθεύουν οι παραπάνω τέσσερις σχέσεις.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(55 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#166

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:η ΠΟΛΥΠΛΟΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ»
Επέκταση της παραπάνω Κατασκευής $11\left(22 \right)$ . Λύση με την Νέα Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση πολύπλοκης Γεωμετρικής Κατασκευής $11\left(54 \right)$ , που αφορά τετράδα συνευθειακών σημείων, προκειμένου η Κατασκευή αυτή να γίνει από τους ενδιαφερόμενους φίλους.

Δική μου λύση, με εφαρμογή προφανώς της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας λύσεις, κατά προτίμηση με εφαρμογή της Νέας Μεθόδου, την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωσή της μεθόδου.

Με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, όπως θα διαπιστωθεί, παίρνουμε εύκολη και πολύ σαφή λύση, ενώ με άλλο τρόπο είναι αμφίβολο αν μπορεί να γίνει.

Η Κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
$11\left(54 \right)$ . Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A, \Delta , E, B$ . Στην ίδια ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να ορισθεί τετράδα σημείων $\Gamma , \Gamma ', Z, Z'$ , για τα οποία να είναι:
$\frac{A\Gamma ^{2}}{\Gamma B^{2}}=\frac{A\Gamma '^{2}}{\Gamma 'B^{2}}=\frac{A\Delta }{\Delta B}.\frac{AE}{EB}$ , $\frac{AZ^{2}}{Z\Delta ^{2}}=\frac{AZ'^{2}}{Z'\Delta^{2}}=\frac{AE}{E\Delta }.\frac{AB}{B\Delta }$ , $\frac{\Delta \Gamma ^{2}}{\Gamma E^{2}}=\frac{\Delta \Gamma '^{2}}{\Gamma 'E^{2}}=\frac{\Delta A}{AE}.\frac{\Delta B}{BE}$ , $\frac{EZ^{2}}{ZB^{2}}=\frac{EZ'^{2}}{Z'B^{2}}=\frac{EA}{AB}.\frac{E\Delta }{\Delta B}$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή μου με τη λύση της, που έχει γίνει με απλή εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(54 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αξιόλογη Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή $11\left(54 \right)$ , διατύπωση και αποδείξη της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε κύκλο.

Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την παραπάνω επέκταση της Κατασκευής $11\left(54 \right)$ και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της. Δική μου σχετική διατύπωση και λύση, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Σπουδαία Επέκταση της Γεωμετρικής Κατασκευής $11\left(54 \right)$ από Ευθεία και σε Κύκλο.
[Επέκταση και της Κατασκευής $11\left(24 \right)$ ].

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδιαφερόμενους φίλους, δίνω παρακάτω για λύση την διατύπωση της πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύω Κατασκευής $11\left(55 \right)$ , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί.

Πρόκειται για ένα Πρόβλημα, που αποτελεί επέκταση της Κατασκευής $11\left(54 \right)$ , από Ευθεία και σε κύκλο, του οποίου η λύση είναι πολύ εύκολη, καθώς βασίζεται σε κατασκευές που έχουμε δώσει παραπάνω και το οποίο είναι πολύ σημαντικό, γιατί βρίσκει μια πολύ σπουδαία εφαρμογή σε Πρόταση των Αρμονικών Οκτάπλευρων, που μέχρι τώρα, χωρίς αυτή, δεν μπορούσα να αποδείξω.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
$11\left(55 \right)$ . Δίνεται κύκλος $\left(\kappa \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία του $A, \Delta , E, B$ . Στον ίδιο κύκλο $\left(\kappa \right)$ , να ορισθεί τετράδα σημείων $\Gamma , \Gamma ', Z,Z'$ , για τα σημεία της οποίας να είναι:
$\frac{A\Gamma ^{2}}{\Gamma B^{2}}=\frac{A\Gamma '^{2}}{\Gamma 'B^{2}}=\frac{A\Delta }{\Delta B}.\frac{AE}{EB}$ , $\frac{AZ^{2}}{Z\Delta ^{2}}=\frac{AZ'^{2}}{Z'\Delta ^{2}}=\frac{AE}{E\Delta }.\frac{AB}{B\Delta }$ ,
$\frac{\Delta \Gamma ^{2}}{\Gamma E^{2}}=\frac{\Delta\Gamma '^{2} }{\Gamma 'E^{2}}=\frac{\Delta A}{AE}.\frac{\Delta B}{BE}$ , $\frac{EZ^{2}}{ZB^{2}}=\frac{EZ'^{2}}{Z'B^{2}}=\frac{EA}{AB}.\frac{E\Delta }{\Delta B}$ ,

ή με άλλη διατύπωση:
Δίνεται κυρτό τετράπλευρο $A\Delta EB$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left(\kappa \right)$ . Στον ίδιο κύκλο $\left(\kappa \right)$ , να ορισθεί τετράδα σημείων $\Gamma , \Gamma ', Z,Z'$ , για τα σημεία της οποίας να αληθεύουν οι παραπάνω τέσσερις σχέσεις.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(55 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής $11\left(55 \right)$ , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί λύσεις από φίλους.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Ας σημειωθεί και εδώ,ότι η Πρόταση $11\left(55 \right)$ βρίσκει μία σπουδαία εφαρμογή για την απόδειξη σημαντικής ιδιότητας των Αρμονικών Οκταπλεύρων (συνευθειακών και ομοκυκλικών, που θα ακολουθήσουν), την οποία μέχρι τώρα, χωρίς αυτή, δεν μπορούσα να αποδείξω.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

#167

ΕΝΑ ΔΥΣΚΟΛΟ ΑΛΛΑ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΟΚΤΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
(Αρμονικό Οκτάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από ημέρες διακοπών, που ομολογώ μου λείψατε, από σήμερα στην ουσία, συνεχίζουμε την προσπάθεια μας εδώ με νεότερα στοιχεία Γεωμετρίες, που επινόησα αυτές τις ημέρες, πολύ πιο δύσκολα, αλλά σημαντικά κατά την γνώμη μου, τα οποία θα συναρπάσουν όσους μπορέσουν να τα παρακολουθήσουν σε βάθος και θα νιώσουν πραγματικά το μεγαλείο της Γεωμετρίας.

Επειδή θα ακολουθήσουν μερικά στοιχεία για την Αρμονική Συνευθειακή Οκτάδα Σημείων και το Απλό Αρμονικό Οκτάπλευρο, με το παρακάτω συνημμένο μου , δίνω τους σχετικούς ορισμούς της Αρμονικής Συνευθειακής Οκτάδας Σημείων και του Απλού Αρμονικού Οκτάπλευρου (Στην Αρμονική Εξάδα Συνεθειακών Σημείων, αν μπορέσουμε, θα αναφερθούμε αργότερα. Στα Αρμονικά Εξάπλευρα έχουμε ήδη αναφερθεί εδώ με άλλη μας εργασία. Η Αρμονική Τετράδα Σημείων και το Αρμονικό Τετράπλευρο μας είναι γνωστά).

Έτσι, με βάση τους ορισμούς αυτούς προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις στο παρακάτω Πρόβλημα κατασκευής Αρμονικής Συνευθειακής Οκτάδας Σημείων, που ομολογώ ότι είναι Πρόβλημα ωραίο αλλά για πολύ λίγους. Συνεπώς όσοι επιτύχουν λύση θα αμειφθούν Γεωμετρικά πλουσιοπάροχα.

Δικές μου λύσεις θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η διατύπωση του Προβλήματος αυτού έχει ως εξής.
$11\left(56 \right)$ . Σε δοσμένη ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να οριστούν οκτώ διατεταγμένα σημεία $A, B, \Gamma , \Delta , E, Z, H, \Theta$ , τα οποία να αποτελούν τυχαία Αρμονική Οκτάδα,

ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευαστεί τυχαίο Αρμονικό Οκτάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία.

Σχόλια.
(α). Στα Συμπλέγματα Πλήρων Αρμονικών Οκταπλεύρων έχουμε αναφερθεί διεξοδικά στο εξάτομο βιβλίο μας «Εγγεγραμμένα - Περιγεγραμμένα Σχήματα »,σελίδες μέχρι .
(β). Το παραπάνω Πρόβλημα πιστεύω ότι είναι νέο, πρωτοεμφανίζεται εδώ και το καταχωρήσαμε στην παράγραφο $11\left(56 \right)$ του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(γ). Προτιμώ εδώ τον όρο εξάπλευρο, οκτάπλευρο, κτλ, αντί του όρου εξάγωνο, οκτάγωνο, κτλ.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

#168

ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΕΝΑ ΔΥΣΚΟΛΟ ΑΛΛΑ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΟΚΤΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
(Αρμονικό Οκτάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από ημέρες διακοπών, που ομολογώ μου λείψατε, από σήμερα στην ουσία, συνεχίζουμε την προσπάθεια μας εδώ με νεότερα στοιχεία Γεωμετρίες, που επινόησα αυτές τις ημέρες, πολύ πιο δύσκολα, αλλά σημαντικά κατά την γνώμη μου, τα οποία θα συναρπάσουν όσους μπορέσουν να τα παρακολουθήσουν σε βάθος και θα νιώσουν πραγματικά το μεγαλείο της Γεωμετρίας.

Επειδή θα ακολουθήσουν μερικά στοιχεία για την Αρμονική Συνευθειακή Οκτάδα Σημείων και το Απλό Αρμονικό Οκτάπλευρο, με το παρακάτω συνημμένο μου , δίνω τους σχετικούς ορισμούς της Αρμονικής Συνευθειακής Οκτάδας Σημείων και του Απλού Αρμονικού Οκτάπλευρου (Στην Αρμονική Εξάδα Συνεθειακών Σημείων, αν μπορέσουμε, θα αναφερθούμε αργότερα. Στα Αρμονικά Εξάπλευρα έχουμε ήδη αναφερθεί εδώ με άλλη μας εργασία. Η Αρμονική Τετράδα Σημείων και το Αρμονικό Τετράπλευρο μας είναι γνωστά).

Έτσι, με βάση τους ορισμούς αυτούς προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις στο παρακάτω Πρόβλημα κατασκευής Αρμονικής Συνευθειακής Οκτάδας Σημείων, που ομολογώ ότι είναι Πρόβλημα ωραίο αλλά για πολύ λίγους. Συνεπώς όσοι επιτύχουν λύση θα αμειφθούν Γεωμετρικά πλουσιοπάροχα.

Δικές μου λύσεις θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η διατύπωση του Προβλήματος αυτού έχει ως εξής.
$11\left(56 \right)$ . Σε δοσμένη ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να οριστούν οκτώ διατεταγμένα σημεία $A, B, \Gamma , \Delta , E, Z, H, \Theta$ , τα οποία να αποτελούν τυχαία Αρμονική Οκτάδα,
ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευαστεί τυχαίο Αρμονικό Οκτάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία.

Σχόλια.
(α). Στα Συμπλέγματα Πλήρων Αρμονικών Οκταπλεύρων έχουμε αναφερθεί διεξοδικά στο εξάτομο βιβλίο μας «Εγγεγραμμένα - Περιγεγραμμένα Σχήματα »,σελίδες μέχρι .
(β). Το παραπάνω Πρόβλημα πιστεύω ότι είναι νέο, πρωτοεμφανίζεται εδώ και το καταχωρήσαμε στην παράγραφο $11\left(56 \right)$ του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(γ). Προτιμώ εδώ τον όρο εξάπλευρο, οκτάπλευρο, κτλ, αντί του όρου εξάγωνο, οκτάγωνο, κτλ.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής $11\left(56 \right)$ , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί λύσεις από φίλους.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Υπογραμμίζουμε εδώ, ότι με βάση την λύση της Κατασκευής αυτής, ανοίγεται διάπλατα ο δρόμος για να δίνουμε στο εξής εύκολες και πρακτικές κατασκευές σε Αρμονικές, Τετράδες, Εξάδες, Οκτάδες, Δεκάδες, Δωδεκάδες, κτλ.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

#169

ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΕΝΑ ΔΥΣΚΟΛΟ ΑΛΛΑ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΟΚΤΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
(Αρμονικό Οκτάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από ημέρες διακοπών, που ομολογώ μου λείψατε, από σήμερα στην ουσία, συνεχίζουμε την προσπάθεια μας εδώ με νεότερα στοιχεία Γεωμετρίες, που επινόησα αυτές τις ημέρες, πολύ πιο δύσκολα, αλλά σημαντικά κατά την γνώμη μου, τα οποία θα συναρπάσουν όσους μπορέσουν να τα παρακολουθήσουν σε βάθος και θα νιώσουν πραγματικά το μεγαλείο της Γεωμετρίας.

Επειδή θα ακολουθήσουν μερικά στοιχεία για την Αρμονική Συνευθειακή Οκτάδα Σημείων και το Απλό Αρμονικό Οκτάπλευρο, με το παρακάτω συνημμένο μου , δίνω τους σχετικούς ορισμούς της Αρμονικής Συνευθειακής Οκτάδας Σημείων και του Απλού Αρμονικού Οκτάπλευρου (Στην Αρμονική Εξάδα Συνεθειακών Σημείων, αν μπορέσουμε, θα αναφερθούμε αργότερα. Στα Αρμονικά Εξάπλευρα έχουμε ήδη αναφερθεί εδώ με άλλη μας εργασία. Η Αρμονική Τετράδα Σημείων και το Αρμονικό Τετράπλευρο μας είναι γνωστά).

Έτσι, με βάση τους ορισμούς αυτούς προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις στο παρακάτω Πρόβλημα κατασκευής Αρμονικής Συνευθειακής Οκτάδας Σημείων, που ομολογώ ότι είναι Πρόβλημα ωραίο αλλά για πολύ λίγους. Συνεπώς όσοι επιτύχουν λύση θα αμειφθούν Γεωμετρικά πλουσιοπάροχα.

Δικές μου λύσεις θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η διατύπωση του Προβλήματος αυτού έχει ως εξής.
$11\left(56 \right)$ . Σε δοσμένη ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να οριστούν οκτώ διατεταγμένα σημεία $A, B, \Gamma , \Delta , E, Z, H, \Theta$ , τα οποία να αποτελούν τυχαία Αρμονική Οκτάδα,

ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευαστεί τυχαίο Αρμονικό Οκτάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία.

Σχόλια.
(α). Στα Συμπλέγματα Πλήρων Αρμονικών Οκταπλεύρων έχουμε αναφερθεί διεξοδικά στο εξάτομο βιβλίο μας «Εγγεγραμμένα - Περιγεγραμμένα Σχήματα »,σελίδες μέχρι .
(β). Το παραπάνω Πρόβλημα πιστεύω ότι είναι νέο, πρωτοεμφανίζεται εδώ και το καταχωρήσαμε στην παράγραφο $11\left(56 \right)$ του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(γ). Προτιμώ εδώ τον όρο εξάπλευρο, οκτάπλευρο, κτλ, αντί του όρου εξάγωνο, οκτάγωνο, κτλ.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

Δύσκολη αλλά Συναρπαστική Επέκταση της Κατασκευής $11\left(56 \right)$ , από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
από όσα παραπάνω έχουμε αναφέρει και ιδιαίτερα από όσα στο συνημμένο μου αναφέρονται, διαφαίνεται ότι και για την παραπάνω Κατασκευή $11\left(56 \right)$ (συνημμένο μου ), αληθεύει ανάλογο Πρόβλημα και όταν η Οκτάδα Σημείων αυτή ανήκει σε κύκλο.

Έτσι διατύπωσα την παρακάτω Κατασκευή $11\left(57\right)$ , που αφορά Απλό Αρμονικό Οκτάπλευρο (Αρμονική Ομοκυκλική Οκτάδα Σημείων), την οποία προτείνω για λύση μόνο στους δυνατούς Γεωμέτρες.

Πρόκειται για ένα δύσκολο Πρόβλημα, αλλά συναρπαστικό, που θα ικανοποιήσει πιστεύω, και τους πλέον απαιτητικούς φίλους της Γεωμετρίας, που θέλουν να γνωρίσουν κάτι διαφορετικό από τα τετριμμένα.

Είναι φανερό ότι το παραπάνω Πρόβλημα $11\left(56 \right)$ (συνημμένο μου ), αποτελεί ειδική περίπτωση του προτεινόμενου παρακάτω Προβλήματος $11\left(57\right)$ .

Προκειμένω να υπενθυμίσω στους φίλους τους σχετικούς ορισμούς, δίνω παρακάτω και πάλι το συνημμένο μου .

Δική μου απόδειξη θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
$11\left(57\right)$ . Σε δοσμένο κύκλο $\left(\kappa \right)$ , να οριστούν οκτώ διατεταγμένα σημεία $A, B, \Gamma , \Delta , E, Z, H, \Theta ,$ , τα οποία να αποτελούν τις κορυφές τυχαίου Απλού Αρμονικού Οκτάπλευρου, ή να αποτελούν Αρμονική Ομοκυκλική Οκτάδα Σημείων,
ή με άλλη πιο απλή διατύπωση:
Να κατασκευαστεί τυχαίο Απλό Αρμονικό Οκτάπλευρο.

Σχόλια.
(α). Πολλά σχετικά στοιχεία, για τα Απλά Αρμονικά Οκτάπλευρα, δίνουμε στο βιβλίο μας «Εγγεγραμμένα - Περιγεγραμμένα Σχήματα » (σελίδες μέχρι ), για το λόγο αυτό, εδώ θα αναφέρουμε ΜΟΝΟ τα απαραίτητα. Στο ίδιο βιβλίο αναφέρονται διεξοδικά και τα Συμπλέγματα Πλήρων Αρμονικών Οκτάπλευρών (Σελίδες μέχρι ). Στο βιβλίο αυτό, για να αντιληφθούμε για πιο μέγεθος έργου μιλάμε, αρκεί να αναφέρουμε μόνο ότι, για να υποστηριχθεί (αποδειχθεί) η αλήθεια ενός μόνο σχήματός του, διατυπώσαμε και αποδείξαμε Γεωμετρικές Προτάσεις.

(β). Είναι προφανές ότι η Κατασκευή $11\left(57\right)$ αποτελεί επέκταση της Κατασκευής $11\left(56 \right)$ , από ευθεία και σε κύκλο.

(γ). Την Κατασκευή αυτή έχω καταχωρίσει στην παράγραφο $11\left(57\right)$ του τόμου του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας». Πιστεύω ότι πρόκειται για νέα Πρόταση που πρωτοεμφανίζεται εδώ.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

#170

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΕΝΑ ΔΥΣΚΟΛΟ ΑΛΛΑ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΟΚΤΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
(Αρμονικό Οκτάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από ημέρες διακοπών, που ομολογώ μου λείψατε, από σήμερα στην ουσία, συνεχίζουμε την προσπάθεια μας εδώ με νεότερα στοιχεία Γεωμετρίες, που επινόησα αυτές τις ημέρες, πολύ πιο δύσκολα, αλλά σημαντικά κατά την γνώμη μου, τα οποία θα συναρπάσουν όσους μπορέσουν να τα παρακολουθήσουν σε βάθος και θα νιώσουν πραγματικά το μεγαλείο της Γεωμετρίας.

Επειδή θα ακολουθήσουν μερικά στοιχεία για την Αρμονική Συνευθειακή Οκτάδα Σημείων και το Απλό Αρμονικό Οκτάπλευρο, με το παρακάτω συνημμένο μου , δίνω τους σχετικούς ορισμούς της Αρμονικής Συνευθειακής Οκτάδας Σημείων και του Απλού Αρμονικού Οκτάπλευρου (Στην Αρμονική Εξάδα Συνεθειακών Σημείων, αν μπορέσουμε, θα αναφερθούμε αργότερα. Στα Αρμονικά Εξάπλευρα έχουμε ήδη αναφερθεί εδώ με άλλη μας εργασία. Η Αρμονική Τετράδα Σημείων και το Αρμονικό Τετράπλευρο μας είναι γνωστά).

Έτσι, με βάση τους ορισμούς αυτούς προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις στο παρακάτω Πρόβλημα κατασκευής Αρμονικής Συνευθειακής Οκτάδας Σημείων, που ομολογώ ότι είναι Πρόβλημα ωραίο αλλά για πολύ λίγους. Συνεπώς όσοι επιτύχουν λύση θα αμειφθούν Γεωμετρικά πλουσιοπάροχα.

Δικές μου λύσεις θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η διατύπωση του Προβλήματος αυτού έχει ως εξής.
$11\left(56 \right)$ . Σε δοσμένη ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να οριστούν οκτώ διατεταγμένα σημεία $A, B, \Gamma , \Delta , E, Z, H, \Theta$ , τα οποία να αποτελούν τυχαία Αρμονική Οκτάδα,

ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευαστεί τυχαίο Αρμονικό Οκτάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία.

Σχόλια.
(α). Στα Συμπλέγματα Πλήρων Αρμονικών Οκταπλεύρων έχουμε αναφερθεί διεξοδικά στο εξάτομο βιβλίο μας «Εγγεγραμμένα - Περιγεγραμμένα Σχήματα »,σελίδες μέχρι .
(β). Το παραπάνω Πρόβλημα πιστεύω ότι είναι νέο, πρωτοεμφανίζεται εδώ και το καταχωρήσαμε στην παράγραφο $11\left(56 \right)$ του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(γ). Προτιμώ εδώ τον όρο εξάπλευρο, οκτάπλευρο, κτλ, αντί του όρου εξάγωνο, οκτάγωνο, κτλ.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

Δύσκολη αλλά Συναρπαστική Επέκταση της Κατασκευής $11\left(56 \right)$ , από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
από όσα παραπάνω έχουμε αναφέρει και ιδιαίτερα από όσα στο συνημμένο μου αναφέρονται, διαφαίνεται ότι και για την παραπάνω Κατασκευή $11\left(56 \right)$ (συνημμένο μου ), αληθεύει ανάλογο Πρόβλημα και όταν η Οκτάδα Σημείων αυτή ανήκει σε κύκλο.

Έτσι διατύπωσα την παρακάτω Κατασκευή $11\left(57\right)$ , που αφορά Απλό Αρμονικό Οκτάπλευρο (Αρμονική Ομοκυκλική Οκτάδα Σημείων), την οποία προτείνω για λύση μόνο στους δυνατούς Γεωμέτρες.

Πρόκειται για ένα δύσκολο Πρόβλημα, αλλά συναρπαστικό, που θα ικανοποιήσει πιστεύω, και τους πλέον απαιτητικούς φίλους της Γεωμετρίας, που θέλουν να γνωρίσουν κάτι διαφορετικό από τα τετριμμένα.

Είναι φανερό ότι το παραπάνω Πρόβλημα $11\left(56 \right)$ (συνημμένο μου ), αποτελεί ειδική περίπτωση του προτεινόμενου παρακάτω Προβλήματος $11\left(57\right)$ .

Προκειμένω να υπενθυμίσω στους φίλους τους σχετικούς ορισμούς, δίνω παρακάτω και πάλι το συνημμένο μου .

Δική μου απόδειξη θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
$11\left(57\right)$ . Σε δοσμένο κύκλο $\left(\kappa \right)$ , να οριστούν οκτώ διατεταγμένα σημεία $A, B, \Gamma , \Delta , E, Z, H, \Theta ,$ , τα οποία να αποτελούν τις κορυφές τυχαίου Απλού Αρμονικού Οκτάπλευρου, ή να αποτελούν Αρμονική Ομοκυκλική Οκτάδα Σημείων,
ή με άλλη πιο απλή διατύπωση:
Να κατασκευαστεί τυχαίο Απλό Αρμονικό Οκτάπλευρο.

Σχόλια.
(α). Πολλά σχετικά στοιχεία, για τα Απλά Αρμονικά Οκτάπλευρα, δίνουμε στο βιβλίο μας «Εγγεγραμμένα - Περιγεγραμμένα Σχήματα » (σελίδες μέχρι ), για το λόγο αυτό, εδώ θα αναφέρουμε ΜΟΝΟ τα απαραίτητα. Στο ίδιο βιβλίο αναφέρονται διεξοδικά και τα Συμπλέγματα Πλήρων Αρμονικών Οκτάπλευρών (Σελίδες μέχρι ). Στο βιβλίο αυτό, για να αντιληφθούμε για πιο μέγεθος έργου μιλάμε, αρκεί να αναφέρουμε μόνο ότι, για να υποστηριχθεί (αποδειχθεί) η αλήθεια ενός μόνο σχήματός του, διατυπώσαμε και αποδείξαμε Γεωμετρικές Προτάσεις.

(β). Είναι προφανές ότι η Κατασκευή $11\left(57\right)$ αποτελεί επέκταση της Κατασκευής $11\left(56 \right)$ , από ευθεία και σε κύκλο.

(γ). Την Κατασκευή αυτή έχω καταχωρίσει στην παράγραφο $11\left(57\right)$ του τόμου του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας». Πιστεύω ότι πρόκειται για νέα Πρόταση που πρωτοεμφανίζεται εδώ.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΠΛΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΟΚΤΑΠΛΕΥΡΟΥ
(Αρμονική Ομοκυκλική Οκτάδα).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής $11\left(57 \right)$ , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί λύσεις από φίλους.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Ας σημειωθεί και εδώ, ότι στην εργασία αυτή, στα Απλά Αρμονικά Οκτάπλευρα, φθάσαμε από άλλο δρόμο, από εκείνον του εξάτομου βιβλίου μου «Εγγεγραμμένα- Περιγεγραμμένα Σχήματα», στο οποίο αυτά αναφέρονται διεξοδικά. Εδώ φθάσαμε στα Απλά Αρμονικά Οκτάπλευρα, από την Αρμονική Συνευθειακή Οκτάδα Σημείων, που μελετήσαμε αυτές τις ημέρες και η οποία προφανώς αποτελεί ειδική περίπτωση των Απλών Αρμονικών Οκτάπλευρων.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

#171

ΦΘΑΣΑΜΕ ΣΤΗ «ΧΡΥΣΗ ΕΠΙΣΚΕΨΗ»

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.
Όταν είχαμε γιορτάσει τις επισκέψεις στον χώρο αυτό εδώ, είχαμε θέσει σαν επόμενο στόχο μας τις επισκέψεις, χωρίς να θέσουμε ενδιάμεσους στόχους, γιατί η ταχύτητα που εξελίσσονται τα πράγματα εδώ είναι πραγματικά μεγάλη.

Έτσι φθάσαμε ανέλπιστα πιο σύντομα, από τις εκτιμήσεις μας, να πανηγυρίζουμε σήμερα την «ΧΡΥΣΗ ΕΠΙΣΚΕΨΗ», η οποία υπερβαίνει την η επίσκεψη των φίλων στο χώρο αυτό, πράγμα το οποίο πιστευουμε ότι αποτελεί και ρεκόρ. Τούτο φανερώνει το μεγάλο ενδιαφέρον σας για όσα αναρτούμε εδώ, πράγμα το οποίο μας τιμά ιδιαίτερα και μας δίνει κουράγιο να συνεχίσουμε και γι’ αυτό σας ευχαριστούμε πολύ.

Τούτο, όπως και αλλού έχω γράψει, γίνεται παράλληλα με τη συγγραφή βιβλίου μου, που είναι και ο κύριος στόχος μου, αλλά το ενδιαφέρον των φίλων μας επιβάλλει να συνεχίσουμε την ανάρτηση μερικών αποσπασμάτων του βιβλίου αυτού (Όσων ο χρόνος και ο χώρος μας επιτρέπει). Συνεχίζουμε λοιπόν με στόχο τις επισκέψεις, καθώς πιστεύουμε ότι οι ενδιάμεσοι στόχοι θα περάσουν ταχύτατα, αφού από ότι έχουμε διαπιστώσει, τα πρωτοεμφανιζόμενα εδώ Στοιχεία Γεωμετρίας, κανέναν δεν αφήνουν αδιάφορο.

Και πάλι ευχαριστούμε πολύ όλους εκείνους που συνέβαλαν να επιτευχθεί η παραπάνω «ΧΡΥΣΗ ΕΠΙΣΚΕΨΗ».
Ευχές.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

#172

ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΕΝΑ ΔΥΣΚΟΛΟ ΑΛΛΑ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΟΚΤΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
(Αρμονικό Οκτάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από ημέρες διακοπών, που ομολογώ μου λείψατε, από σήμερα στην ουσία, συνεχίζουμε την προσπάθεια μας εδώ με νεότερα στοιχεία Γεωμετρίες, που επινόησα αυτές τις ημέρες, πολύ πιο δύσκολα, αλλά σημαντικά κατά την γνώμη μου, τα οποία θα συναρπάσουν όσους μπορέσουν να τα παρακολουθήσουν σε βάθος και θα νιώσουν πραγματικά το μεγαλείο της Γεωμετρίας.

Επειδή θα ακολουθήσουν μερικά στοιχεία για την Αρμονική Συνευθειακή Οκτάδα Σημείων και το Απλό Αρμονικό Οκτάπλευρο, με το παρακάτω συνημμένο μου , δίνω τους σχετικούς ορισμούς της Αρμονικής Συνευθειακής Οκτάδας Σημείων και του Απλού Αρμονικού Οκτάπλευρου (Στην Αρμονική Εξάδα Συνεθειακών Σημείων, αν μπορέσουμε, θα αναφερθούμε αργότερα. Στα Αρμονικά Εξάπλευρα έχουμε ήδη αναφερθεί εδώ με άλλη μας εργασία. Η Αρμονική Τετράδα Σημείων και το Αρμονικό Τετράπλευρο μας είναι γνωστά).

Έτσι, με βάση τους ορισμούς αυτούς προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις στο παρακάτω Πρόβλημα κατασκευής Αρμονικής Συνευθειακής Οκτάδας Σημείων, που ομολογώ ότι είναι Πρόβλημα ωραίο αλλά για πολύ λίγους. Συνεπώς όσοι επιτύχουν λύση θα αμειφθούν Γεωμετρικά πλουσιοπάροχα.

Δικές μου λύσεις θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η διατύπωση του Προβλήματος αυτού έχει ως εξής.
$11\left(56 \right)$ . Σε δοσμένη ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να οριστούν οκτώ διατεταγμένα σημεία $A, B, \Gamma , \Delta , E, Z, H, \Theta$ , τα οποία να αποτελούν τυχαία Αρμονική Οκτάδα,
ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευαστεί τυχαίο Αρμονικό Οκτάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία.

Σχόλια.
(α). Στα Συμπλέγματα Πλήρων Αρμονικών Οκταπλεύρων έχουμε αναφερθεί διεξοδικά στο εξάτομο βιβλίο μας «Εγγεγραμμένα - Περιγεγραμμένα Σχήματα »,σελίδες μέχρι .
(β). Το παραπάνω Πρόβλημα πιστεύω ότι είναι νέο, πρωτοεμφανίζεται εδώ και το καταχωρήσαμε στην παράγραφο $11\left(56 \right)$ του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(γ). Προτιμώ εδώ τον όρο εξάπλευρο, οκτάπλευρο, κτλ, αντί του όρου εξάγωνο, οκτάγωνο, κτλ.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

ΕΥΚΟΛΟΤΕΡΗ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΟΤΕΡΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΟΚΤΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
(Αρμονικό Οκτάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με την παραπάνω Κατασκευή $11\left(56 \right)$ (συνημμένο μου ), αναρτήσαμε έναν πιο θεωρητικό τρόπου Κατασκευής Συνευθειακής Αρμονικής Οκτάδας Σημείων.

Σήμερα, όπως σας έχουμε υποσχεθεί, με το παρακάτω συνημμένο μας [Κατασκευή $11\left(73 \right)$ ], δίνουμε έναν νέο ευκολότερο και πρακτικότερο τρόπο κατασκευής της παραπάνω Αρμονικής Οκτάδας, αλλά που βασίζεται στον παραπάνω θεωρητικό τρόπο.

Μετά τον παραπάνω νέο τρόπο (Μέθοδο), ανοίγεται ο δρόμος ώστε με την εφαρμογή της ίδιας παραπάνω Νέας Μεθόδου, να έχουμε τη λύση και των Προβλημάτων κατασκευής Αρμονικής Τετράδας, Εξάδας, Δεκάδας, Δωδεκάδας, κτλ.

Προτείνουμε λοιπόν στους φίλους της Γεωμετρίας να ασχοληθούν και με βάση την παραπάνω Νέα Μέθοδο, να δώσουν την λύση της παρακάτω πολύ απλής Κατασκευής Αρμονικής Τετράδας $11\left(74 \right)$ , προς το παρόν, της οποίας ο ορισμός είναι γνωστός από την βιβλιογραφία. Αν μας δοθεί η ευκαιρία θα δώσουμε και τους ορισμούς της Αρμονικής Εξάδας, Δεκάδας, Δωδεκάδας, κτλ, ώστε στη συνέχεια, με την εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου να κατασκευάσουμε την Αρμονική Εξάδα, Δεκάδα, Δωδεκάδα κτλ.

Η διατύπωση του προτεινόμενου Προβλήματος έχει ως εξής.
$11\left(74 \right)$ . Σε δοσμένη ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να οριστούν τέσσερα διατεταγμένα σημεία $A, B, \Gamma , \Delta$ , τα οποία να αποτελούν τυχαία Αρμονική Τετράδα,
ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευαστεί τυχαίο Αρμονικό Τετράπλευρο εκφυλισμένο επάνω σε δοσμένη ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ .

Σχόλιο.
Το παραπάνω Πρόβλημα $11\left(73 \right)$ πιστεύω ότι είναι νέο, πρωτοεμφανίζεται εδώ και το καταχωρήσαμε στην παράγραφο $11\left(73 \right)$ του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

#173

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΕΝΑ ΔΥΣΚΟΛΟ ΑΛΛΑ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΟΚΤΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
(Αρμονικό Οκτάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από ημέρες διακοπών, που ομολογώ μου λείψατε, από σήμερα στην ουσία, συνεχίζουμε την προσπάθεια μας εδώ με νεότερα στοιχεία Γεωμετρίες, που επινόησα αυτές τις ημέρες, πολύ πιο δύσκολα, αλλά σημαντικά κατά την γνώμη μου, τα οποία θα συναρπάσουν όσους μπορέσουν να τα παρακολουθήσουν σε βάθος και θα νιώσουν πραγματικά το μεγαλείο της Γεωμετρίας.

Επειδή θα ακολουθήσουν μερικά στοιχεία για την Αρμονική Συνευθειακή Οκτάδα Σημείων και το Απλό Αρμονικό Οκτάπλευρο, με το παρακάτω συνημμένο μου , δίνω τους σχετικούς ορισμούς της Αρμονικής Συνευθειακής Οκτάδας Σημείων και του Απλού Αρμονικού Οκτάπλευρου (Στην Αρμονική Εξάδα Συνεθειακών Σημείων, αν μπορέσουμε, θα αναφερθούμε αργότερα. Στα Αρμονικά Εξάπλευρα έχουμε ήδη αναφερθεί εδώ με άλλη μας εργασία. Η Αρμονική Τετράδα Σημείων και το Αρμονικό Τετράπλευρο μας είναι γνωστά).

Έτσι, με βάση τους ορισμούς αυτούς προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις στο παρακάτω Πρόβλημα κατασκευής Αρμονικής Συνευθειακής Οκτάδας Σημείων, που ομολογώ ότι είναι Πρόβλημα ωραίο αλλά για πολύ λίγους. Συνεπώς όσοι επιτύχουν λύση θα αμειφθούν Γεωμετρικά πλουσιοπάροχα.

Δικές μου λύσεις θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η διατύπωση του Προβλήματος αυτού έχει ως εξής.
$11\left(56 \right)$ . Σε δοσμένη ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να οριστούν οκτώ διατεταγμένα σημεία $A, B, \Gamma , \Delta , E, Z, H, \Theta$ , τα οποία να αποτελούν τυχαία Αρμονική Οκτάδα,
ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευαστεί τυχαίο Αρμονικό Οκτάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία.

Σχόλια.
(α). Στα Συμπλέγματα Πλήρων Αρμονικών Οκταπλεύρων έχουμε αναφερθεί διεξοδικά στο εξάτομο βιβλίο μας «Εγγεγραμμένα - Περιγεγραμμένα Σχήματα »,σελίδες μέχρι .
(β). Το παραπάνω Πρόβλημα πιστεύω ότι είναι νέο, πρωτοεμφανίζεται εδώ και το καταχωρήσαμε στην παράγραφο $11\left(56 \right)$ του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(γ). Προτιμώ εδώ τον όρο εξάπλευρο, οκτάπλευρο, κτλ, αντί του όρου εξάγωνο, οκτάγωνο, κτλ.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

ΕΥΚΟΛΟΤΕΡΗ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΟΤΕΡΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΟΚΤΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
(Αρμονικό Οκτάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με την παραπάνω Κατασκευή $11\left(56 \right)$ (συνημμένο μου ), αναρτήσαμε έναν πιο θεωρητικό τρόπου Κατασκευής Συνευθειακής Αρμονικής Οκτάδας Σημείων.

Σήμερα, όπως σας έχουμε υποσχεθεί, με το παρακάτω συνημμένο μας [Κατασκευή $11\left(73 \right)$ ], δίνουμε έναν νέο ευκολότερο και πρακτικότερο τρόπο κατασκευής της παραπάνω Αρμονικής Οκτάδας, αλλά που βασίζεται στον παραπάνω θεωρητικό τρόπο.

Μετά τον παραπάνω νέο τρόπο (Μέθοδο), ανοίγεται ο δρόμος ώστε με την εφαρμογή της ίδιας παραπάνω Νέας Μεθόδου, να έχουμε τη λύση και των Προβλημάτων κατασκευής Αρμονικής Τετράδας, Εξάδας, Δεκάδας, Δωδεκάδας, κτλ.

Προτείνουμε λοιπόν στους φίλους της Γεωμετρίας να ασχοληθούν και με βάση την παραπάνω Νέα Μέθοδο, να δώσουν την λύση της παρακάτω πολύ απλής Κατασκευής Αρμονικής Τετράδας $11\left(74 \right)$ , προς το παρόν, της οποίας ο ορισμός είναι γνωστός από την βιβλιογραφία. Αν μας δοθεί η ευκαιρία θα δώσουμε και τους ορισμούς της Αρμονικής Εξάδας, Δεκάδας, Δωδεκάδας, κτλ, ώστε στη συνέχεια, με την εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου να κατασκευάσουμε την Αρμονική Εξάδα, Δεκάδα, Δωδεκάδα κτλ.

Η διατύπωση του προτεινόμενου Προβλήματος έχει ως εξής.
$11\left(74 \right)$ . Σε δοσμένη ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να οριστούν τέσσερα διατεταγμένα σημεία $A, B, \Gamma , \Delta$ , τα οποία να αποτελούν τυχαία Αρμονική Τετράδα,
ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευαστεί τυχαίο Αρμονικό Τετράπλευρο εκφυλισμένο επάνω σε δοσμένη ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ .

Σχόλιο.
Το παραπάνω Πρόβλημα $11\left(73 \right)$ πιστεύω ότι είναι νέο, πρωτοεμφανίζεται εδώ και το καταχωρήσαμε στην παράγραφο $11\left(73 \right)$ του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

ΝΕΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΤΕΤΡΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
(Αρμονικό Τετράπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου , δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής $11\left(74 \right)$ , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί λύσεις από φίλους.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Σημειώνουμε ότι, η Κατασκευή $11\left(74 \right)$ είναι μια ειδική περίπτωση της Κατασκευής της Αρμονικής Ομοκυκλικής Τετράδας Σημείων, την οποία έχουμε αναρτήσει παραπάνω, με την Κατασκευή $11\left(30 \right)$ (συνημμένο μου ).

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

#174

ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΟΚΤΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
(Αρμονικό Οκτάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
δίνουμε παρακάτω την διατύπωση του σημαντικού Κριτηρίου Αρμονικότητας Συνευθειακής Οκτάδας Σημείων $11\left(58 \right)$ , προκειμένου η απόδειξή του να γίνει από τους ενδιαφερόμενους φίλους.

Δική μου απόδειξη, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας αποδείξεις.

Υπενθυμίζουμε ότι την σχετική ορολογία, έχουμε αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μας .

Η διατύπωση του Κριτηρίου αυτού έχει ως εξής:
$11\left(58 \right)$ . Μια Οκτάδα Συνευθειακών Σημείων είναι Αρμονική, αν και μόνο αν, έχει αρμονικές και τις Οκτώ Τετράδες σημείων της.

Σχόλιο.
Το παραπάνω Κριτήριο καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(58 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας» , πιστεύω ότι είναι νέο και ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#175

ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΟΚΤΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
(Αρμονικό Οκτάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
δίνουμε παρακάτω την διατύπωση του σημαντικού Κριτηρίου Αρμονικότητας Συνευθειακής Οκτάδας Σημείων $11\left(58 \right)$ , προκειμένου η απόδειξή του να γίνει από τους ενδιαφερόμενους φίλους.

Δική μου απόδειξη, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας αποδείξεις.

Υπενθυμίζουμε ότι την σχετική ορολογία, έχουμε αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μας .

Η διατύπωση του Κριτηρίου αυτού έχει ως εξής:
$11\left(58 \right)$ . Μια Οκτάδα Συνευθειακών Σημείων είναι Αρμονική, αν και μόνο αν, έχει αρμονικές και τις Οκτώ Τετράδες σημείων της.

Σχόλιο.
Το παραπάνω Κριτήριο καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(58 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας» , πιστεύω ότι είναι νέο και ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΟΚΤΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
(Αρμονικό Οκτάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξή μου ττου παραπάνω Κριτηρίου $11\left(58 \right)$ , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί αποδείξεις από φίλους.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Ας σημειωθεί ότι, το παραπάνω Κριτήριο Αρμονικότητας Συνευθειακών Οκτάδων Σημείων, είναι πολύ σημαντικό, γιατί βρίσκει πολλές εφαρμογές, όπως θα διαπιστώσουμε στο εξής

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

#176

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΟΚΤΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
(Αρμονικό Οκτάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
δίνουμε παρακάτω την διατύπωση του σημαντικού Κριτηρίου Αρμονικότητας Συνευθειακής Οκτάδας Σημείων $11\left(58 \right)$ , προκειμένου η απόδειξή του να γίνει από τους ενδιαφερόμενους φίλους.

Δική μου απόδειξη, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας αποδείξεις.

Υπενθυμίζουμε ότι την σχετική ορολογία, έχουμε αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μας .

Η διατύπωση του Κριτηρίου αυτού έχει ως εξής:
$11\left(58 \right)$ . Μια Οκτάδα Συνευθειακών Σημείων είναι Αρμονική, αν και μόνο αν, έχει αρμονικές και τις Οκτώ Τετράδες σημείων της.

Σχόλιο.
Το παραπάνω Κριτήριο καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(58 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας» , πιστεύω ότι είναι νέο και ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΟΚΤΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
(Αρμονικό Οκτάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξή μου ττου παραπάνω Κριτηρίου $11\left(58 \right)$ , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί αποδείξεις από φίλους.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Ας σημειωθεί ότι, το παραπάνω Κριτήριο Αρμονικότητας Συνευθειακών Οκτάδων Σημείων, είναι πολύ σημαντικό, γιατί βρίσκει πολλές εφαρμογές, όπως θα διαπιστώσουμε στο εξής

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

Σπουδαία Επέκταση του Κρτήριου $11\left(58 \right)$ , από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι το παραπάνω Κριτήριο $11\left(58 \right)$ , διατύπωση και αποδείξη του οποίου έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε κύκλο.

Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την επέκταση του παραπάνω Κριτήριου $11\left(58 \right)$ και για κύκλο και να μας δώσουν την απόδειξή του. Δική μου σχετική διατύπωση και απόδειξη, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Υπενθυμίζουμε ότι την σχετική ορολογία, έχουμε αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μας .

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#177

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΟΚΤΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
(Αρμονικό Οκτάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
δίνουμε παρακάτω την διατύπωση του σημαντικού Κριτηρίου Αρμονικότητας Συνευθειακής Οκτάδας Σημείων $11\left(58 \right)$ , προκειμένου η απόδειξή του να γίνει από τους ενδιαφερόμενους φίλους.

Δική μου απόδειξη, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας αποδείξεις.

Υπενθυμίζουμε ότι την σχετική ορολογία, έχουμε αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μας .

Η διατύπωση του Κριτηρίου αυτού έχει ως εξής:
$11\left(58 \right)$ . Μια Οκτάδα Συνευθειακών Σημείων είναι Αρμονική, αν και μόνο αν, έχει αρμονικές και τις Οκτώ Τετράδες σημείων της.

Σχόλιο.
Το παραπάνω Κριτήριο καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(58 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας» , πιστεύω ότι είναι νέο και ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΟΚΤΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
(Αρμονικό Οκτάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξή μου ττου παραπάνω Κριτηρίου $11\left(58 \right)$ , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί αποδείξεις από φίλους.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Ας σημειωθεί ότι, το παραπάνω Κριτήριο Αρμονικότητας Συνευθειακών Οκτάδων Σημείων, είναι πολύ σημαντικό, γιατί βρίσκει πολλές εφαρμογές, όπως θα διαπιστώσουμε στο εξής

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

Σπουδαία Επέκταση του Κρτήριου $11\left(58 \right)$ , από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι το παραπάνω Κριτήριο $11\left(58 \right)$ , διατύπωση και αποδείξη του οποίου έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε κύκλο.

Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την επέκταση του παραπάνω Κριτήριου $11\left(58 \right)$ και για κύκλο και να μας δώσουν την απόδειξή του. Δική μου σχετική διατύπωση και απόδειξη, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Υπενθυμίζουμε ότι την σχετική ορολογία, έχουμε αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μας .

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΟΜΟΚΥΚΛΙΚΗΣ ΟΚΤΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
Επέκταση του Κριτήριου $11\left(58 \right)$ , από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδιαφερόμενους φίλους, δίνω παρακάτω για απόδειξη, την διατύπωση της πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύω Κατασκευής $11\left(59 \right)$ , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί.

Πρόκειται για ένα κριτήριο, που αποτελεί επέκταση του Κριτηρίου $11\left(58 \right)$ , από Ευθεία και σε κύκλο, το οποίο είναι πολύ σημαντικό, γιατί μας επιτρέπει να έχουμε έναν απλούστερο ΟΡΙΣΜΟ, από τον αρχικό μας (ορισμό), για τα Αρμονικά Οκτάπλευρα, αλλά και γιατί βρίσκει πολλές εφαρμογές, όπως θα διαπιστώσουμε στο εξής.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Υπενθυμίζουμε ότι την σχετική ορολογία, έχουμε αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μας .

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
$11\left(59 \right)$ . Κάθε εγγεγραμμένο σε κύκλο οκτάπλευρο κυρτό ή αστεροειδές, είναι Αρμονικό, αν και μόνο αν, έχει αρμονικά και τα Οκτώ Τετράπλευρά του.

Σχόλιο.
Το παραπάνω Κριτήριο, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(59 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#178

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΟΚΤΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
(Αρμονικό Οκτάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
δίνουμε παρακάτω την διατύπωση του σημαντικού Κριτηρίου Αρμονικότητας Συνευθειακής Οκτάδας Σημείων $11\left(58 \right)$ , προκειμένου η απόδειξή του να γίνει από τους ενδιαφερόμενους φίλους.

Δική μου απόδειξη, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας αποδείξεις.

Υπενθυμίζουμε ότι την σχετική ορολογία, έχουμε αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μας .

Η διατύπωση του Κριτηρίου αυτού έχει ως εξής:
$11\left(58 \right)$ . Μια Οκτάδα Συνευθειακών Σημείων είναι Αρμονική, αν και μόνο αν, έχει αρμονικές και τις Οκτώ Τετράδες σημείων της.

Σχόλιο.
Το παραπάνω Κριτήριο καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(58 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας» , πιστεύω ότι είναι νέο και ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΗΣ ΟΚΤΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
(Αρμονικό Οκτάπλευρο εκφυλισμένο σε ευθεία).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξή μου ττου παραπάνω Κριτηρίου $11\left(58 \right)$ , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί αποδείξεις από φίλους.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Ας σημειωθεί ότι, το παραπάνω Κριτήριο Αρμονικότητας Συνευθειακών Οκτάδων Σημείων, είναι πολύ σημαντικό, γιατί βρίσκει πολλές εφαρμογές, όπως θα διαπιστώσουμε στο εξής

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

Σπουδαία Επέκταση του Κρτήριου $11\left(58 \right)$ , από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι το παραπάνω Κριτήριο $11\left(58 \right)$ , διατύπωση και αποδείξη του οποίου έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε κύκλο.

Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την επέκταση του παραπάνω Κριτήριου $11\left(58 \right)$ και για κύκλο και να μας δώσουν την απόδειξή του. Δική μου σχετική διατύπωση και απόδειξη, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Υπενθυμίζουμε ότι την σχετική ορολογία, έχουμε αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μας .

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΟΜΟΚΥΚΛΙΚΗΣ ΟΚΤΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
Επέκταση του Κριτήριου $11\left(58 \right)$ , από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδιαφερόμενους φίλους, δίνω παρακάτω για απόδειξη, την διατύπωση της πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύω Κατασκευής $11\left(59 \right)$ , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί.

Πρόκειται για ένα κριτήριο, που αποτελεί επέκταση του Κριτηρίου $11\left(58 \right)$ , από Ευθεία και σε κύκλο, το οποίο είναι πολύ σημαντικό, γιατί μας επιτρέπει να έχουμε έναν απλούστερο ΟΡΙΣΜΟ, από τον αρχικό μας (ορισμό), για τα Αρμονικά Οκτάπλευρα, αλλά και γιατί βρίσκει πολλές εφαρμογές, όπως θα διαπιστώσουμε στο εξής.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Υπενθυμίζουμε ότι την σχετική ορολογία, έχουμε αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μας .

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
$11\left(59 \right)$ . Κάθε εγγεγραμμένο σε κύκλο οκτάπλευρο κυρτό ή αστεροειδές, είναι Αρμονικό, αν και μόνο αν, έχει αρμονικά και τα Οκτώ Τετράπλευρά του.

Σχόλιο.
Το παραπάνω Κριτήριο, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(59 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΑΠΛΟΥ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΥ ΟΚΤΑΠΛΕΥΡΟΥ.
(Επέκταση του Κριτηρίου $11\left(58 \right)$ , από ευθεία και σε κύκλο ).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξή μου του παραπάνω Κριτηρίου $11\left(59 \right)$ , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί αποδείξεις από φίλους.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Ας σημειωθεί ότι, το παραπάνω Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Απλών Οκτάπλευρων , είναι πολύ σημαντικό, καθώς βρίσκει πολλές εφαρμογές, όπως θα διαπιστώσουμε στο εξής.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

#179

Σημαντική Ιδιότητα Αρμονικής Συνευθειακής Οκτάδας Σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω για απόδειξη την παρακάτω πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω Πρόταση $11\left(62 \right)$ , η οποία αναφέρεται σε μια σημαντική ιδιότητα Αρμονικής Συνευθειακής Οκτάδας Σημείων.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Ας σημειωθεί, ότι ανάλογες ιδιότητες αληθεύουν και στις Αρμονικές Τετράδες, Εξάδες Σημείων, κτλ.

Η Πρόταση αυτή, έχει ως εξής:
$11\left(62 \right)$ . Σε κάθε Αρμονική Συνευθειακή Οκτάδα Σημείων $A, B, \Gamma , \Delta , E, Z, H, \Theta$ , είναι:
$\frac{AB}{B\Gamma }.\frac{\Gamma \Delta }{\Delta E}.\frac{EZ}{ZH}.\frac{H\Theta }{\Theta A}=$ $\frac{AZ}{Z\Gamma }.\frac{\Gamma \Theta }{\Theta E}.\frac{EB}{BH}.\frac{H\Delta }{\Delta A}=1$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(62 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#180

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Σημαντική Ιδιότητα Αρμονικής Συνευθειακής Οκτάδας Σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω για απόδειξη την παρακάτω πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω Πρόταση $11\left(62 \right)$ , η οποία αναφέρεται σε μια σημαντική ιδιότητα Αρμονικής Συνευθειακής Οκτάδας Σημείων.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Ας σημειωθεί, ότι ανάλογες ιδιότητες αληθεύουν και στις Αρμονικές Τετράδες, Εξάδες Σημείων, κτλ.

Η Πρόταση αυτή, έχει ως εξής:
$11\left(62 \right)$ . Σε κάθε Αρμονική Συνευθειακή Οκτάδα Σημείων $A, B, \Gamma , \Delta , E, Z, H, \Theta$ , είναι:
$\frac{AB}{B\Gamma }.\frac{\Gamma \Delta }{\Delta E}.\frac{EZ}{ZH}.\frac{H\Theta }{\Theta A}=$ $\frac{AZ}{Z\Gamma }.\frac{\Gamma \Theta }{\Theta E}.\frac{EB}{BH}.\frac{H\Delta }{\Delta A}=1$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(62 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Σημαντική Ιδιότητα Αρμονικής Συνευθειακής Οκτάδας Σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξή μου της παραπάνω Πρόοτασης $11\left(62 \right)$ , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί αποδείξεις από φίλους.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Ας σημειωθεί ότι, για την παραπάνω Πρόταση, δεν είχα δώσει απόδειξη μέχρι πρότινος, καθώς δεν είχα επινοήσει την Κατασκευή $11\left(54 \right)$ (συνημμένο ). Η Κατασκευή αυτή μου έδωσε τη λύση. Ακόμη, ας σημειωθεί ότι, ανάλογες Προτάσεις, ισχύουν και για Αρμονική Τετράδα Σημείων, όπως και για Αρμονική Εξάδα Συνευθειακών Σημείων, κτλ.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Μέλη σε σύνδεση